林州市第六中学七年级数学上册 高频考点06 有理数的乘方与科学记数法 新人教版

高频考点06 有理数的乘方与科学记数法
知识框架
⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩
乘方的意义乘方运算法则
基础知识点近似数与准确数理解精确度有理数的混合运算乘方的简便运算重点题型确定末尾数字
乘方在实际科学记数法的概中念问题的应用 一、基础知识点
知识点1 乘方的意义
1）①n 个相同因素a 的乘积运算叫做乘方，即n
a n a a a a a =⨯⨯⨯
相乘个（n 是正整数）。

其中：a ——底数 n ——指数 n a ——幂
②通常a 2读作a 的平方，a 3
读作a 的立方。

③当a >0时，（-a ）n =,n n a n a n ⎧⎪⇒⎨-⎪⎩为偶数注：会出现多解问题，为奇数 例1．（2020·山西灵石初一期中）()6
5-表示的意义是____________，其中底数是______，指数是________.
【答案】6个(－5)相乘 －5 6
【分析】n 个相同的因数a 相乘，记作n a ，其中底数是a ，指数是n.
【解析】解：()65-表示的意义是6个(－5)相乘，其中底数是－5，指数是6，
故答案为:6个(－5)相乘，－5，6.
【点睛】此题考查的是乘方的定义，n 个相同的因数a 相乘，记作n a ，这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在乘方运算n a 中，a 叫做底数，n 叫做a 的幂的指数，简称指数.
例2．（2020·北京海淀北理工附中初三零模）计算：
23222333m n ++++⨯⨯⨯个个=______．
【答案】23n m + 【分析】根据乘法的定义：求几个相同加数的运算，叫做乘法，和乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可得出答案.
【解析】∵
2222m +++个＝2m ，3333n ⨯⨯⨯个＝3n
， ∴23222333m n ++++⨯⨯⨯个个=23n m +.故答案为23n m +.
【点睛】本题考查了乘法与乘方的定义.解题的关键在对乘法与乘方定义的区分，本题的易错点在于因没有注意观察，而把两种运算当成一种运算.
例3.（2020·全国初一课时练习）填表： 乘方 65 (－5)4 3(12
)- －27 底数
指数
【答案】见解析
【分析】根据有理数乘方的定义解答即可．
【解析】解：填表如下：
【点睛】本题考查了有理数乘方的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．
例4．（2020·贵州省桐梓县第四中学初一期中）对于(－2)4与－24
，下列说法正确的是( )
A ．它们的意义相同
B ．它的结果相等
C ．它的意义不同，结果相等
D ．它的意义不同，结果不等 【答案】D
【解析】4(2)-的底数是﹣2，指数是4，结果是16；42-的底数是2，指数是4，它的意思是2的四次方的相反数，结果是﹣16．故选D ．
考点：有理数的乘方．
知识点2 乘方运算法则
1）乘方就是多个数相乘的运算，因此在运算法则中应排在加减前面；又因乘方是一个不可分割的乘法整体，故也应排在乘除前。

