独山子区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

独山子区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应该是（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
2． 已知
11x
yi i
=-+，其中,x y 是实数，是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 A 、12i + B 、12i - C 、2i + D 、2i -
3． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（，1，1） B ．（﹣1，﹣3，2） C ．（﹣，，﹣1） D ．（
，﹣3，﹣2
）
4． 已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）
A ．为直角三角形
B ．为锐角三角形
C ．为钝角三角形
D ．前三种形状都有可能
5． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，
=（2，4），
=（1，3），则
等于（ ）
A ．（2，4）
B ．（3，5）
C ．（﹣3，﹣5）
D ．（﹣2，﹣4）
6． 设为虚数单位，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知集合A={y|y=x 2+2x ﹣3}，，则有（ ）
A ．A ⊆
B B ．B ⊆A
C ．A=B
D ．A ∩B=φ
9． 已知椭圆
（0＜b ＜3），左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|+|BF 2|
的最大值为8，则b 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意
思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈 B ．5立方丈 C ．6立方丈 D ．8立方丈
11．,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD u u u r 与BE u u u r 的夹角为120o
，则AB AC ⋅u u u r u u u r =（ ）
（A ） 13 （ B ） 49 （C ） 23 （D ）
89
12．已知函数f （x ）=若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范
围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，+∞）
C ．（﹣1，0）
D ．（﹣∞，﹣1）
二、填空题
13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 1+3a 2，则公比q= ．
14．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 15．在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ．
16．已知函数f （x ）=（2x+1）e x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（0）的值为 ． 17．不等式
的解集为R ，则实数m 的范围是
．
18．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
三、解答题
19．如图，四棱锥P ABC -中，,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====，M 为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．
（1）证明：//MN 平面PAB ；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值；
20．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2﹣19n+1，记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．
（1）求S n 的最小值及相应n 的值；
（2）求T n ．
21．（本小题满分10分）求经过点()1,2P 的直线，且使()()2,3,0,5A B -到它的距离相等的直线 方程.
22．（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，2
ABD π
∠=
，AD =22AB DC ==，F
为PA 的中点．
（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）若PA PB PD ===
P BDF -的体积．
A
B
C
D
P
F
23．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos 3sin )cos 0C A A B +-=． （1）求角B 的大小；
（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
24．已知a ＞0，a ≠1，命题p ：“函数f （x ）=a x 在（0，+∞）上单调递减”，命题q ：“关于x 的不等式x 2﹣2ax+≥0对一切的x ∈R 恒成立”，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．
独山子区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵函数y=cos （x+）的最小正周期不大于2，
∴T=
≤2，即|k|≥4π，
则正整数k 的最小值为13．
故选D
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．
2． 【答案】D
【解析】
1
()1,2,1,12
x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D 3． 【答案】C
【解析】解：对于C 中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣， 因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
4． 【答案】A 【解析】解：设A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），
将直线与抛物线方程联立得，
消去y 得：x 2﹣mx ﹣1=0， 根据韦达定理得：x 1x 2=﹣1， 由=（x 1，x 12），
=（x 2，x 22）， 得到=x 1x 2+（x 1x 2）2=﹣1+1=0，
则
⊥
，
∴△AOB 为直角三角形． 故选A
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．
5．【答案】C
【解析】解：∵，
∴==（﹣3，﹣5）．
故选：C．
【点评】本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．
6．【答案】C
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】
故答案为：C
7．【答案】C
【解析】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，
过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，
显然当弦为CD时就是△BCD的边长，
要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，
记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，
由几何概型概率公式得P（A）=，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．
故选C．
【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A对应的集合，利用几何概型公式解答．
8．【答案】B
【解析】解：∵y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2﹣4，
∴y ≥﹣4． 则A={y|y ≥﹣4}． ∵x ＞0，
∴x+≥2
=2（当x=，即x=1时取“=”），
∴B={y|y ≥2}， ∴B ⊆A ． 故选：B ．
【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项．
9． 【答案】D
【解析】解：∵|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=6，|AF 2|+|BF 2|的最大值为8，
∴|AB|的最小值为4，
当AB ⊥x 轴时，|AB|取得最小值为4， ∴
=4，解得b 2=6，b=
．
故选：D ．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．【答案】 【解析】解析：
选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .
