北航理论力学习答案

n 因为 a a
va2 v2 ，所以根据上式可求出: r r cos 2
aat aan tan
v 2 sin 。 r cos 3
根据矢量形式的质点运动微分方程有：
t n m(aa aa ) F FO mg
将该式分别在水平轴上投影： 由此求出：
n m(aat sin aa cos ) FO cos
ve1
ve2
v r1
v r2
x 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 根据速度合成定理有
va1 ve1 vr1 ，
va2 ve2 vr2
由于动点 M 的绝对速度与动系的选取无关，即 v a2 v a1 ，由上两式可得：
ve1 vr1 ve2 vr2
(a)
将（a）式在向在 x 轴投影, 可得：
mar F mg Fe
将上式在切向量方向投影有
t mar ml mg sin Fe cos
因为 Fe mae ma,
d d d d ，所以上式可写成 dt d dt d d ml mg sin ma cos d
根据加速度合成定理：
ae M
O
ar B
aC


A
aa
x'
aa ae ar aC
将上式在 x ' 轴上投影，可得： aa cos ae cos aC , 由此求得： aa 14r 2 1－21 解：求汽车 B 相对汽车 A 的速度是指以汽车 A 为参考系观察汽车 B 的速度。 取：动点：汽车 B； 动系：汽车 A（Ox’y’） ； 定系：路面。 运动分析 绝对运动：圆周运动； 相对运动：圆周运动； O 牵连运动：定轴转动（汽车 A 绕 O 做定轴转动） 求相对速度，根据速度合成定理 y’
ve
va
O
r

M vr
r aan

aat
M
ar
va ve vr
根据速度合成定理有 由此可求出： va
ve v 。再根据加速度合成定理有： a a a e a r cos cos
由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以 a e 0 ，并且上式可写成：
t n aa aa ar
va
vr
ve

x’
va ve vr
将上式沿绝对速度方向投影可得：
va ve vr
因此
y’
v r ve va
其中： va v B , 由此可得： v r
ve RB ,
vA ， RA
a rn

O x’
RB 380 v A vB m/s RA 9
求相对加速度，由于相对运动为圆周运动， 相对速度的大小为常值，因此有：
ve
va
vr
动系：OC 杆； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理
va ve vr
有： va cos ve ，因为 AB 杆平动，所以 va v ， 由此可得： v cos ve ，OC 杆的角速度为
2 vM va2 ve2 vr22 0.529m / s
1－ 17 解：动点：圆盘上的 C 点； 动系：O1 A 杆； 定系：机座； 运动分析：绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动（平行于 O1 A 杆） ； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理有
va
ve
vr
va ve vr
（a）
将（a）式在垂直于 O1 A 杆的轴上投影以及在 O1 C 轴上投影得：
va cos 30 0 ve cos 30 0 ， va sin 300 vr sin 300
ve va R ， va vr R ， 1 O1C
根据加速度合成定理有
n aa aet ae a r aC
ve
R 0.5 2R
（b）
aet a
n e
ar
aa
aC
将（b）式在垂直于 O1 A 杆的轴上投影得
n aa sin 30 0 aet cos 30 0 ae sin 30 0 aC 2 n 2 其中： aa R ， ae 2 R1 ， aC 21vr
由上式解得： 1
ve1 sin 300 ve2 sin 300 vr2 cos 300
由此解得：
vr2 tan 300 (ve2 ve1 ) OM tan 300 ( 2 1 )
b sin 300 (3 9) 0.4m / s cos 2 300
ve2 OM2 0.2 3
sincos点是绳子ab与圆盘的切点由于绳子相对圆盘无滑动所以由于绳子始终处于拉直状态因此绳子上ab两点的速度在将上式代入a式得到a点速度的大小为
1－ 3 解： 运动方程： y l tan ，其中 kt 。 将运动方程对时间求导并将 30 0 代入得
vy
l lk 4lk 2 2 3 cos cos
aen aat aC
将上式沿 a C 方向投影可得：
n aat cos 450 aa sin 450 aet aC
n 由于 aa 12 l
16 m/s 2 ， aet b 1m/s 2 ， aC 2vr 8m/s 2 ，根据上式可得： 3
1
t aa 10.16 r a d 2 /s l
vB vA c o s
因为
（a ）
cos
x2 R2 x
（b）
将上式代入（a）式得到 A 点速度的大小为：
v A R
x x R2
2
（c）
由于 v A x ， （c）式可写成： x x 2 R 2 Rx ，将该式两边平方可得：
2 x ( x2 R2 ) 2 R2 x2
t aa
16 7 2 15.23 m / s 2 3 ，
1-20 解：取小环 M 为动点，OAB 杆为动系 运动分析 O M
vr B
va ve