那么运算顺序就是：先括号，后乘方，再乘除，最后加减。

（有括号，永远是括号的等级最高）
例1．（2019·山西初一期末）下列等式成立的是（ ）
A ．()2222=-
B ．2222-=-
C ．()33
22--=-- D ．()33
22=- 【答案】A 【分析】利用乘方的意义计算即可得到结果．
【解析】A 、22＝（−2）2＝4，正确；B 、−22＝−4，|−22|＝4，错误；
C 、−（−2）3＝8，−|−23|＝−8，错误；
D 、23＝8，−23＝−8，错误，故选：A ．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，以及相反数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例2．（2020·黑龙江初一期末）计算：（-1）
2018的结果是____. 【答案】1
【分析】根据有理数乘方计算即可．
【解析】（-1）2018的结果是1；故答案为1.
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是根据有理数乘方的法则解答．
例3．（2020·全国单元测试）若x ，y 为有理数，且()4550x y -++=，则2018x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝________．
【答案】1
【分析】根据非负数的性质可得关于x 、y 的方程，解方程即可求出x 、y ，再把x 、y 的值代入所求式子计算即可．
【解析】解：因为()4
550x y -++=，所以5－x =0，y +5=0， 所以x =5，y =﹣5，所以()2018201820185115x y ⎛⎫==-= ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：1．
【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的乘方运算，属于常见题型，熟练掌握非负数的性质和﹣1的偶次幂等于1是解题关键．
例4.（2019·全国初一课时练习）计算：
（1）－22÷23×213⎛⎫ ⎪⎝⎭2； （2）214×(－67
)÷(12－2)； （3）17－23÷(－2)×3； （4）2×(－5)＋23－3÷12； （5）(－5)3×[2－(－6)]－300÷5． 【答案】（1）－23；（2）97
；（3）29；（4）－8；（5）－1060． 【分析】（1）先算乘方、再变除为乘，最后进行乘法运算即可；
（2）先算括号、再变除为乘，最后进行乘法运算即可；
（3）先算乘方、再变除为乘，然后算乘法，最后算加减即可；
（4）先算乘方、然后按有理数的四则混合运算法则计算即可；
（5）先算乘方、再算括号，然后变除为乘，最后按有理数的四则混合运算法则计算即可．
【解析】（1）原式＝－4÷23×13⎛⎫ ⎪⎝⎭2=－4×32×19＝－6×19＝－23； （2）原式＝94×67÷32＝94×67×23＝97
； （3）原式＝17＋8×
12×3＝17＋12＝29； （4）原式＝－10＋8－6＝－8；
（5）原式＝－125×8－60＝－1000－60＝－1060．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的四则混合运算，掌握并灵活运用运算步骤是解答本题的关键． 例5.（2019·全国初一单元测试）计算
（1）225(3)39⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
（2）3116(2)(4)8⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭ （3）11332442⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （4）()()3226433
--÷-⨯--． 【答案】（1）-11（2）122-（3）32
-（4）-10 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可求解； （2）根据有理数的混合运算法则即可求解；
（3）根据有理数的加减运算法则即可求解； （4）根据有理数的混合运算法则即可求解．
【解析】（1）解： 225(3)39⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 65999⎡⎤⎛⎫=⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
1199⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ =-11 （2）解： 3116(2)(4)8⎛⎫
÷---⨯- ⎪⎝⎭
116(8)2=÷-- 122=-- 122=- （3）解： 11332442⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11332442=--+- 13222
=-+=- （4）解： ()()3226433--÷-⨯--1286343
⎛⎫=--⨯-⨯- ⎪⎝⎭ 81310=-+-=-． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
知识点3 科学记数法的概念
1)把一个大于10的数表示成a ×10n
的形式，（其中：1<a <10，n 为正整数），这种方法叫做科学记数法。

