浅谈a2 b2≥2ab的推广及应用

浅谈a2+b2≥2ab的推广及应用
作者：李康
来源：《科学与财富》2015年第23期
摘要：在整个数学学习过程中，以及各个数学研究领域，均值不等式都发挥着举足轻重的作用，均值不等式为之后的推广及应用做了充足的铺垫。

了解和掌握均值不等式的推广及应用显得极其重要。

本文无形中向读者讲述了重在过程的重要数学学习方法，而这种学习方法同样适用于平时的学习与工作中，结果固然重要，但过程才是决定成败的关键，这对以后的学习与工作具有深远的意义。

关键词：均值不等式；推广；应用
在数学各个领域中均值不等式a2+b2≥2ab在证明以及各类题型中求值应用中应用很广泛，了解并熟练掌握均值不等式的推广证明过程及应用至关重要。

均值不等式会有怎样的推广以及会有怎样的运用，本文将会对这些问题在本文中一一展现出来。

本文先在均值不等式的基础上引出了重要的均值不等式的变式，在此之上给出了均值不等式的四个推广及其相对应的证明过程，随后就是均值不等式在中学常见题型中的应用举a例，之后对应用举例做了详细的解答，还附上了对解答规律与常用技巧的总结说明，诸上所叙述的内容都会在这篇文章中依次进行论述。

1 均值不等式a2+b2≥2ab的变式：
1.1 三个重要的变式公式：
1.2 在使用均值不等式过程中对等号成立的条件说明：
总结分析：上述的证明结论是一个至关重要的不等式链，它经常在高等代数中被广泛使用。

它有很多的证明方法，可直接应用数学归纳法，或者应用数学归纳法的变形等，在数学分析中可以应用凸函数的性质证明这个不等式。

这里涉及到的数学归纳法是在证明较复杂数学结论时经常会用到的证明方法，数学归纳法的使用通常会使问题变得简单，证明过程得到简化，证明思路清晰可见，是首选的一种证明方法。

证明方法分析：这是利用极限的思路证明函数在实数域内连续的一道带有实际意义的经典例题。

以前在高中阶段就学过通过计算某一函数在一定区间内的左右极限以及在函数在某一定点上的函数值，若能证明这三者相等，则函数在某一特定区间连续的重要数学结论。

本题正是应用了这种数学思路及证明思路，层层推进，最后就得到了均值不等式的此种推广在实数域内连续的重要结论。

小结：在高中数学学习中，要判断某些函数的单调性或者确定函数在某一定义域内的增减区间时，最先也就是对导数的学习之前是根据函数单调性的定义进行求解的，而在后续的导数学习之后，大多数函数单调区间的求解问题都是转换成了求解函数的导数问题，这是之前利用定义的一种升级和简化。

这道题的证明则就是应用函数的导数以及函数的零点和极值点知识的支撑，证明出了函数也即推广在实数域内的单调递增的重要性质。

规律方法总结：对于比较容易解出任意不等式一侧的函数抑或是代数式的最值时，换言之就是可以把带有参数的最大值或是最小值直接求解出来，再通过建立有关于以上参数的某些不等式来进行求解。

总结分析：这是一道对均值不等式推广在实际应用中的应用举例，在整个解答过程中，应用了之前均值不等式的推广结论，同时也用到了一些重要的变式，实际上就是对之前的推广及其变式的综合应用，体现了极强的技巧性与综合性，具有非常重要的作用及意义。

小结：
这篇论文围绕均值不等式a2+b2≥2ab的推广及应用，对不等式的推广进行了严密的证明，再通过举例向读者展现了均值不等式在中学数学各种题型中的应用，这其中体现了层层推进的数学推理方法，有利于培养读者或者其他数学学习者数学思维能力的培养。

这篇论文中的有些结论在中学数学或者其他数学学报中已经给出了定义，这篇论文中再度提出来，主要是强调这些结论的重要性，再用不同的证明和解题方法，从根源上理解文章的主题，重新认识均值不等式，为其应用及其他重要不等式的学习奠定一定的基础。

本文通过对均值不等式的推广证明及应用举例，培养逻辑推理思维，为以后知识应用与学术研究奠定基础。

并在撰写本文的过程中，深切领悟学以致用的灵活的解题技巧，紧密联系数学与实际生活，同时学会灵活利用书本上的知识去解答实际生活中相类似的问题，以求实现学以致用的真正目的。

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参考文献
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作者简介：
李康（1990.1—）男，四川省德昌县人，系西昌学院彝语言文化学院2011级数学与应用数学专业学生。