高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》分类汇编及答案解析

《平面解析几何》考试知识点
一、选择题
1．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线
C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b
y x a
=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =
+=13c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23b
y x x a
=±=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
2．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，
FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ）
A ．16
B ．10
C ．12
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以
||||2612AF BF ==⨯=．
【详解】
解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1
||||||2
AD AF AB ==
，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
3．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线2
23
2
2
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程
()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( ) A ．①③ B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()
3
22
2216x y x y +=联立解得
222x y ==可判断①③；由图可判断④.
【详解】
()
2
223
2
222
16162x y x
y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭
，
解得2
2
4x y +≤（当且仅当22
2x y ==时取等号），则②正确； 将2
2
4x y +=和()
3
22
2216x y x y +=联立，解得222x y ==，
即圆2
2
4x y +=与曲线C 相切于点
，(，(，
，
则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
4．设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22
525:()416
C x y +-=
'于
,A B 两点，且AB =C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线
2x =-的距离为（ ）
A ．2
B ．5
C ．7
D ．9
【答案】B 【解析】 【分析】
易得圆C '过原点，抛物线2
2y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐
标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】
圆:2
2
525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭'即为22
52x y y +=,可得圆经过原点.
抛物线2
2y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >.
由AB =可得225m n +=， 又2
2
5
2
m n n +=
联立可解得2,1n m ==.
把()1,2B 代人22y px =，解得2p =，
故抛物线方程为2
4y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.
如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，
可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离
11
(|)422
EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.
5．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）
A ．
125 B ．6
5
C ．2
D 5【答案】A 【解析】
试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线2
4y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可知()()
122min min
22
3912
5
34d d MF d ++=+=
=
+，故选A. 考点：抛物线定义的应用.
6．过双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B
，两点，OAB ∆13bc
，则双曲线的离心率为（ ）
A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
3
【答案】D 【解析】 【分析】
令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离
心率公式计算可得所求值． 【详解】
右焦点设为F ，其坐标为(),0c
令x c =
，代入双曲线方程可得2b
y a
=±=± OAB V
的面积为2122b c a ⋅⋅=
b a ⇒=
可得c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．
7．已知椭圆22
:195
x y C +=左右焦点分别为12F F 、
，直线):2l y x =+与椭圆C 交于
A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足11AF F B λ=u u u v u u u v
，则λ的值等于（ ）
A
．B ．3
C ．2
D
【答案】C 【解析】
由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.
由)22219
5y x x y ⎧=+⎪
⎨+=⎪⎩消去y 整理得232108630x x ++=，
解得34x =-
或218
x =-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得12321
,48
x x =-
=-． ∵11AF F B λ=u u u v u u u v
，
∴1122(2,)(2,)x y x y λ---=+,
∴122(2)x x λ--=+． ∴321
2()(2)48
λ---=-+， 解得2λ=．选C
8．已知0mn ≠，则方程是221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是 ( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
方程2
0mx ny +=即2
m
y x n
=-
，表示抛物线，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆或双曲线，当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程()2
2
10mx ny mn +=≠表示椭圆，无符合条件的选项，当m 和n 异号时，抛物线2
m
y x n
=-
开口向右，方程221mx ny +=表示双曲线，故选A.
9．已知椭圆2
2
:12
y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，
则m 的取值范围是( )
A ．22⎛ ⎝⎭
B ．22⎛ ⎝⎭
C ．33⎛ ⎝⎭
D ．33⎛ ⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得
002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.
又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211
12y x +=，2
2
2212
y x +=，
两式相减可得
1212
1212
2y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.
因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得33m ⎛⎫
∈-
⎪ ⎪⎝⎭
. 故选：C 【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任
意一点，若圆()()2
2
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[
)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可． 【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即
bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴
41a c ≥，即4c
e a
=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]
1,4，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11．已知P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则
“4a =”是“217PF =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当
217PF =时，4a =，得到答案.
【详解】
P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -
=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，
当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】
本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
12．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：
22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =
当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-
Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C
415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
13．倾斜角为45︒的直线与双曲线22
214x y b
-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x
轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ） A ．232 B ．252
C 31
D 51
【答案】B 【解析】 【分析】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且
245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：51c =.方法二：等腰
2Rt QOF △中，可得2
2b QF a
=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得51c =. 【详解】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒， 则122F F c =，2QF c =，15QF c =.
由双曲线的定义可得：122QF QF a
-=， 5451c c c -==，， 故2252c =.
方法二：等腰2Rt QOF △中，22b
QF a
=，
∴2b c a
=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，
得1c =.
∴22c =. 故选：B . 【点睛】
本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.
14．已知12F F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上一
点，2PF 与x 轴垂直，1230PF F ∠=︒，且焦距为 ）
A ．y =
B ．y =
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出c 的值，再求出点P 的坐标，可得2
2b
PF a
=，再由已知求得1PF ，然后根据双曲
线的定义可得b
a
的值，则答案可求． 【详解】
解：由题意，2c =
解得c =
，
∵()2,0F c ，设(),P c y ，
∴22221x y a b
-=，解得2b y a =±，
∴2
2b PF a
=，
∵1230PF F ∠=︒，
∴2
1222b PF PF a
==，
由双曲线定义可得：2
122b PF PF a a
-==，
则222a b =，即2b a
=． ∴双曲线的渐近线方程为2y x =±．
故选：B ．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到,,a b c 中任意两个量的倍数关系进行求解.
15．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为3M 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解.
【详解】
由直线的斜率为tan 603k ︒==3y x b =+.
圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =，
则由弦长公式得：
圆心(0,2)到直线3y x b =+的距离为2222232122r d l ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎪⎝， 即|2|12
b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为3y x =或34y x =+. 直线3y x =过坐标轴上的点(0,0)，
直线34y x =+过坐标轴上的点()0,4与43⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，故点M 的个数为3.
故选：C.
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.
16．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与
抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF
+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ）
A ．18
B ．30
C ．32
D ．36
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 由抛物线性质可知：112AF BF p +=，又111AF BF
+=，∴2p =， 即24y x =
设直线AB 的斜率为k （k≠0），则直线CD 的斜率为1k
-
． 直线AB 的方程为y=k （x ﹣1），
联立214y k x y x
=⎧⎨=⎩（﹣），消去y 得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0， 从而242A B x x k
+=+，A B x x =1 由弦长公式得|AB|=244k
+， 以1k
-换k 得|CD|=4+4k 2， 故所求面积为()
22221141AB CD 4448222k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥32（当k 2=1时取等号），即面积的最小值为32．
故选C
18．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H
，直线2p y =-
与C 交于A ，B
两点，若||3AH =，则||AF =（ ） A ．3
B ．83
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
注意到直线2p y =-过点H ，利用||||AM AH
=tan AHM ∠
=||3AH =，可得||2AM =，再利用抛物线的定义即可得到答案.
【详解】
连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,
,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直
线2p y =-过点H
，tan 3AHM AHM π∠=∠=
，则||||AM AH =
又||3
AH =， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
19．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经
过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：
22
1 169
x y
+=，
点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（）.
A．20 B．18
C．16 D．以上均有可能
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的光学性质可知，小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．
【详解】
依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.
20．如图，设椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在
第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆E 的离心率是（）
A．1
2
B．
2
3
C．
1
3
D．
1
4
【答案】C
【解析】
如图，设AC 中点为M ，连接OM ，
则OM 为△ABC 的中位线，
于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM
1FA AB 2
==， 即c c a -=12可得e=c a =13
． 故答案为
13． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.。