2)如何用科学记数法表示一个大数：
①取a ，1<a <10，即a 取为几点几的形式。

如：12300 a =1.23；12000 a =1.2
②求n ，n 为正整数，即要使a 扩大多少个10倍，也即小数点后还有几位数字。

如12300 ，n =4； 12000， n =4
3)将科学记数法的数还原为原来数。

a ×10n 中，将a 的小数点向右移动n 位，不够的在右边添0。

例1．中国倡导的“一带一路”是中国与世界的互利共赢之路，据统计，“一带一路”地区覆盖的总人口约为44亿人，则“44亿”这个数用科学记数法可表示为（ ）
A ．4.4×107
B ．4.4×108
C ．4.4×109
D ．0.44×1010
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【解析】解：44亿=4400000000，∴将44亿用科学记数法表示应为4.4×109．故选：C ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
例2．（2020·湖南省初三模拟）据《人民日报》“9组数据看懂新中国成立70周年的沧桑巨变”一文报
道，我国国民生产总值从1952年679亿元到2018年900309亿元，从一穷二白到世界第二大经济体．用科学记数法表示数字900309（精确到万位）是（ ）
A ．9×105
B ．9.0×105
C ．9.00×105
D ．9.003×104 【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数，最后根据题意精确到万位即可．
【解析】900309＝9.00309×105≈9.0×105．故选：B ．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
例3．（2020·合肥一六八中学初一期中）冠状病毒，其直径为750纳米至1000纳米，750纳米即0.0000075米，数据0.0000075用科学记数法表示正确的是（ ）．
A ．67.510⨯
B ．57.510⨯
C ．67.510-⨯
D ．57.510-⨯ 【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a ⨯，其中1a ≤＜10,n 为负整数，指数的绝对值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：60.00000757.510.-=⨯故选.C
【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，掌握科学记数法是解题的关键．
例4．（2019·全国初一课时练习）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（ ）
A ．6750吨
B ．67500吨
C ．675000吨
D ．6750000吨
【答案】B
【分析】科学记数法a ×10n
表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的数．若科学记数法表示较小数a ×10﹣n ，还原为原来的数，需把a 的小数点向左移动n 位得到原数．
【解析】6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为67500吨．故选B ．
【点睛】本题考查了科学记数法﹣原数，把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
例5．（2020·全国初一单元测试）已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数
（1）4
610
10．
⨯（4）4
⨯（3）5
6.07010
2.0110
⨯（2）5
【答案】(1)20100; (2)607000; (3)600000; (4)10000.
【分析】符号不变，首先看n是多少，数位就向右移动多少位．
【解析】解：（1）4
⨯=；
6.0701*******
⨯=；（2）5
2.011020100
（3）5
=．
610600000
1010000
⨯=；（4）4
【点睛】本题是将科学记数法表示的数还原，若科学记数法a×10n表示的数，还原就是把a的小数点向右移动n位所得到的数。

知识点4 近似数与准确数
1）在许多情况下，我们难以取得准确的数或不必要使用精确数，这是我们就可以使用近似数。

2）近似数产生的原因：
①测量工具精度不够
②不易或不可得到精确数字，如：人口普查
③不必使用精确数字，如：有20亿元
④计算产生近似数，如：除不尽
例1．（2019·全国初一单元测试）下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？
(1)通过第三次全国人口普查得知，山西省人口总数为3297万人；
(2)生物圈中，已知绿色植物约有30万种；
(3)某校有1148人；
(4)由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷；
(5)这个路口每分钟有3人经过；
(6)地球表面积约5.1亿平方千米．
【答案】(1)近似数；(2)近似数；(3)准确数；(4)近似数；(5)近似数；(6)近似数.
【分析】准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数．
【解析】（1）通过第三次全国人口普查得知，山西省人口总数为3297万人，是近似数；
（2）生物圈中，已知绿色植物约有30万种，是近似数；（3）某校有1148人，是准确数；
（4）由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷，是近似数；
（5）这个路口每分钟有3人经过，是近似数；（6）地球表面积约5.1亿平方千米，是近似数.
故答案为：(1)近似数；(2)近似数；(3)准确数；(4)近似数；(5)近似数；(6)近似数.
【点睛】本题考查近似数和有效数字.
例2．（2019·江西省大吉山中学初一期末）当使用计算器的键，将115
6
的结果切换成小数格式
19.16666667，则对应这个结果19.16666667，以下说法错误的是（）
A．它不是准确值 B．它是一个估算结果 C．它是四舍五入得到的 D．它是一个近似数【答案】B
【分析】115
6
化为小数，是一个无限循环小数.
【解析】将115
6
化为小数，是一个无限循环小数.
所以，将115
6
的结果切换成小数格式19.16666667，则对应这个结果19.16666667，是一个四舍五入的近
似数.故选B
【点睛】本题考核知识点：近似数. 解题关键点：理解近似数的意义.
例3．（2019·全国初一课时练习）下面是在博物馆里的一段对话.
管理员：先生，这个化石有800002年了.
参观者：你怎么知道得这么精确?
管理员：两年前有个考古学家参观过这里，他说此化石有80万年了，现在两年过去了，所以是800002年. 管理员的推断对吗?请你说说理由.
【答案】考古学家的说法只是一个近似数,并不是精确数,
∴在考古学家的基础上再加2年,计算出的800002年也是近似数,并不是精确数.
知识点5 理解精确度
四舍五入法：按需要截取到指定数位时，如果省略部分的数小于5，就直接舍去；若大于等于5，则向前
进一位。