A
绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示， 其中：
ve OM
根据速度合成定理：
r 2r cos 600
va ve v r
可以得到：
va tan ve 2r tan 60 0 2 3r ， vr
加速度如图所示，其中：
ve 4r cos 60 0
r 2 ae OM 2 2r 2 cos 600 ，
aC 2vr 8r 2
1－ 19 解：由于 ABM 弯杆平移，所以有
v A vM , a A aM
aet 3 2 2R 12
取：动点：滑块 M； 动系：OC 摇杆； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理
vr
va
ve
va ve vr
2lk 2 sin 8 3lk 2 9 cos 3
a y
1－ 6 证明：质点做曲线运动， 所以质点的加速度为： a a t a n , 设质点的速度为 v ，由图可知:
y
vy
v

cos
vy v

a v an ，所以: a n vy a v2
a
x
将 v y c ， an 代入上式可得
R , cos x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 R2 x ,
x
2 R4 x
( x 2 R 2 )2
, y 0
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得
F
m 2 R 4 x 2 ( x2 R2 ) 2
5
,
FN mg
m 2 R5 x ( x2 R2 ) 2
5
1－ 13 解：动点：套筒 A；
将(a)式代入(b)式可得： a x x
取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：
m x mg F cos m y F sin FN
将上式两边对时间求导可得：
3 2x x ( x 2 R2 ) 2 xx 2 2 R2 xx
将上式消去 2 x 后，可求得：
x
2 R4 x
( x 2 R 2 )2
aA
(d)
由上式可知滑块 A 的加速度方向向左，其大小为
R x
2 4
(x 2 R 2 )2
an
o

v3 a c
证毕 1－ 7 证明：因为 所以： 证毕 o
3
av v2 ， a n a sin an v
z
at

a
v av
an
y
1－ 10 x 解：设初始时, 绳索 AB 的长度为 L , 时刻 t 时的长度 为 s , 则有关系式：
s L v0 t ，并且
s l x
2 2
2
vo
F

FN
mg
y
将上面两式对时间求导得：
2 xx s v0 ， 2ss
vo
sv0 （a） x (a)式可写成： xx v0 s ，将该式对时间求导得：
由此解得： x
2 2 x xx s v0 v0
(b)
2 2 v0 x v 2l 2 0 3 （负号说明滑块 A 的加速度向上） x x
整理上式可得
l d g sin d a cos d
将上式积分：
l 2 g cos a sin c 2
其中：
cos
x x2 l 2
, sin
l x2 l 2
x
2 2 v0 l , y 0 x3
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：
F m( g
1－ 11
2 2 v0 l l ) 1 ( )2 3 x x
vB
B O R

O
A


x
vA
A
x
解：设 B 点是绳子 AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以 v B R ，由于绳子 始终处于拉直状态，因此绳子上 A、B 两点的速度在 A、B 两点连线上的投影相等，即：
可求得：
vM v A va 2ve 2b 2 2m/s ， vr ve b 2m/s ，
1
vA 2 2 4 2 rad/s O1 A 1.5 3
根据加速度合成定理
n n aat aa aet ae a r aC
aet a ar
n a
ve v cos 2 l ，所以 ， OA l OA cos
av cos 2 450 av l 2l
当 45 0 时，OC 杆上 C 点速度的大小为： vC a
1－ 15 解：动点：销子 M 动系 1：圆盘 动系 2：OA 杆 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：曲线运动
FO
mv 2 r cos 4
1-24 图示所示吊车下挂一重物 M，绳索长为 l ，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均 加速度 a 沿水平滑道平移。试求重物 M 相对吊车的速度与摆角 的关系式。
a
a

M

F
et
mg
Fe
解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物 M 为动点。根据质点相对运动 微分方程有
vr2 ar a 1.78m/s 2 RB
n r
1-23 质量为 m 销钉 M 由水平槽带动，使其在半径为 r 的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速
v 向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉 M 上的约束力。
O O
F
r

v
M
r FO

v
M
mg
mg
解：销钉 M 上作用有水平槽的约束力 F 和圆槽的约束力 FO （如图所示） 。由于销钉 M 的运 动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点， 水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。 O
y
B R
取套筒 A 为研究对象，受力如图所示， 根据质点矢量形式的运动微分方程有：
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：

O

F
FN
A
vA
mg
x
m x F cos m y F sin FN mg
其中：
sin