山东高一高中数学期中考试带答案解析

山东高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.若，则
2.函数的定义域为__________．
3.已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为__________．
4.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .
5.下列叙述：
①函数是奇函数；
②函数的一条对称轴方程为；
③函数，，则的值域为；
④函数，有最小值，无最大值.
所有正确结论的序号是__________．
二、选择题
1.函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值为（）A．B．C．或D．或2
2.的值为（）
A．B．C．D．
3.已知经过点和点的直线的斜率等于，则的值为（）
A．B．C．D．
4.在空间直角坐标系中，点和的距离为，则的值为（）
A．B．C．或D．或
5.过点且平行于直线的直线方程为（）
A．B．C．D．
6.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（）
A．B．C．D．
7.若函数的函数（部分）如图所示，则和的取值是（）
A．B．C．D．
8.下列区间中，使函数为增函数的是（）
A．B．C．D．9.为了得到函数的图像，只需把上的所有的点（）
A．向左平行移动长度单位B．向右平行移动长度
单位
C．向右平行移动长度
单位
D．向左平行移动长度
单位
10.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值（）A．B．C．D．
三、解答题
1.（1）化简.
（2）已知，求的值
2.求经过两直线和的交点，且垂直于直线的直线方程.
3.已知
（1）求函数的最小正周期和最大值，并求出为何值时，取得最大值；
（2）求函数在上的单调增区间.
4.已知函数.
（1）求的值；
（2）求在上的最大值.
5.（1）已知圆的圆心是与轴的交点，且与直线相切，求圆的标准方程. （2）若点在圆上，求的最大值.
6.已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程
山东高一高中数学期中考试答案及解析
一、填空题
1.若，则
【答案】
【解析】
【考点】本题考查齐次式
点评：将分子分母同除以，就可以得到
2.函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由于，所以，则，即函数的定义域为
，应填答案。

点睛：解答本题的关键是想将函数解析表达式进行转化与化简，再运用分式的分母不为零这一约束条件求得函数的定义域，使得问题获解。

3.已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为__________．
【答案】4
【解析】由于弧长，所以，应填答案。

4.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，到直线的距离为
，弦长为．
【考点】直线与圆相交弦长问题．
5.下列叙述：
①函数是奇函数；
②函数的一条对称轴方程为；
③函数，，则的值域为；
④函数，有最小值，无最大值.
所有正确结论的序号是__________．
【答案】②④
【解析】由于，所以不是奇函数，即命题①
不正确；由，即，当时，的，则命题②是
正确的；若，则，所以，即函数的值域是，故命题③不正确；由于，所以当时，函数有最小值，但无最大值，
故命题④是正确的。

应填答案②④。

点睛：解答本题的关键是对三角函数的图像与性质等知识掌握的是否扎实，运用知识的灵活程度以及数学思想方法运用的是否恰当。

求解时关键要学会综合运用所学知识分别逐一验证题设中所提供的四个命题的正确与错误，最终使得问题获解。

二、选择题
1.函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值为（）A．B．C．或D．或2
【答案】D
【解析】由已知，，则，即，，又函数在区间上是单调函数，可知，即，解得，所以当或时，满足题意，即或.
【考点】三角函数图象的性质.
【方法点睛】本题主要考查三角函数图象的性质.对于余弦型函数，函数的对称中心在轴上，可
将对称中心的坐标代入函数关系式，当函数在区间上为单调函数时，由三角函数图象可知区间长度，为函数最小正周期，可借助，即，得，结合，求出的值.
2.的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以应选答案D。

3.已知经过点和点的直线的斜率等于，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设可得，解之得，应选答案A。

4.在空间直角坐标系中，点和的距离为，则的值为（）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】由两点间距离公式可得，解之得，应选答案D。

5.过点且平行于直线的直线方程为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设可得所求直线的斜率是，由点斜式方程可得，即，应选答案C。

6.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由点到直线的距离公式可得圆的半径，故所求圆的方程为，应
选答案D。

7.若函数的函数（部分）如图所示，则和的取值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由图像可知，即，故，将点代入函数解析式可得，即，故，应选答案B。

8.下列区间中，使函数为增函数的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由余弦函数的图像可知其增区间为，则当函数增区间为，应选答案C。

9.为了得到函数的图像，只需把上的所有的点（）
A．向左平行移动长度单位B．向右平行移动长度
单位
C．向右平行移动长度
单位
D．向左平行移动长度
单位
【答案】A
【解析】由于函数，所以只需将函数则的图像上所有点向左平移个单位，即可得到函数的图像，应选答案A。

点睛：三角函数的图像与变换是三角函数中的重要题型，解答时一定要注意系数不为1的函数形式，如本题的，务必将其变形为，从而观察出，因此获得答案，求解过程综合运用了函数方程思想及等价转化与化归的数学思想。

10.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为
，故当时，，应选答案B。

点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解。

本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想。

三、解答题
1.（1）化简.
（2）已知，求的值
【答案】(1);（2）.
【解析】【试题分析】（1）运用三角函数的诱导公式进行化简；（2）先运用三角函数的诱导公式进行化简，再运用同角三角函数的关系化简求值：
(1)
所以，原式=
（2）∵
∴
2.求经过两直线和的交点，且垂直于直线的直线方程.
【答案】.
【解析】【试题分析】先求交点坐标，再求出斜率，最后运用直线的点斜式方程求解：
得：即过点
又直线的斜率为
即
3.已知
（1）求函数的最小正周期和最大值，并求出为何值时，取得最大值；
（2）求函数在上的单调增区间.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】【试题分析】（1）先运用周期公式求出周期，再借助正弦函数的图像分析求解；（2）借助正弦函数的图像与性质分析求解：
（1），
当,即时，的最大值为1.
（2）令
得
设
所以，
即函数在上的单调增区间为
4.已知函数.
（1）求的值；
（2）求在上的最大值.
【答案】（1）;（2）.
【解析】【试题分析】（1）先运用三角变换公式进行化简，再代入求值；（2）借助（1）的化简结果，再运用正弦函数的图像与性质分析求解：
（1）
（2）
因为，所以
所以当，即时，取得最大值
5.（1）已知圆的圆心是与轴的交点，且与直线相切，求圆的标准方程.
（2）若点在圆上，求的最大值.
【答案】（1）;（2）.
【解析】【试题分析】（1）先求圆心坐标，再借助直线圆相切求半径；（2）借助直线与圆的位置关系及数形结合思想分析探求：
（1）圆心半径
圆
（2）依题意：圆心，半径为
表示点到圆上的点的连线的斜率.
当此直线与圆相切时，的最值为，故的最大值为.
6.已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程
【答案】(1)的轨迹方程是,轨迹是以为圆心，以为半径的圆;
(2)，或.
【解析】【试题分析】（1）运用两点间距离公式建立方程进行化简；（2）借助直线与圆的位置关系，运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程分析求解：
(1)由题意，得
化简，得．
即．
点的轨迹方程是
轨迹是以为圆心，以为半径的圆
(2)当直线的斜率不存在时，，
此时所截得的线段的长为，
符合题意．
当直线的斜率存在时，设的方程为
，即，
圆心到的距离，
由题意，得，
解得．
∴直线的方程为．
即.
综上，直线的方程为
，或.
点睛：轨迹方程的探求是高中数学中重要的题型之一，本题中的第一问是典型的到两定点距离之比为定值的点的轨迹的探求。

求解时直接运用两点间距离公式建立方程，然后再两边平方进行化简，从而获得答案；第二问也是传统的直线与圆相交的问题题型。

求解时先运用点斜式建立直线的方程，然后运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程使得问题获解。