几种表示方式：①精确到百分位；②保留2为小数；③保留3位有效数字
注：①取近似数时，要用约等于（≈）；②保留几位小数时，若第几位为0，也需要保留
例1．（2019·夏津县双语中学初一月考）用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请
按要求分别取得这个数的近似值，并分别写出相应的有效数字．
（1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位．
【答案】见解析.
【分析】（1）首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入；
（2）首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入；
（3）首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入；
【解析】（1）精确到千位；377985654.32米≈377986000米，即3.77986×108
米
（2）精确到千万位；377985654.32米≈380000000米，即3.8×108米
（3）精确到亿位；377985654.32米≈400000000米，即4×108米．
【点睛】考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要死记的内容.
例2．（2019·全国初二课时练习）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，永葆常新，数学家称之为一种特殊的数.设面积为10π的圆的半径为x .
（1）x 是有理数吗？说明理由.（2）x 的整数部分是多少？（3）将x 精确到十分位是多少？
【答案】（1）x 不是有理数；（2）x 的整数部分是3；（3）将x 精确到十分位为3.2.
【分析】（1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答；
（2）根据无理数的大小估算计算即可得解；
（3）根据无理数的大小估算计算即可得解.
【解析】（1）x 不是有理数.理由如下：由圆的面积公式可得210x ππ=.所以210x =.
因为没有一个整数或分数的平方等于10，所以x 不是有理数.
（2）由（1）知210x =，
因为23910=<，241610=>，所以34x <<，所以x 的整数部分是3.
（3）因为23.19.6110=<，23.210.2410=>，所以3.1 3.2x <<．
又因为23.16=9.985610<，23.1710.048910=>，所以3.16 3.17x <<，
所以将x 精确到十分位为3.2.
【点睛】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键．
例3．（2019·广西壮族自治区初一期末）用四舍五入法按要求对0．0603分别取近似值，其中错误．．的是（ ）
A ．0.1 （精确到0.1）
B ．0.060（精确到0.001）
C．0.06（精确到百分位）D．0.06 （精确到十分位）
【答案】D
【分析】根据近似数的概念，依次判断各选项．
【解析】将0.0603精确到0.1，则为0.1，A选项是正确；
将0.0603精确到0.001，则为0.060，B选项是正确；
将0.0603精确到百分位，则为0.06，C选项是正确；
将0.0603精确到十分位，则为0.1，D选项是错误故选：D．
【点睛】本题考查近似数，注意精确到十分位和精确到0.1及精确到百分位和精确到0.01是同样的意思．
例4．（2020·上海初一期末）位于浦东的“中国馆”总建筑面积约为1601000平方米，这个数字保留两个有效数字可写为__________________平方米．
【答案】6
⨯
1.610
【分析】先根据科学记数得到6
⨯．
1.610
=⨯,然后四舍五入、保留两个有效数字得到6
1601000 1.60110
【解析】解: 6
1601000 1.60110
⨯
⨯，故答案为：6
1.610
=⨯，故保留两个有效数字得到：6
1.610
【点睛】本题考查了科学记数法与有效数字:用10n
a⨯(1≤|a|＜10，n为整数)的形式表示一个数的方法叫作科学记数法，从一个近似数的左边第一个不为零的数数起到这个数完，所有这些数字叫这个近似数的有效数字．
例5．（2020·山东省初三三模）截至北京时间2020年3月22日14时30分，全球新冠肺炎确诊病例达305740例，超过30万，死亡病例累计12762人，将“305740”这个数字用科学记数法表示保留两位有效数字为( )
A．3.05740×105B．3.05×105C．3.0×105D．3.1×105
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．同时，注意四舍五入法保留两位有效数字．
【解析】解：305740这个数字用科学记数法并保留两位有效数字表示为3.1×105．故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值，注意保留的数位．
重点题型
题型1 有理数的混合运算
解题技巧：主要是要注意混合运算的运算顺序。

一级运算：加减法；二级运算：乘除法；三级运算：乘方运算。

规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算从左到右依次进行。

（1）有括号，先算括号里面的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；（2）先乘方、再乘除、最后加减；（3）同级运算，按从左往右依次进行。

