2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷(文科)(一)(5月份)

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（文科）（一）（5
月份）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|−4<x<2}，则A∩B=()
A. B={x|−2≤x<2}
B. B={x|−4<x≤2}
C. {−2,−1,0，1，2}
D. {−2,−1,0，1}
2.已知复数z满足(1+i)2⋅z=1−i，则z的共轭复数z−在复平面内对应的点位于()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,y)，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+2b⃗ |=()
A. √5
B. 5√2
C. 5
D. 4
4.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人
的平均得分分别是x甲、x乙，则下列说法正确的是()
A. x甲>x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛
B. x甲>x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛
C. x甲<x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛
D. x甲<x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛
5.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O为底面ABCD的中心，M，N分别为棱A1D1，CC1的中点，则异面直
线B1M与ON所成角的余弦值为()
A. √5
5B. √10
5
C. √15
15
D. 2√5
15
6.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”.某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、
二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道：
(1)教语文的没有分配到一中，
(2)教语文的不是小孟，
(3)教英语的没有分配到三中， (4)小刘分配到一中． (5)小盂没有分配到二中，
据此判断．数学学科支教的是谁？分到哪所学校？( )
A. 小刘三中
B. 小李一中
C. 小盂三中
D. 小刘二中
7. 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )
A. a ⊥α，b//β，α⊥β
B. a ⊥α，b ⊥β，α//β
C. a ⊂α，b ⊥β，α//β
D. a ⊂α，b//β，α⊥β
8. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，在(0,+∞)上是增函数，且f(−4)=0，则使得xf(x)>0成立的
x 的取值范围是( )
A. (−4,4)
B. (−4,0)∪(0,4)
C. (0,4)∪(4,+∞)
D. (−∞,−4)∪(4,+∞)
9. 棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面
面积为( )
A. 9
2
B. 9√22
C. 3√2
D. 3
10. 已知直线y =−2与函数f(x)=2sin(ωx −π
3)，(其中w >0)的相邻两交点间的距离为π，则函数f(x)的
单调递增区间为( )
A. [kπ−π6,kπ+5π
6],k ∈Z B. [kπ−π12,kπ+5π
12],k ∈Z C. [kπ−
5π6
,kπ+
11π6
],k ∈Z D. [kπ−
5π6
,kπ+
11π12
],k ∈Z
11. 若函数f(x)={log 2x,x >0
−2x −a,x ≤0
有且只有一个零点，则a 的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(0,+∞)
B. (−∞,−1)∪[0，+∞)
C. [−1,0)
D. [0,+∞)
12. 设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|=2c ，且|PF 1|=
43
|QF 1|，则椭圆C 的离心率为( )
A. 1
2
B. 3
4
C. 5
7
D. 2
3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若x ，y 满足约束条件{x +1≥0
y −2≤02x −y −2≤0
，则z =x +3y 的最大值是______．
14. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)={log 3(x +1),x ≥0
g(x),x <0
，则g[f(−8)]=______．
15. 已知长方形ABCD 中，AB =1，∠ABD =60°，现将长方形ABCD 沿着对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平
面BCD ，则折后几何图形的外接球表面积为______．
16. 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n 满足4S n =a n 2
+2a n ，n ∈N ∗.设b n =(−1)n ⋅a n a n+1，T n
为数列{b n }的前n 项和，则T 2n =______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =2bcosC +csinB ．
(Ⅰ)求tan B ；
(Ⅱ)若C =π
4，△ABC 的面积为6，求BC ．
18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在
