27.2.3三角形相似预备定理.

△AOB∽ △FOE
AB∥CD △AOB ∽△DOC
EF∥CD
△EOF∽△COD E
B
O F
C
D
2.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，
DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个: A
△AＤＥ △ＧＦＣ △ＧＯＥ
D
B F
G
O
先证明两个三角形的对应角相等.
在ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点.
在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF. DE / /BC, EF / / AB,
AD AE , BF AE AB AC BC AC 四边形DEFB是平行四边形，
解: ∵ DE∥BC
∴ —AB— ＝A—C— （推论）
BD CE
即 —15—＝—9—
B
4 CE ∴ CE ＝ 1—52
D
∴ AE= AC+CE=9+ 1—2 =11—2
5
5
A
C E
？ 思考
如图,在△ABC 中,DE//BC, DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论.
1、已知AB、CD为梯形ABCD的底，对角线AC、BD的 交点为O，且AB=8，CD=6,BD=15，求OB、OD的长。
2、如图，在△ABC中，作平行于BC的直线交AB于D，
交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，
AO的延长线和BC交于G。
BG
证明：（1） GC

DF FE
（2）BG=GC
A: —AA—BD ＝ —AACE— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—DC ＝ —AA—EB ( ) D: —AA—DE ＝ —AA—BC( )B
C
2、填空题:
ED
如图:DE∥BC,
已知:
—AACE—
＝
—2 5
求:
—AADB—
＝
—2 —5 —
A B
C
3.已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
我们就说△ABC与△A’B’C’相
似,
k就是它们的相似比.
记作:△ABC∽△A’B’C.
如果k=1,这两 个三角形有怎
样的关系?
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 相似比是多少？
２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？
３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？
∠BAC=450,∠ACB=400.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
E
解: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400.
A
D
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
（2） △ADE∽△ABC
AE DE ,即 50 DE . AC BC 50 30 70
E
C
3.如图在平行四边形ABCD中，E为AD上一 点，连结CE并延长交BA的延长线于点F， 请找出相似的三角形并表示出来。
D
C
E
F
A
B
例 如图，已知AB∥EF∥CD，若ＡＢ＝６，ＣＤ＝９ 求：ＥＦ
Ａ Ｅ
Ｂ Ｆ
Ｄ Ｃ
结论：ＥＦ／ＡＢ＋ＥＦ／ＣＤ＝１
１．如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
DE=BF DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于点D、
E.求证：AD AE DE . AB AC BC
(2)如果 AE 2 ， 求证：5EF 2BC 3AD
EB 3
(3)请你探究一般结论， 即如果 AE m ， 那么可以得到
EB n
什么结论。
3、如图，A、B两点间隔一个湖泊，因而A、 B两点间的距离无法直接测量，请你设计一 个间接测量AB长度的方案，并说明所设计 方案的合理性。
4、如图，梯形ABCD中，点E、F分别在
AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平
行移动，
(1)如果 AE 1 ， 求证：3EF BC 2AD
EB 2
1.相似三角形的—对—应—角——相—等—,对应边的—比—相—等—
如果△ ABC∽ △DEF, 那么
A
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F B
AB AC BC

D
C
DE DF EF
E
F
1. 对应角__相__等_, 对应边的—比—相—等—的两个
三角形, 叫做相似三角形
在△ABC和△A’B’C’中,如果 ∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
A
(图形语言)
法2：为了证明
AD AB

DE BC
，需
D
用平行线分线段成比例定理. B
故作CG//AB,且与DE的延长
线交于点G.
E
G
C
证明:过点C作CG//AB,且与DE的延长线交于点G.
∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC ∵CG//AB, ∴DE:DG=AE:AC


AD AB

所以, DE 50 70 43.75(cm). 50 30
C B
２．如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_：__4_。
A
D E F
B
G H I
C
作业
300
450
L5 L4
L5 L4
A
L1
ED
L1
DE
L2
A
L2
B
C L3 B
C
L3
数学符号语言 数学符号语言
∵ DE∥BC
∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
∵
AD AB
=
AE AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等
练习一:
A
1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
DE . DG
∵四边形DEFB为平行四边形， ∴DG=BC.
AD AE DE . AB AC BC
平行于三角形一边的直线和其他两边 所在的直线相交，所构成的三角形与原三 角形相似．
A型 A
DE
B
C
X型
ED
A
B
C
1.已知：如图，AB∥EF ∥CD，
图中共有__3__对相似三角形。
A
AB∥EF