新疆昌吉市教育共同体2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

新疆昌吉市教育共同体2020-2021学年高二上学期期中考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．把二进制数(2)10110化为十进制数为（ ）
A ．22
B ．44
C ．24
D ．36 2．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．设x 为实数，命题p ：x R ∀∈，20x ≥，则命题p 的否定是（ ）
A ．p ⌝：x R ∀∈，20x ≤
B ．p ⌝：0x R ∃∈，200x ≤
C ．p ⌝：x R ∀∈，20x ＜
D ．p ⌝：0x R ∃∈，2
00x ＜ 4．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）
A ．x x >甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛
B ．x x >甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛
C ．x x <甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛
D ．x x <甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛
5．如图是根据x ，y 的观测数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅得到的点图，由这些点图可以判断变量x ，y 具有线性相关关系的图（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
6．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则
①该抽样可能是系统抽样；
②该抽样可能是随机抽样：
③该抽样一定不是分层抽样； ④本次抽样中每个人被抽到的概率都是
15
． 其中说法正确的为（ ）
A ．①②③
B ．②③
C ．②③④
D ．③④ 7．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数x =1.5，y =5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A ．ˆ0.8 6.2y
x =-+ B ．ˆ0.58y x =-+ C ．ˆ0.6 4.1y x =-+ D ．ˆ0.65y
x =+ 8．已知椭圆C ：2221(0)4
x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为
A ．13
B ．12
C
D 9．2021年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（ ）
A ．12
B ．14
C ．18
D ．116
10．一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，下图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为49
，则阴影部分图形的“周积率”为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A ．1a ≤
B ．2a ≤
C ．3a ≤
D ．4a ≤
12．已知椭圆2
4
x ＋23y ＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是()
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
二、填空题
13．某班级有60名学生，现采取系统抽样的方法在这60名学生中抽取10名，将这60名学生随机編号160号，
并分组，第一组16~，第二组712，⋅⋅⋅，第十组5560，若在第三组中抽得的号码为14号的学生，在第八组中抽得的号码为_____的学生. 14．在区间[1,16]上随机选取一个实数x ，则事件“3log 20x -≥”发生的概率为_____.
15．若椭圆()221102x y m m m
-=-<<+上的点到两焦点距离之和为83，则该椭圆的短轴长为______.
16．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．两人能会面的概率为________．
三、解答题
17．某大学高等数学这学期分别用,A B 两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：
（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的22
⨯列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：
（参考方式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++）
（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.
18．某中学的高二（1）班男同学名，女同学名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．
（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选名同学做实验，求选出的两名同学中恰有名女同学的概率；
（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为，第二次做实验的同学得到的实验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．
19．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享
单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）
按照[50,60),[60,70)...[90,100]，分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中x 的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在[50,60)内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为
[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
20．已知0a >，设命题p ：实数满足22430x ax a -+<，命题q ：实数满足
302x x -≥-． （1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；
（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
21．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是10，离心率是45
； （2）在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．
22．点P 是椭圆22
22:?1(0)x y C a b a b
+=>>一点，F 为椭圆C 的一个焦点，||PF 的最
11．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线y x m =+被椭圆C 截得的弦长为
3
，求m 的值
参考答案
1．A
【分析】
利用二进制数的定义将二进制数(2)10110可化为十进制数.
【详解】
由二进制数的定义可得421(2)1011012121222=⨯+⨯+⨯=，故选：A.
【点睛】
本题考查二进制数化十进制数，充分利用二进制数的定义进行转化，此外在将十进制数化为()2,k k k N *≥∈进制数，要利用除k 取余法，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【分析】
根据框图模拟程序运算即可.
【详解】
第一次执行程序，2111S =⨯-=，25S >-，继续循环，
第二次执行程序，2k =，2121S =⨯-=-，25S >-，继续循环，
第三次执行程序，3k =，2(1)35S =⨯--=-，25S >-，继续循环，
第四次执行程序，4k =，2(5)414S =⨯--=-，25S >-，继续循环，
第五次执行程序，5k =，2(14)532S =⨯--=-，25S <-，跳出循环，输出5k =，结束.故选C.
【点睛】
本题主要考查了程序框图，涉及循环结构，解题关键注意何时跳出循环，属于中档题. 3．D
【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题直接写出答案.
【详解】