任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x(单位：吨，100≤x ≤150)表示下一个销售季度的市场需求量，T(单位：万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． (1)将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； (2)根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；
(3)根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小(保留到小数点后一位)．
19.如图，四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=3CD=3，PA=PD=BC=2，∠ABC=90°，且PB=PC．
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求点D到平面PBC的距离．
20. 椭圆W ：
x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为√3
2
，左、右顶点分别为A ，B.过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆W 截得的线段长为1． (1)求椭圆W 的标准方程；
(2)经过点P(1,0)的直线与椭圆W 相交于不同的两点C 、D(不与点A 、B 重合)，直线CB 与直线x =4相交于点M ，求证：A 、D 、M 三点共线．
21. 已知函数f(x)=axe x ，g(x)=x 2+2x +b ，若曲线y =f(x)与曲线y =g(x)都过点P(1,c).且在点P 处
有相同的切线l ． (Ⅰ)求切线l 的方程；
(Ⅱ)若关于x 的不等式k[ef(x)]≥g(x)对任意x ∈[−1,+∞)恒成立，求实数k 的取值范围．
22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosα
y =2sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为
{x =8−√22
t y =√2
2t
(t 为参数)．
(1)求C 1和C 2的普通方程；
(2)过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M(M 异于O)，交曲线C 2于点N ，求|ON|
|OM|的最小值．
23.已知函数f(x)=|ax+1|+|x−1|．
(Ⅰ)若a=2，解关于x的不等式f(x)<9；
(Ⅱ)若当x>0时，f(x)>1恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A ={x ∈Z|x 2≤4}={−2,−1,0，1，2}， ∴A ∩B ={−2,−1,0，1}， 故选：D ．
先求出集合A ，再利用集合交集的运算即可算出结果．
本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由(1+i)2⋅z =1−i ，得z =1−i
(1+i)2=1−i 2i
=
(1−i)(−i)−2i 2
=−12−1
2i ，
则z −
=−1
2+1
2i ，
∴复数z −
在复平面内对应的点的坐标为(−12,1
2)，位于第二象限． 故选：B ．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z −
的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,y)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ， 则有a ⃗ ⋅b ⃗ =2+y =0，解可得y =−2，即b ⃗ =(1,−2)， 则a ⃗ +2b ⃗ =(4,−3)，故|a ⃗ +2b ⃗ |=√16+9=5； 故选：C ．
根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得a ⃗ ⋅b ⃗ =2+y =0，解可得y 的值，即可得b ⃗ 的坐标，进而计算可得向量(a ⃗ +2b ⃗ )的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据茎叶图中数据知，甲得分为： 18，26，28，28，31，33，且集中在18～33内；
乙得分为：12，18，19，25，26，32，且分布在12～32内； 所以甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定； 应选甲参加比赛． 故选：B ．
根据茎叶图中数据的分布情况知，甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定． 本题考查了利用茎叶图分析平均数与稳定性的问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：
D(0,0，0)，O(1,1，0)，B 1(2,2，2)，M(1,0，2)，N(0,2，1)， ∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,0),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为θ，则cosθ=|B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=
√5×√3
=
√15
15
． 故选：C ．
建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．
本题考查空间角的求法，一般的，如果给的条件便于建系，求角的问题利用坐标法比较简单．同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能，.属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C ．
