中学数学 几何体外接球常见模型 练习题

几合体外接球常见模型 类型一、正方体 （a R 2
3=，a 为正方体的边长） 例1、已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长为______：外接球的表面积为______． 3、已知正方体的棱长为1，则正方体的外接球的体积为
例2、已知正方体的外接球的体积是43
π，则这个正方体的棱长是( ) A ．23 B ．33 C ．223
D ．233 类型二、长方体（2
222c b a R ++=
，c b a 、、为长方体的长、宽、高）
例1、已知在长方体1111ABCD A B C D -中，棱长3AB =，4=AD ,15AA =,则该长方体的外接球的表面积为（ ）
A ．25π
B ．30π
C ．45π
D ．50π
例2、一个长方体长、宽分别为5，4，且该长方体的外接球的表面积为50π，则该长方体的表面积为（ ）
A ．47
B ．60
C ．94
D ．198
类型三、圆柱（222)21
(h r R +=，为高为底面圆半径，为外接球半径，h r R ）
例1、已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为_____________．
例2、若半径为2的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为8π时，圆柱的体积为__________．
类型四、圆锥（2
22)-(R h r R +=，为高为底面圆半径，为外接球半径，
h r R ）
例1、底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O 的表面积为( )
A ．6π
B ．12π
C ．8π
D ．16π
类型五、直棱柱与正棱柱（补圆柱，2
22)21
(h r R +=为高为底面外接圆半径，为外接球半径，h r R ）
例1、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A ．π16
B ．π20
C ．π24
D ．π32
类型六、对棱相等的三棱锥（补长方体、8
2
22c b a R ++=，c b a 、、为三棱锥的棱长）
例1、在三棱锥BCD A -中，,4,3,2======BD AC BC AD CD AB 则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 。

类型七、三棱两两互相垂直的三棱锥（补长方体、2
222c b a R ++=
c b a 、、为三棱锥两两互相垂直的棱长） c
a b C P
A
B
例1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是
类型八、有一条棱垂直底面的棱锥，（补圆柱、222)21(h r R +=、R 为外接球半径、r 为底面外接圆半径、h 为棱锥的高）
例1、在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接
球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.
C π340.
D 类型九、顶点的射影在底面的外心上的棱锥（补圆锥、222)-(R h r R +=、R 为外接球半径、r 为底面y
x
a b c z z
y x
图12
D C
A
B
外接圆半径、h 为棱锥的高）常见的有：正棱锥、侧棱相等的棱锥
例1、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 。

例2、在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为 60，则该三棱锥
外接球的体积为（ ）
A ．π B.
3
π C. 4π D.43π
类型十、两个面垂直，其中一个面为直角三角形（公共边的对角为直角）的三棱锥，则另一个面的外接圆半径为该三棱锥的外接球半径。

图9-2A
O 1O
C
B P
例1、在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是____
类型十一、两直角共斜边的三棱锥，外接球的半径为公共斜边的一半
图13O
A B
P
例1、在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）
A ．π12125
B ．π9125
C ．π6125
D ．π3
125 类型十二、棱锥外接球一般方法。

（1）找球心（找两个面的外接圆圆心，并分别过两外接圆圆心作两面的垂线，两垂线的交点为球心）
（2）求球半径（利用勾股定理求解）。