解：全称命题的否定是特称命题，
命题p :x R ∀∈,20x ≥,则命题p 的否定是:p ⌝：0x R ∃∈，2
00x ＜.
故选:D.
【点睛】
本题考查了含有一个量词的命题的否定,全称命题和特称命题的否定关系,属于基础题. 4．B
【分析】
先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.
【详解】 由题得18+26+28+28+31+3382==63
x 甲， 12+18+19+25+26+32==226
x 乙， 所以x x 甲乙.
从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，
所以要派甲参加.
故选：B
【点睛】
本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．B
【分析】
通过观察散点图可以得出，②③没有明显的线性相关关系；①④是明显的线性相关．
【详解】
由题图知，②③的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；
①中y 随x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关；
④中y 随x 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，y 与x 正相关．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了通过散点图判断两个变量之间的线性相关，是基础题目．
6．A
【分析】
①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行
抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假.
【详解】
①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30； 第二步确定分段间隔3065
k ==；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号(10)l l ≤；
第四步将编号为6(04)l k k +≤≤依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．
②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；
③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，
但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故③正确； ④该抽样男生被抽到的概率
212010=；女生被抽到的概率310=，故“本次抽样中每个人被抽到的概率都是
15
”这个说法是错误的．因此④不正确． 故选A ．
【点睛】
本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．
7．A
【分析】
先由变量负相关，可排除D ；再由回归直线过样本中心，即可得出结果.
【详解】
因为变量x 与y 负相关，所以排除D ； 又回归直线过样本中心(),x y ， A 选项，ˆ0.8 6.2y
x =-+过点(1.5,5)，所以A 正确； B 选项，ˆ0.58y
x =-+不过点(1.5,5)，所以B 不正确；
C 选项，ˆ0.6 4.1y
x =-+不过点(1.5,5)，所以C 不正确； 故选A
【点睛】
本题主要考查线性回归直线，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型.
8．C
【详解】
分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，
，从而求得2c =，再根据题中所
给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得a =最后利用椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，
所以2228a b c =+=，即a =
所以椭圆C 的离心率为
e == C. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果. 9．B
【分析】
根据随机事件的概率计算完成求解.
【详解】
可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则14P =
， 故选：B.
【点睛】
本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）÷（基本事件的总数）.
10．B
【分析】
设两个小圆的半径分别为12,r r ，不妨设12r r ≥，则123r r +=，根据面积比的几何概型，列
出方程求得122,1r r ==，进而求得阴影部分的周长和面积，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，设两个小圆的半径分别为12,r r ，不妨设12r r ≥， 因为大圆的半径为3R =，则123r r +=，
大圆的面积221211
()22
S R r r ππ=
=⨯+， 阴影部分的面积为222
2211212121211111()()()22222
S S r r r r r r r r ππππππ=-+=⨯+-+=，
又由在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为4
9
，
可得112212419()2
S r r S r r ππ==⨯+，整理得22
11222520r r r r -+=， 解得122r r =，又由123r r +=，所以122,1r r ==，
所以阴影部分的周长为121212()2()C r r r r r r ππππ=+++=+，
所以12112
2()3r r C S r r ππ+==，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了新定义的应用，以及面积比几何概型的应用，其中解答中正确理解题意，列出方程求得两小圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 11．A 【分析】
“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为22,[1,2]x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案． 【详解】
若“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得2
2,[1,2]x a x ≥∈恒成立
只需(
)
2
min
22a x
≤=，所以1a ≤时，[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，
“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，
故1a ≤是命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了不等式恒成立问题，以及探求命题的充分不必要条件，属于常考题型． 12．B 【分析】
结合椭圆第一定义列出|MF 1|+|MF 2|＝4，联立求解|MF 1|和|MF 2|，再判断△MF 1F 2三边关系即可 【详解】
由题可知121214MF MF MF MF ⎧⎪⎨+⎪⎩－＝＝，解得12
5232MF MF ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝＝
，又因122F F =，222
1221F F MF MF +=，所以△MF 1F 2为直角三角形 答案选B 【点睛】
本题考查椭圆的基本性质，结合第一定义解题往往是圆锥曲线解题优先考虑的步骤 13．44 【分析】
利用系统抽样的特点得到第八组中抽取的号码为14+83)644-⨯=（得解. 【详解】
由于系统抽样得到的号码是一个以6为公差的等差数列， 所以第八组中抽取的号码为14+83)644-⨯=（. 故答案为：44 【点睛】
本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14．
7
15
【分析】
由对数不等式的解法得：9x ≥，由几何概型中的线段型：169()1617
15
P A -==-，得解． 【详解】
解：解不等式3log 20x -≥得：9x ≥，设事件A 为“3log 20x -≥”， 由几何概型中的线段型可得：169()1617
15
P A -==-， 故答案为：715
【点睛】
本题考查了对数不等式的解法及几何概型中的线段型，属基础题． 15
．
3
【分析】
根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为2a ,可得2a =8
3
，即83
=，求出m
的值，再根据2b m =-，即可求出椭圆的短轴长。