由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，问题得以解决．
本题考查了合情推理的问题，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查线面间的位置关系，同时考查充分条件的含义及空间想象能力，属于基础题． 根据题意分别画出错误选项的反例图形即可． 【解答】
解：A 、B 、D 的反例如图．
故选：C ．
8.【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，在(0,+∞)上是增函数， ∴函数f(x)是在(−∞,0)上是增函数， 又f(−4)=0，∴f(4)=0，
由xf(x)>0，得{x >0f(x)>0或{x <0
f(x)<0，
∴x >4或x <−4．
∴x 的取值范围是(−∞,−4)∪(4,+∞)． 故选：D ．
由奇函数的图象关于原点对称及f(x)在(0,+∞)为增函数，可得函数f(x)是在(−∞,0)上是增函数，结合f(−4)=f(4)=0，转化为不等式组求解．
本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
9.【答案】A
【解析】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，所得的组合体， 其截面是一个梯形，
上底长为√12+12=√2，下底边长为√22+22=2√2， 高为：(√22)=3√22，
故截面的面积S =1
2(√2+2√2)×3√22
=9
2
，
故选：A ．
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
10.【答案】B
【解析】解：∵y =−2与函数f(x)=2sin(ωx −π
3)，(其中w >0)的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T =2，即2π
ω=2，得ω=2， 则f(x)=2sin(2x −π
3)，
由2kπ−π
2≤2x −π
3≤2kπ+π
2，k ∈Z ， 得kπ−π
12≤x ≤kπ+5π
12，k ∈Z ，
即函数的单调递增区间为[kπ−π
12,kπ+5π
12]，k ∈Z ， 故选：B ．
根据最值点之间的关系求出周期和ω，结合三角函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和ω，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．
11.【答案】B
【解析】解：当x >0时，因为log 21=0，所以有一个零点，
所以要使函数f(x)={log 2x,x >0
−2x −a,x ≤0有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f(x)没有零点即可，
当x ≤0时，0<2x ≤1，∴−1≤−2x <0，∴−1−a ≤−2x −a <−a ， 所以−a ≤0或−1−a >0， 即a ≥0或a <−1， 故选：B ．
当x >0时，因为log 21=0，所以有一个零点，所以要使函数f(x)有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f(x)没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a 的取值范围即可． 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．
12.【答案】C
【解析】解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|=2c ，则|PF 1|=2a −2c ． ∵|PF 1|=4
3|QF 1|，
∴|QF 1|=34(2a −2c)=3
2(a −c)， 则|QF 2|=2a −32(a −c)⋅a 2+3
2， 在等腰△PF 1F 2中，可得cos∠PF 1F 2=
1
2
|PF 1||F 1F 2|a−c
2c
．
在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠QF 1F 2
=94(a−c)2+4c 2−1
4
(a+3c)22×2c×32
(a−c)
，
由cos∠PF 1F 2+cos∠QF 1F 2=0，得a−c
2c +94(a−c)2+4c 2−1
4
(a+3c)22×2c×3
2
(a−c)
=0，
整理得：5a−7c 6c =0，∴5a =7c ，
∴e =
c
a =5
7
． 故选：C ．
由题意画出图形，由|PF 2|=2c ，|PF 1|=4
3|QF 1|，利用椭圆的定义可得：|PF 1|=2a −2c ，进一步求出|QF 1|，|QF 2|，在等腰△PF 1F 2中，求得得cos∠PF 1F 2.在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠QF 1F 2，利用cos∠PF 1F 2+cos∠QF 1F 2=0，化简求得5a =7c ，则答案可求．
本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】8
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由{y =22x −y −2=0，解得A(2,2)， 由z =x +3y 得：y =−1
2x +，
显然直线过A 时，z 最大，z 的最大值是z =2+3×2=8， 故答案为：8．
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z 的最大值即可．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
14.【答案】−1
【解析】解：根据题意，设x <0，则−x >0， 则f(−x)=log 3(−x +1)， 又由函数为R 上的奇函数，
则f(x)=−f(−x)=−log 3(−x +1)， 即g(x)=−log 3(−x +1)，