当然，在准守上述计算原则的前提下，也需要灵活使用运算律，以简化运算。

例1．（2020成都市外国语学校初一期中）计算
（1）418516⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭ （2）()20.25363⎛⎫-⨯- ⎪⎝
⎭ （3）()225339⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （4）232223⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
（5）()()()22352⎡⎤---÷-⎣⎦ （6）()()()()()()201125114332682⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-⨯-+-⨯+⨯-+-⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭
【答案】（1）25-；（2）15；（3）1；（4）73；（5）8；（6）142
. 【分析】（1）利用有理数的乘法法则进行计算；
（2）利用乘法分配律进行计算；
（3）（4）（5）（6）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；
【解析】解：（1）418516⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭ 148165⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭ 25=-； （2）()20.25363⎛
⎫-⨯- ⎪⎝⎭()()20.2536363
=⨯--⨯-()()924=---()924=-+15= （3）()225339⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 25939⎡⎤⎛⎫=⨯+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
199=⨯1= （4）232223⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦34229
⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31429⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73=
（5）()()()22352⎡⎤---÷-⎣⎦
()()9252=-÷-()()162=-÷-8= （6）()()()()()()201125114332682⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-⨯-+-⨯+⨯-+-⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭
()()15314622⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-÷-+-⨯+-⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭
()()()1946=-÷-⨯+-⎡⎤⎣⎦()()142=-÷-142= 【点睛】本题考查了有理数的混合计算，熟悉有理数的运算法则，是解题的关键.
例2.（2019·湖北省初一月考）计算：
（1）()()2018211113223⎡
⎤⎛⎫-+-⨯+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
（2）()()()()322019234221-⨯-+-÷--- 【答案】（1）556
-；（2）35 【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解析】解：（1）()()
2018211113223⎡
⎤⎛⎫-+-⨯+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =11[1](92)23+⨯+-+=1[1](7)6++-=1(6)6+-=556
- （2）()()()()322019234221-⨯-+-÷---
=9(4)(8)4(1)-⨯-+-÷--=36(2)1+-+=35
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3．（2019·全国初一单元测试）计算：
（1）()()()()34119-+--+-- （2）()2116031215⎛⎫--⨯- ⎪⎝
⎭ （3）()2243033⎛⎫-÷--⨯- ⎪⎝⎭ （4）2323213()243⎡⎤--⨯-⨯+⎢⎥⎣⎦
【答案】(1)-9；(2)-31；(3)-26；（4）132
. 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）利用乘法的分配律计算即可；（3）根据有理
数的运算法则，先算乘除，再算加减即可；（4）根据有理数的混合运算顺序依次计算即可.
【解析】（1）原式=-3-4- 11+9=-9；（2）原式=-40+5+4=-31；
（3）原式=34202-⨯-=-26； （4）原式=3431312721(10)4942⎡⎤--⨯-⨯+=--⨯-=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的运算法则及运算顺序是解决问题的关键.
例4．（2019·全国初一单元测试）已知|5﹣2x |+（5﹣y ）2=0，x ，y 分别是方程ax ﹣1=0和2y ﹣b +1=0的解，求代数式（5a ﹣4）2011（b ﹣110
2）2012的值．[来源:学*科*网] 【答案】12
-. 【分析】先根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入方程ax ﹣1=0和2y ﹣b +1=0求出a 、b 的值，代入代数式进行计算即可．
【解析】∵|5﹣2x |+（5﹣y ）2=0，，∴5﹣2x =0，5﹣y =0，解得x =2.5，y =5．
∵x ，y 分别是方程ax ﹣1=0和2y ﹣b +1=0的解，∴2.5a ﹣1=0，10﹣b +1=0，解得a =0.4，b =11， ∴原式=（2﹣4）2011（11﹣10.5）2012=（﹣2）2011（12）2012=（﹣2×12）2011×12=﹣12
． 点睛：本题考查的是二元一次方程的解，熟知非负数的性质及有理数乘方的法则是解答此题的关键． 例5．（2020·西交利物浦大学附属学校初一月考）计算(-2)100+(-2)99的结果是( )
A ．2
B ．2-
C ．992-
D ．992
【答案】D
【解析】原式=（﹣2）99[（﹣2）+1]=﹣（﹣2）99=299．故选D ．
题型2 乘方的简便计算
性质： 解题技巧：利用乘方的运算性质，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。