由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，
EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，
所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋1
2×3×1×2＝5立方丈，故选B.
11．【答案】C
【解析】由
1
(),
2
1
(2),
2
AD AB AC
BE AB AC
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r解得
22
33,
42
33
AB AD BE
AC AD BE
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r
22422
()()
33333
AB AC AD BE AD BE
⋅=-⋅+=
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
12．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：
由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，即方程f（x）=k有两个不同的实根，
故选：A
二、填空题
13．【答案】2．
【解析】解：设等比数列的公比为q，
由S3=a1+3a2，
当q=1时，上式显然不成立；
当q≠1时，得，
即q2﹣3q+2=0，解得：q=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等比数列的前n 项和，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
14．【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线
l 经过点5(,2)3M 时，3z a x y -=+取得最大值，∴max 5
()3273
z a -=⨯+=，所以max 74z a =+=，故
3a =-．
15．【答案】 （﹣1，﹣） ．
【解析】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值， ∴
，即
，解得：
，
综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．
【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．
16．【答案】 3 ．
【解析】解：∵f （x ）=（2x+1）e x ， ∴f ′（x ）=2e x +（2x+1）e x ， ∴f ′（0）=2e 0+（2×0+1）e 0=2+1=3． 故答案为：3．
17．【答案】 ．
【解析】解：不等式，
x2﹣8x+20＞0恒成立
可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．
显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，
解得：m＜﹣或m＞
所以m＜﹣
故答案为：
18．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】正方体中，BC中点为E，CD中点为F，则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）85
.
【解析】
试
题解析：
（2）在三角形AMC 中，由2
2,3,cos 3
AM AC MAC ==∠=
，得 2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=g g ， 222AM MC AC +=，则AM MC ⊥， ∵PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面PAD ，
∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD I 平面PAD AD =， ∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ，
在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连结NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角。

在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =g g ，得55AF =，∴85
sin 25
ANF ∠=， 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为
8525
．1
考点：立体几何证明垂直与平行． 20．【答案】
【解析】解：（1）S n =2n 2﹣19n+1=2﹣，
∴n=5时，S n 取得最小值=﹣44． （2）由S n =2n 2﹣19n+1， ∴n=1时，a 1=2﹣19+1=﹣16．
n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣19n+1﹣[2（n ﹣1）2﹣19（n ﹣1）+1]=4n ﹣21．
由a n ≤0，解得n ≤5．n ≥6时，a n ＞0． ∴n ≤5时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣S n =﹣2n 2+19n ﹣1．
n ≥6时，T n =﹣（a 1+a 2+…+a 5）+a 6+…+a n
=﹣2S 5+S n =2n 2﹣19n+89．
∴T n =
．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】420x y --=或1x =． 【解析】
22．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当E 为PB 的中点时，//CE 平面PAD ． （1分） 连结EF 、EC ，那么//EF AB ，1
2
EF AB =． ∵//DC AB ，1
2
DC AB =
，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ． （3分） 又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分） （Ⅱ）设O 为AD 的中点，连结OP 、OB ，∵PA PD =，∴OP AD ⊥，
在直角三角形ABD 中，1
2
OB AD OA ==, 又∵PA PB =，∴PAO PBO ∆≅∆，∴POA POB ∠=∠,∴
OP OB ⊥，
∴OP ⊥平面ABD ． （10分）
2222(6)(2)2PO PA AO =-=-=，222BD AD AB =-=
∴三棱锥P BDF -的体积1112
222233
P BDF P ABD V V --==⨯⨯⨯=． （13分）
23．【答案】（1）3
B π
=；（2）[1,2).
【
解
析
】
A
B
C
D
P
O
E F
24．【答案】
【解析】解：若p为真，则0＜a＜1；
若q为真，则△=4a2﹣1≤0，得，
又a＞0，a≠1，∴．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假．
①当p为真，q为假时，由；
②当p为假，q为真时，无解．
综上，a的取值范围是．
【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的．。