有由函数为奇函数，则f(−8)=−f(8)=−2， g[f(−8)]=g(−2)=−log 3[−(−2)+1]=−1； 故答案为：−1．
根据题意，由函数的奇偶性计算可得g(x)的解析式以及f(−8)的值，进而有g[f(−8)]=g(−2)，代入g(x)的解析式，计算即可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的应用，注意求出函数g(x)的解析式．
15.【答案】4π
【解析】解：长方形ABCD 中，AB =1，∠ABD =60°，可得BD =2，AD =√3，
作AE ⊥BD 于E ，可得AE ⋅BD =AB ⋅AD ，所以AE =√3
2
，
BE=√AB2−AE2=√1−3
4=1
2
，
因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊆面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以AE⊥面BCD，
由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点O1，且外接圆的半径r=1
2
BD=1，过O1作OO1垂
直于底面BCD，所以EO1=O1B−BE=1−1
2=1
2
，
所以OO1//AE，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作OF⊥AE于F，则四边形EFOO1为矩形，O1E=OF，EF=OO1，则OA=OC=OB=OD=R，
在△AFO中，OA2=AF2+OF2=(AE−EF)2+EO12即R2=(√3
2−OO1)2+1
4
；①
在△BOO1中：OB2=OO12+EO12，即R2=OO12+1
4
；②
由①②可得R2=1，OO1=0，即外接球的球心为O1，
所以外接球的表面积S=4πR2=4π，
故答案为：4π．
由长方形中AB=1，∠ABD=60°，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面ABD⊥平面BCD可得AE⊥面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．
16.【答案】8n(n+1)
【解析】解：数列{a n}的各项均为正数，其前n项和S n满足4S n=a n2+2a n，n∈N∗．
可得n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，解得a1=2，
n≥2时，4S n−1=a n−1
2+2a n−1，又4S n=a n2+2a n，
相减可得4a n=a n2+2a n−a n−1
2−2a n−1，
化为(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，
由a n>0，可得a n−a n−1=2，
则a n=2+2(n−1)=2n，
b n=(−1)n⋅a n a n+1=(−1)n⋅4n(n+1)，
可得T2n=4[−1×2+2×3−3×4+4×5−5×6+6×7−⋯−(2n−1)(2n)+(2n)(2n+1)]
=4(2×2+2×4+2×6+⋯+2×2n)=8×1
2
n(2+2n)=8n(n+1)．
故答案为：8n(n +1)．
由数列的递推式：n =1时，a 1=S 1；n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等差数列的通项公式和求和公式，化简整理可得所求和．
本题考查数列的递推式的运用，等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵2a =2bcosC +csinB ，
利用正弦定理可得：2sinA =2sinBcosC +sinCsinB ， 又sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ， 化为：2cosBsinC =sinCsinB ，
∵sinB ≠0，∴2cosB =sinB ，∴tanB =2．
(Ⅱ)∵tanB =2，B ∈(0,π)，可得sinB =5，cosB =5．
∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC
=√5√2
2
+
√5
×
√22
=
3√10
10
． ∴
a sinA =
b
sinB
，可得：a =b
2√5
×
3√10
10
=
3√2b
4．
又1
2absin π
4=6，可得b =12√2
a
．
∴a =3√24
×
12√2
a
，解得a =3√2．
【解析】本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(Ⅰ)由2a =2bcosC +csinB ，利用正弦定理可得：2sinA =2sinBcosC +sinCsinB ，又sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ，化简即可得出．
(Ⅱ)由tanB =2，B ∈(0,π)，可得sinB =√5，cosB =√5sinA =sin(B +C)，由正弦定理：a
sinA =b
sinB ，可
得：a =
3√2b
4
.又12absin π4=6，可得b =12√2a
.即可得出a ．
18.【答案】解：(1)当x ∈[100,130)时，T =0.8x −39；…(1分)
当x ∈[130,150]时，T =0.5×130=65，…(2分) 所以，T ={
0.8x −39,100≤x <130
65,130≤x ≤150
…(3分)
(2)根据频率分布直方图及(Ⅰ)知，
当x ∈[100,130)时，由T =0.8x −39≥57，得120≤x <130，…(4分)
当x∈[130,150]时，由T=65≥57，…(5分)
所以，利润T不少于57万元当且仅当120≤x≤150，
于是由频率分布直方图可知市场需求量x∈[120,150]的频率为
(0.030+0.025+0.015)×10=0.7，
所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为0.7；…(7分) (3)估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为
