2019版高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第69讲绝对值不等式学案201805072197

第69讲绝对值不等式
考纲要求考情分析命题趋势
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值
不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)||
a＋b≤||a＋||b.
(2)||
a－b≤||
a－c＋||
c－b.
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不
等式：
||
ax＋b≤c，||
ax＋b≥c，||
x－a＋||
x－b≥c.
2017·全国卷Ⅰ，23
2016·全国卷Ⅰ，24
2016·全国卷Ⅲ，24
2016·江苏卷，21(D)
解绝对值
不等式是本部
分在高考中的
重点考查内容，
其中以解含有
两个绝对值的
不等式为主.
分值：5～10分
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，那么||
a＋b≤||a＋||b，当且仅当__ab≥0__时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么||
a－b≤||
a－c＋||
c－b，当且仅当__(a－c)(c －b)≥0__时，等号成立．
2．含绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式||x＜a，||x＞a的解集
不
等式
a＞0a＝0a＜0 ||x
＜a
__{x|－a＜x＜
a}__
__∅____∅__ ||x
＞a
__{x|x＞a或x＜
－a}__
__{x|x∈R且
x≠0}__
__R__
(2)||≤c(c＞0)和||≥c(c＞0)型不等式的解法
①||
ax＋b≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②||
ax＋b≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)．
(1)对||
a＋b≥||a－||b当且仅当a＞b＞0时等号成立．(×)
(2)对||a－||b≤||
a－b当且仅当||a＞||b时等号成立．(×)
(3)对||a －b ≤||a ＋||b 当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) (4)||ax ＋b ≤c 的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( √ ) (5)不等式||x －1＋||x ＋2＜2的解集为∅.( √ ) 2．设ab ＜0，a ，b ∈R ，那么正确的是( C ) A ．||a ＋b ＞||a －b B ．||a －b ＜||a ＋||b C ．||a ＋b ＜||a －b D ．||a －b ＜||||a －||b
解析 由ab ＜0，得a ，b 异号，
易知|a ＋b |＜|a －b |，|a －b |＝|a |＋|b |，|a －b |＞||a |－|b ||， ∴C 项成立，A ，B ，D 项均不成立． 3．不等式1＜||x ＋1＜3的解集为( D ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0)
D ．(－4，－2)∪(0,2) 解析 1＜|x ＋1|＜3⇔1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1⇔0＜x ＜2或－4＜x ＜－2. 4．不等式|2x －1|＜2－3x 的解集是( C )
A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ＜12
B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |12≤x ＜35
C ．⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ＜35
D ．⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ＞35
解析 |2x －1|＜2－3x ⇔3x －2＜2x －1＜2－3x ⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －2＜2x －1，
2x －1＜2－3x ⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＜1，x ＜3
5
⇔x ＜3
5
.
5．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为__(5,7)__． 解析 由|3x －b |＜4得－4＜3x －b ＜4，即－4＋b 3＜x ＜4＋b 3，
∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3， 则⎩⎪⎨⎪⎧
0≤－4＋b
3＜1，3＜4＋b
3≤4
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
4≤b ＜7，
5＜b ≤8，∴5＜b ＜7.
一 绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x 的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简单．若x 的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．
【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.
解析 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0，
令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，
2x －4，x ≥1.
作出函数的图象，如图所示．
由图可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
二 绝对值不等式的证明
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
【例2】 设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2
＋x －a (－1≤x ≤1)，若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54.
证明 方法一 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1.
又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2
－1)＋x |≤|a (x 2
－1)|＋|x |≤|x 2
－1|＋|x |＝1－|x |2
＋|x |＝－⎝
⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 方法二 设g (a )＝f (x )＝ax 2
＋x －a ＝(x 2
－1)a ＋x . ∵－1≤x ≤1，
当x ＝±1，即x 2
－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54
；
当－1<x <1，即x 2
－1<0时，g (a )＝ax 2
＋x －a 是单调递减函数． ∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1，
∴g (
a )max ＝g (－1)＝－x 2
＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54
；
g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋12
2－54
.
∴－54≤g (a )≤54，∴|f (x )|＝|g (a )|≤54
.
三 绝对值不等式的综合应用
对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．
【例3】 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥6；
(2)若不等式f (x )≥3a 2
对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
解析 (1)当a ＝0时，求得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－4x ＋2，x ＜－1
2
，
4，－12≤x ≤32
，
4x －2，x ＞32
，
由f (x )≥6⇒x ≤－1或x ≥2.
所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
(2)因为|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4. 所以f (x )min ＝4＋a ，要使f (x )≥3a 2
对一切实数x 恒成立， 只要4＋a ≥3a 2
，解得－1≤a ≤43.
所以实数a 的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，43. 【例4】 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2
＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于
x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①
当x <－1时，①式化为x 2
－3x －4≤0，无解；
当－1≤x ≤1时，①式化为x 2
－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；
当x >1时，①式化为x 2
＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172
.
所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤
－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.