例1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二月考）计算（
23）2019•（﹣1.5）2020的结果是（ ）
A ．32-
B ．32
C ．23-
D ．
23 【答案】B
【解析】()201920202 1.53⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=2019233322⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=32
．故选B ． 【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，逆用积的乘方法则是解题的关键．
例2．（2019·江苏江都�初一月考）计算：(-2)
1997×(12)1996＝( ) A ．2
B ．1
C ．0
D ．-2 【答案】D
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，逆用积的乘方的性质计算即可． 【解析】解：原式=()199619961-()22⨯-⨯（2） =19961--2)2
⨯⨯（2）（=1996--1)⨯（2）（=-2 故选：D 【点睛】考查幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键. 例3．（2018·大庆市第五十一中学初一开学考试）计算(53
)2 017×0.62 017的结果是( ) A ．23 B ．－23 C ．1
D ．－32 【答案】C
【解析】(53)2 017×0.62 017=(53)2 017×(35)2 017=（5335
⨯）2017=1.故选：C. 【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，逆用积的乘方法则是解题的关键．
例4．（2019·南通市启秀中学）阅读以下材料，完成下列问题.
（1）我们已经学过了乘方运算，我们知道表示2个-2相乘，即(2)(2)-⨯-，那么3
(2)-表示 ，把33334444
-⨯⨯⨯写成乘方的形式表示为 ，此时底数是 . （2）将（1）中两个底数同为-2的幂相乘，即23
(2)(2)-⨯-，结果共有 个-2相乘，写成幂的形式为 ；
（3）若将（2）中算式中的底数都换为a ，则23a a •表示 ，计算结果为 . 若将（2）中算式中的指数换为正整数,m n ，则m n a a •= ，请用一句话概括你发现的结论 ；
（4）利用上述结论，完成以下填空
若5m a =，则2()m m m a a a =•= ，2m a = ；
若2m a =，3n a =，12p a =，写出,,m n p 的数量关系 .
【答案】（1）3个-2相乘，即(2)(2)(2)-⨯-⨯-；43
()4-；34
;；（2）5；5(2)-；（3）5个a 相乘，即a a a a a ••••；5a ；m n a +；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（4）2m a ；25；2p m n =+
【分析】（1）利用乘法和乘方的意义，得到结果；（2）利用同底数幂的乘法公式，进行计算．
（3）利用同底数幂的乘法公式，进行计算，并得到结论．（4）利用同底数幂的乘法公式，进行计算．
【解析】（1）()3
2-表示3个-2相乘，()()()222-⨯-⨯-，把33334444
-⨯⨯⨯写成乘方的形式表示为434⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时底数是34. （2）将（1）中两个底数同为-2的幂相乘，即()()23
22-⨯-，结果共有5个-2相乘，写成幂的形式为()52-；
（3）若将（2）中算式中的底数都换为a ，则23a a •表示5个a 相乘，即a a a a a ••••，计算结果为5a . 若将（2）中算式中的指数换为正整数,m n ，则m n a a •=m n a +，请用一句话概括你发现的结论同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（4）利用上述结论，完成以下填空：若5m a =，则()2m m m a a a =•=2m a ，2m a =25；
若2m a =，3n a =，12p a =，写出,,m n p 的数量关系：212223p m m n m n a a a a a +==⨯⨯=⨯⨯= 即：2p m n =+.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用同底数幂的乘法公式的计算．掌握公式是关键． 例5．（2020·全国初二课时练习）小明做了这样一道题，他的方法如下：
111010
10101111111333133333
33⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 请你用他的方法解下面题目． 设201420151(2013)2013M ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，10
10111(5)(6)200830N ⎛⎫=-⨯-⨯-- ⎪⎝⎭，求2019()M N +的值． 【答案】-1 【分析】先根据小明的方法求出M ，N 的值，然后代入代数式去接即可；
【解析】∵201420142015
11(2013)20132013201320132013M ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1010111(5)(6)200830N ⎛⎫=-⨯-⨯--= ⎪⎝⎭
101(5)(6)(6)200830⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦620082014--=-． ∴20192019()(20132014)1M N +=-=-．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，准确计算是解题的关键．
题型3 确定末位数字
解题技巧：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。

