建立函数关系式的方法探微

建立函数关系式的方法探微
生活中许多运动变化现象都可以抽象为变量与变量之间的依赖关系。

为了用数学方法解决实际问题，我们往往用函数这一概念来反映变量与变量之间的联系，并通过研究函数的性质了解他们的变化规律。

因此，建立变量之间的函数关系是研究客观世界的第一步，意义深远。

从最近几年的中考试题来看，全国各省市的中考数学试题中，都有建立函数关系式的问题出现，而在不同的问题中，建立的函数关系式并不一定是已学过的模型函数，还需综合运用已经学过的代数、几何知识，才能寻找出函数关系式。

下面通过几个例子，介绍几种常见的建立函数关系式的方法。

１利用待定系数法建立函数关系式
待定系数法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题，解法步骤为：①设相应类型的函数表达式；②将已知的对应值代入求出待定系数；
③写出表达式。

例1.（2008上海）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点。

①求点B、C、D的坐标；②如果一个二次函数图象经过B、C、D三点，求这个二次函数解析式。

解：①∵点A的坐标为（０，－３），线段ＡＤ＝５，∴点D的坐标（０，２），连结AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4，∴点C 的坐标为（４，０）；同理可得点B坐标为（－４，０）。

②设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由于该二次函数的图像经过B、C、D三点，则0=16a-4b+c0=16a+4b+c2=c得a=-b=0c=2∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+2。

一般地，表达式中有几个待定系数，就需要几个相关的条件；对于表达式形式多样的函数，只需结合题目中的具体条件选择恰当的形式来表示。

２利用等量关系法建立函数关系式
等量关系法就是根据问题中的已知条件和数量关系，直接将因变量表示成自变量的代数式形式，从而使函数关系式得以建立的方法。

例2.（2009年滨州）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件。

在确保盈利的前提下，解答下列问题：若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。

解：y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x），即y=-20x2+100x+6000。

因为降价要确保盈利，所以400）。

图1
４利用勾股定理建立函数关系式
例4.（2000上海）如图2，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB 上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G。

设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域。

解：在Rt△OPH中，ＯＨ＝＝，y=GP=MP=，MH=OH=，在Rt△MPH中，MP＝＝，∴（0＜x＜6）。

5 利用相似三角形（比例线段）建立函数关系式
例5.（2007上海）已知：∠MAN=60°，点Ｂ在射线ＡＭ上，ＡＢ＝４（如图3）。

Ｐ为直线ＡＮ上一动点，以ＢＰ为边作等边三角形ＢＰＱ（点Ｂ，Ｐ，Ｐ按顺时针排列），Ｏ是△BPQ的外心．当点P在射线AN上运动（点P与点A 不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC□ＡO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域。

解：如图3，联结OB、OP，∵AO平分∠MAN，且∠MAN＝60°，∴∠ＢＡＯ＝∠ＰＡＯ＝３0°易得ＯＢ＝ＯＰ，∠ＢＯＰ＝120°，∴∠ＣＢＯ＝３０°，∴∠ＣＢＯ＝∠ＰＡＣ，∴∠BCO=PCA，∴∠AOB＝∠ＡＰＣ，∴△ABO∽△ACP，∴=，∴AC□AO=AB□AP，∴y=4x。

定义域为：x>0。

图3
6 利用锐角三角比建立函数关系式
例6.（2010浙江义乌）如图4，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F。

已知线段AB=２，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式。

解：在图4中，过点F作FG⊥BE于点G，∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=２，由①得∠EBF=30°，在Rt△BGF中，ＢＧ＝＝，∴BF==2，∴EF=2，∵△ABP≌△AEQ，∴QE=BP=x，∴QF=QE＋EF=x+2，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，在Rt△QHF中，y=QH=sin60°□QF=x+2（x＞0），即y关于x的函数关系式是：y=x+。

函数是中学数学的重要内容之一。

探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用函数进行描述和解决问题，是对函数学习的基本要求。

建立函数关系的
过程，不仅体现了函数的应用价值，而且也是数学建模思想和函数思想的具体体现。