所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 故a 的取值范围是[－1,1]．
1．解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x
2
＋1.
解析 ①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x
2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－
3.
②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x
2＋1，
解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－2
5
.
③x ≥12，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x
2
＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.
故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜－2
5或x ＞2.
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；
(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2， 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{}x |－1≤x ≤3.
(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝1
2
时等号成立，所以当x ∈R 时，
f (x )＋
g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①
当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．
3．(2018·陕西西安模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；
(2)若对于x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤1
6，求证：f (x )<1.
解析 (1)f (x )<|x |＋1⇔|x |－|2x －1|＋1>0， 当x <0时，－x ＋(2x －1)＋1>0，得x >0，∴无解； 当0≤x ≤12时，x ＋(2x －1)＋1>0，得x >0，∴0<x ≤1
2；
当x >12时，x －(2x －1)＋1>0，得x <2，∴1
2<x <2，
故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.
4．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得2
3<x <1；
当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.
所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |23<x <2.
(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，
－x ＋1＋2a ，x >a .
所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝
⎛⎭
⎪⎫2a －13，0，
B (2a ＋1,0)，
C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23
(a ＋1)2.
由题设得23(a ＋1)2
>6，故a >2.
所以a 的取值范围为(2，＋∞)．
易错点 不能正确处理好整体与个体的关系
错因分析：先由已知求得x 和y 的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误． 【例1】 已知||x ＋y ＜13，||2x －y ＜16，求证：||x －y ＜29.
证明 设m (x ＋y )＋n (2x －y )＝x －y ，
则⎩⎪⎨
⎪
⎧
m ＋2n ＝1，m －n ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－13，n ＝2
3，
∴||x －y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13(x ＋y )＋23(2x －y )≤1
3
||x ＋y ＋23||2x －y ＜19＋19＝29.
【跟踪训练1】 (2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，||y －2＜a
3，求证：||2x ＋y －4＜a .
证明 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a
3
， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a
3
＝a .
课时达标 第69讲
[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．
1．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－|x －a |＋a (a ∈R )． (1)解不等式f (x )≤5；
(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围．
解析 (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f (x )≤5的解集为[－2,3]．
(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，即|x －2|＋|x －a |≥a 恒成立． 而|x －2|＋|x －a |≥|(2－x )＋(x －a )|＝|a －2|， ∴(|x －2|＋|x －a |)min ＝|a －2|， ∴|a －2|≥a ，
∴a ≤0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
(a －2)2
≥a 2
，a >0，解得a ≤1，故a 的取值范围为(－∞，1]．
2．设f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；
(2)若对任意的x ∈R ，f (x )≥4，求实数a 的取值范围．
解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，
2x ，x >1，
其图象如下．
根据图象易得f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≤－32或x ≥
3
2. (2)由于f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|， 对任意的x ∈R ，f (x )≥4等价于|a －1|≥4， 解得a ≥5或a ≤－3，
故实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；
(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝3时，f (x )>0， 即|x －2|－|2x －3|>0， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤32
，
x －1>0
或⎩⎪⎨⎪⎧
32<x <2，
－3x ＋5>0
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ≥2，－x ＋1>0，
解得1<x ≤32或32<x <5
3
或无解．
∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
1<x <
5
3. (2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )＝2－x －|2x －a |， ∴f (x )<0 可化为|2x －a |>2－x ， 即2x －a >2－x 或2x －a <x －2，
即a <3x －2或a >x ＋2恒成立，∵x <2，∴a ≥4. 故a 的取值范围是[4，＋∞)．
4．设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立． (1)求m 的取值范围；
(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x ≤2m －12.
解析 (1)设f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|， 则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－6－2x ，x <－7，8，－7≤x ≤1，
2x ＋6，x >1，
当x <－7时，f (x )>8，当－7≤x ≤1时，f (x )＝8， 当x >1时，f (x )>8.
综上，f (x )有最小值8，所以m ≤8，故m 的取值范围为(－∞，8]． (2)当m 取最大值时，m ＝8.原不等式等价于|x －3|－2x ≤4，
等价于⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥3，
x －3－2x ≤4或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <3，
3－x －2x ≤4，
等价于x ≥3或－1
3
≤x <3.
所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≥－
1
3. 5．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；
(2)若不等式f (x )≥x 2
－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，
3，x >2.
当x <－1时，f (x )≥1无解；
当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．
(2)由f (x )≥x 2
－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2
＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2
＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2
＋|x | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54， 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.
6．设函数f (x )＝|x －a |.
(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；
(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋1
2n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.
解析 (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4.
因为方程|x －2|＋|x －1|＝4的解为x 1＝－12，x 2＝7
2，
所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.
(2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1， 而f (x )≤1的解集是[0,2]， 所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
a －1＝0，a ＋1＝2，
解得a ＝1，所以1m ＋1
2n
＝1(m >0，n >0)．
所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ＋12n ＝2＋2n m ＋m 2n ≥4.。