但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。

因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。

最后依旧变化规律，分析出最终结果。

例1．（2020·湖北武汉初三二模）观察下列等式：177=，2749=，37343=，472401=，
5716807=，67117649=，⋯，那么12320187777+++⋯+的末位数字是()
A ．9
B ．7
C ．6
D ．0
【答案】C
【分析】先根据已知算式算出其个位数据，进而得出规律，再求出即可.
【解析】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，
75=16807，76=117649，77=823543，…，
2018÷4=504…2，
∴504×（7+9+3+1）+7+9=10096，
∴71+72+73+…+72018的末位数字是6，故选：C ．
【点睛】本题考查了尾数特征和数字变化类，找出规律后转化为周期问题，本题能根据已知算式得出规律是解题的关键．[来源:Z*xx*]
例2．（2020·江苏相城初一月考）数32019・72020・132021的个位数是 （ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．9 【答案】A
【分析】首先根据规律依次分析出20193、20207、202113的个位数，然后由此进一步结合题意求出答案即可.
【解析】∵133=，239=，3327=，4381=，53243=…
观察可得计算结果个位数是3，9，7，1，四次一循环，
∵201950443=⨯+，∴20193的个位数为7，
同理，通过观察可得20207，202113的个位数分别为1，3，
∵71321⨯⨯=，∴2019202020213713⨯⨯的个位数字为1，故选：A.
【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算的规律探讨，根据题意找出正确的规律是解题关键.
例3．（2020·贵州毕节）观察下列算式:
1234567 3 3 39 327 381 3243 3729 32187
=======用你所发现规律写出20193的末位数字是( )
A ．3
B ．9
C ．7
D ．1
【答案】C 【分析】先由已知算式可发现，每四个式子为一个循环，再计算20194÷的余数即可得出答案．
【解析】由已知算式可知，每四个式子为一个循环，末位数字依次为3,9,7,1
201945043÷= 则20193与每四个式子中的第三个式子的末位数字相同，即末位数字为7 故选：C ．
【点睛】本题考查了有理数乘方的规律题，依据已知算式，正确发现规律是解题关键．
题型4 乘方在实际问题中的应用[来源:学科网ZXXK]
解题技巧：此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。

基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。

例1．（2019·河南省初一期中）一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到O 1A 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到O 2A 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O 的距离为_____________.
【答案】132
【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O 的距离为跳动前的一半．
【解析】依题意可知，第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为12
n ， ∴第5次跳动后，该质点到原点O 的距离为132.故答案为132
．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
例2．（2019·江苏省初一期中）已知 m ≥2，n ≥2，且 m 、n 均为正整数，如果将 m n 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）
①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．
③若 m 3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m ＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n ＝5．
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
【答案】C
【分析】根据所给的例子的分解方法中找出n m 分解的规律,其中最小的数是11n n m m m -=-+,从而可判断出②④正确.
【解析】①在25的“分解”中最大的数是512-+1=17，所以这个叙述正确；
②在43的“分解”中最小的数是3144113--+=；所以这个正确；
③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错误的 ；
④若3n 的“分解”中最小的数是13n --2=79 ,解得n=5，故这个是正确的.[来源:Z+xx+]
综上所述，共有两个正确的结论.故选C
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.
例3．（2019·西安同仁中学初三其他）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a ，b ，c ，d ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为32102222a b c d ⨯+⨯+⨯+⨯.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为3210021202125⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据班级序号的计算方法一一进行计算即可.
【解析】A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0,序号为3210
⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生
1202120210
为10班学生.
B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为3210
⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为6班
021212026
学生.
C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为3210
⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为9班学
120202129
生.
D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为3210
021212127
⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为7班学生.
故选B.
【点睛】属于新定义题目，读懂题目中班级序号的计算方法是解题的关键.
例4．（2019·福建省初一期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果个数为（）
A．3123 B．3214 C．3258 D．3236
【答案】D
【分析】从右到左表示满七进一的数为：第5位上的数×74+第4位上的数×73+第3位上的数×72+第2位。