x−=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15=126.5(吨)；…(9分)由频率分布直方图易知，由于x∈[100,120)时，
对应的频率为(0.01+0.02)×10=0.3<0.5，
而x∈[100,130)时，对应的频率为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6>0.5，…(10分)
因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间[120,130)，
于是估计中位数应为120+(0.5−0.1−0.2)÷0.03≈126.7(吨).…(12分)
【解析】(1)计算x∈[100,130)和x∈[130,150]时T的值，用分段函数表示T的解析式；
(2)计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；
(3)利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，
根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．
本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目．
19.【答案】解：(1)取AD、BC的中点分别为M、E，连结PM，PE，ME，
∵AB//CD，AB=3CD=3，
∴四边形ABCD为梯形，
又∵M、E为AD、BC的中点，
∴ME为梯形的中位线，∴ME//AB，
又∵∠ABC=90°，
∴ME⊥BC，
∵PB =PC ，E 为BC 的中点 ∴PE ⊥BC ，
又∵PE ∩ME =E ，PE ⊂平面PME ，ME ⊂平面PME ， ∴BC ⊥平面PME ，
又∵PM ⊂平面PME ，故PM ⊥BC ， 由PA =PD ，M 为AD 中点，∴PM ⊥AD ，
又∵AD ，BC 不平行，必相交于某一点，且AD ，BC 都在平面ABCD 上， ∴PM ⊥平面ABCD ，
由PM ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABCD ．
(2)由(1)及题意知，PM 为三棱锥P −BCD 的高，AD =2√2，ME =2，PM =√2，故PE =√6， ∵S △PBC =1
2
BC ×PE =1
2
×2×√6=√6，且S △BCD =1
2
BC ×CD =1
2
×2×1=1，
设点D 到平面PBC 的距离为h ，
∴由等体积法知：V P−BCD =V D−BCP =1
3S △BCD ×PM =1
3S △PBC ×ℎ=1
3×1×√2=1
3×√6×ℎ， 解得ℎ=√3
3
，所以点D 到平面PBC 的距离为√3
3
．
【解析】(1)取AD 、BC 的中点分别为M 、E ，连结PM ，PE ，ME ，由已知可证ME ⊥BC ，PE ⊥BC ，利用线面垂直的判定定理可证BC ⊥平面PME ，利用线面垂直的性质可证PM ⊥BC ，又PM ⊥AD ，可证PM ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的判定定理可证平面PAD ⊥平面ABCD ．
(2)由(1)及题意知PM 为三棱锥P −BCD 的高，设点D 到平面PBC 的距离为h ，利用等体积法，三角形的面积公式可求h 的值，即可得解．
本题考查线面垂直、面面垂直，掌握线面垂直、面面垂直的判定方法和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据条件e =c
a =
√3
2
，所以c 2=3
4a 2，b 2
=1
4a 2
，且
2b 2a
=1，解得a 2=4，b 2=1，
故椭圆W 的标准方程为：
x 24
+y 2=1；
(2)当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为x =1， 代入椭圆W 的方程，得C(1,√3
2)，D(1,−√3
2)，
易得CB 的方程为y =−√3
2
(x −2)，
则M(4,−√3)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−√3)，AN ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√32
) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A ，D ，M 三点共线； 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 联立方程{y =k(x −1)
x 24
+y 2
=1
，消去y ，得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0， 由题意，得△>0恒成立，故x 1+x 2=
8k 2
4k 2+1
，x 1x 2=
4k 2−44k 2+1，
直线CB 的方程为y =y 1
x 1−2(x −2)，令x =4，得M(4,2y 1
x 1−2
)，
又因为A(−2,0)，D(x 2,y 2)，
则直线AD ，AM 的斜率分别为k AD =y 2
x 2+2，k AM =y
13(x 1−2)，
所以k AD −k AM =y 2
x
2
+2−y
1
3(x 1
−2)
=3y 2(x 1−2)−y 1(x 2+2)3(x 1−2)(x 2+2)
上式中的分子 3y 2(x 1−2)−y 1(x 2+2)=3k(x 2−1)(x 1−2)−k(x 1−1)(x 2+2) =2kx 1x 2−5k(x 1+x 2)+8k =2k ×4k 2−44k 2+1
−5k ×
8k 24k 2+1
+8k =0，
所以k AD −k AM =0． 所以A ，D ，M 三点共线．
【解析】(1)由条件得c
a
=√3
2，
2b 2a
=1，求出a 2，b 2即可；