【详解】
∵10m -<<，∴2m m +>-
，∴823a ==
，∴29m =-，∴2
29
b m =-=
，23
b =
.
故答案为：3。

【点睛】
本题考查椭圆的定义及性质，是基础题。

16．
7
16
【分析】
设甲乙从6时起分别经过x 分钟和y 分钟到达会面地点，列出不等式组060
060x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
，若两
人能够会面，则需060
06015x y x y ⎧≤≤⎪
≤≤⎨⎪-≤⎩
，画出可行域，利用面积比的几何概型，即可求解。

【详解】
设甲乙从6时起分别经过x 分钟和y 分钟到达会面地点，
则
060
060
x
y
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
，若两人能够会面，则需
060
060
15
x
y
x y
⎧≤≤
⎪
≤≤
⎨
⎪-≤
⎩
，
作出约束条件表示的可行域，如图所示，可得(,)
x y的所有可能的结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面的可能”结果，由图中的阴影部分表示，
由几何概型的概率公式，可得
22
2
6045360020257 ()
60360016 A
S
P A
S
--
====,
所以，两人能会面的概率是
7 16。

【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
17．（1）见解析；（2）
3
5
P=.
【解析】
试题分析：根据茎叶图所提供的数据，填写22
⨯列联表，根据独立性检验方法先计算随机变量观测值2
K，计算要准确，保留3位小数，根据临界值表发现5.584 5.024
>，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关；甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，求出概率值.
试题解析：（1）
()2
2403101017 5.584 5.024********
k ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.025的
前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关.
（2）甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，93
155
P =
= 18．（1）
115，男、女同学的人数分别为3,1（2）1
2
（3）第二次做实验的同学 【详解】
试题分析：（I ）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（II ）先算出选出的两名同学的基本事件数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b ），（a2，b ），（a3，b ），共6种；再算出恰有一名女同学事件数，两者比值即为所求概率；（III ）欲问哪位同学的试验更稳定，只要算出他们各自的方差比较大小即可，方差小些的比较稳定 试题解析：（1）
，故某同学被抽到的概率
1
15
，课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3,1
（2）选出的两名同学恰有1名女同学的概率为12
（3）
，故第二位同学的实验更稳定．
考点：等可能事件的概率；分层抽样方法；极差、方差与标准差 19．（1）0.02（2）平均数77，中位数540
7
（3）3()10P A =. 【分析】
（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出x ．
（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数．
（3）满意度评分值在[50，60）内有5人，其中男生3人，女生2人，记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A ，利用古典概型能求出2
人均为男生的概率． 【详解】
（1）由(0.0050.010.0350.030)101x ++++⨯=，解得0.02x =.
（2）这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.中位数设为m ，则0.050.2(70)0.0350.5m ++-⨯=，解得540
7
m =
. （3）满意度评分值在[50,60)内有1000.005105⨯⨯=人， 其中男生3人，女生2人.记为12312,,,,A A A B B
记“满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A
则总基本事件个数为25C = 10个，A 包含的基本事件个数为2
3C = 3个，
利用古典概型概率公式可知3()10
P A =. 【点睛】
本题考查频率平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20．（1）()2,3（2）12a <≤ 【分析】
（1）若1a =，分别求出,p q 成立的等价条件，利用p q ∧为真命题，求出x 的取值范围； （2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【详解】
由22430x ax a -+<，0a ≠得()()30x a x a --<， （1）若1a =，则p ：13x <<， 若p q ∧为真，则p ，q 同时为真， 即23
13
x x <≤⎧⎨
<<⎩，解得23x <<，
∴实数x 的取值范围()2,3. （2）由
302x x
-≥-，得
3
02x x -≤-，解得23x <≤. 即q ：23x <≤.
若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， 则必有0a >，此时p ：3a x a <<，0a >. 则有33
2
a a >⎧⎨
≤⎩，即12a a >⎧⎨≤⎩，
解得12a <≤. 【点睛】
本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键.
21．（1）225x +29y =1或29x +225y =1；（2）218x +2
9
y =1
【解析】 【分析】
（1）设出椭圆的方程，根据a ，c 的值求出b 的值，求出椭圆的标准方程即可；
（2）设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=，a ＞b ＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出
椭圆的标准方程． 【详解】
解：（1）设椭圆的方程为：22x a +2
2y b
=1（a ＞b ＞0）或22y a +22x b =1（a ＞b ＞0），
由已知得：2a =10，a =5，e =c a =4
5
，故c =4， 故b 2=a 2-c 2=25-16=9，
故椭圆的方程是：
225x +29y =1或29x +2
25
y =1； （2）设椭圆的标准方程为22x a +2
2y b
=1，a ＞b ＞0，
∵在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线（高），且OF =c ，A 1A 2=2b ， ∴c =b =3．∴a 2=b 2+c 2=18．
故所求椭圆的方程为
218x +2
9
y =1． 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用,属于基础题．
22．（1）2
212
x y +=；（2）1m =±
【分析】
（1）利用已知条件求出椭圆的,a c ，然后求解b ，即可得到方程； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式解得m 的值即可. 【详解】
（1）由点P 是椭圆22
22:?1(0)x y C a b a b
+=>>一点，F 为椭圆C 的一个焦点，||PF 的最
1
1．
可得11
a c a c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩
1b =，
所以椭圆方程为：2
212
x y +=.
（2）设直线y x m =+与曲线C 的交点分别为()()1122M x ,y ,N x ,y
联立22
12
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234220x mx m ++-=, ()
222Δ1612222480m m m =--=->,
即m <<
又21212422
,33m m x x x x --+==
，
MN 3==，化简22
242244333m m --⎛⎫⎛⎫-⨯
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 整理得2880m -=，∴1m =±，符合题意. 综上，1m =±. 【点睛】
本题考查了求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，属于中档题.。