(2)分斜率是否存在讨论，①当直线CD 的斜率k 不存在时，求出A ，M ，C ，D 坐标，用向量法易证A ，D ，M 三点共线．②当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立方程{y =k(x −1)
x 24+y 2
=1，消去y ，得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0.将k AM ，k AD 表示为含有k 的算式，可以证k AM ，k AD 相等．故A ，D ，M 三点共线．
本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，证明时需对直线CD 斜率是否存在讨论，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵f′(x)=ae x (x +1)，g′(x)=2x +2，
由已知可得{f′(1)=g′(1)
f(1)=g(1)=c
，
即{2ae =4
ae =3+b =2
，解得a =2e ，b =−1，c =2， ∴切线的斜率g′(1)=4，
∴切线l的方程为y−2=4(x−1)，即4x−y−2=0，(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2xe x−1，g(x)=x2+2x−1，
设ℎ(x)=k[ef(x)]−g(x)=2kxe x−(x2+2x−1)，
即ℎ(x)≥0，对任意x∈[−1,+∞)恒成立，从而ℎ(x)min≥0，∴ℎ′(x)=2k(x+1)e x−2(x+1)=2(x+1)(ke x−1)，
①当k≤0时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[−1,+∞)上单调递减，
又ℎ(1)=2ke−2<0，显然ℎ(x)≥0不恒成立，
②当k>0时，ℎ′(x)=0，解得x1=−1，x2=−lnk，
(i)当−lnk<−1时，即k>e时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增，
又ℎ(x)min=ℎ(−1)=−2k
e +2=2(e−k)
e
<0，显然ℎ(x)≥0不恒成立，
(ii)当−lnk=−1时，即k=e时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
∴ℎ(x)min=ℎ(−1)=−2k
e +2=2(e−k)
e
=0，即ℎ(x)≥0恒成立，
(iii)当−lnk>−1时，即0<k<0时，
当x∈[−1,−lnk)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当x∈(−lnk,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
∴ℎ(x)min=ℎ(−lnk)=2−lnk−(ln2k−2lnk−1)=1−ln2k≥0，
解得1
e
≤k≤e，
∴1
e
≤k<e，
综上所述得1
e
≤k≤e．
【解析】(Ⅰ)根据导数的几何意义即可求出切线方程；
(Ⅱ)构造函数ℎ(x)=2kxe x−(x2+2x−1)，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．
此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
22.【答案】解(1)曲线C1的普通方程为：(x−2)2+y2=4；曲线C2的普通方程为：x+y−8=0．
(2)设过原点的直线的极坐标方程为θ=β(0≤β<π,β≠3π
4
,ρ∈R)；
由(x−2)2+y2=4得x2+y2−4x=0，
所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ 在曲线C 1中，|OM|=4cosβ．
由x +y −8=0得曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−8=0， 所以而O 到直线与曲线C 2的交点N 的距离为|ON|=8
sinβ+cosβ， 因此
|ON||OM|
=
8
sinβ+cosβ
4cosβ
=
2
sinβcosβ+cos 2β
=
√2sin(2β+π
4)+1
，
即|ON|
|OM|的最小值√2+1=4(√2−1)．
【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用转换关系，把三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −1|={3x,x >1
x +2,−1
2
≤x ≤1−3x,x <−1
2， 则f(x)<9等价为{x >13x <9或{−1
2≤x ≤1x +2<9或{
x <−
1
2−3x <9， 解得1<x <3或−1
2≤x ≤1或−3<x <−1
2， 综上可得原不等式的解集为(−3,3)； (Ⅱ)当x >0时，f(x)>1恒成立， 即为1<f(x)min ，
当a =0时，f(x)=|x −1|，其最小值为f(1)=0，不符题意；
当a <0，即−a >0时，f(x)=|ax +1|+|x −1|=−a|x +1
a |+|x −1|=(−a −1)|x +1
a
|+(|x −1|+|x +1a
|)，
当−a −1≥0，f(x)有最小值，且为|1+1
a |，又|1+1
a |>1不恒成立；
当a >0，x >0时，f(x)=ax +1+|x −1的最小值为f(1)=a +1|>1恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,+∞)．
【解析】(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|2x+1|+|x−1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；
(Ⅱ)由题意可得1<f(x)min，(x>0)，讨论a=0，a<0，a>0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．
本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。