高考数学培优---三次函数的对称性、穿根法作图象

高考数学培优---三次函数的对称性、穿根法作图象
【方法点拨】
对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （其中a ≠0），给出以下常用结论：
(1)当a ＞0，b 2－3ac ＞0时，三次函数的图象为N 字型；当a ＜0，b 2－3ac ＞0时，三次函数的图象为反N 字型；当a ＞0，b 2－3ac ≤0时，单调递增，当a ＜0，b 2－3ac ≤0时，单调递减．
(2)三次函数有对称中心(x 0，f (x 0))，f ″(x 0)＝0.
【典型题示例】
例1设0a ≠，若x a =为函数()()
()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A. a b <
B. a b >
C. 2ab a <
D. 2ab a >
例2 若函数2()f x x x a =-在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．
点评:
作三次函数f (x )＝a (x －x 1) 2(x －x 2)（其中a ≠0，x 1≠x 2）示意图的方法要点有二：
（1）当a ＞0时，三次函数的图象为N 字型（最右区间增）
；当a ＜0时，三次函数的图象为反N 字型（最右区间减）.
（2）x 1既是函数的零点，又是函数的极值点，从形上看，函数图象此时与x 轴相切（或称“奇穿偶回”
，即x 1、x 2都是函数的零点，x 1是二重根，图象到此不穿过x 轴，即“回”，这种作函数图象的方法称为“穿根法”）.
例3 已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ）
A. a <0
B. a >0
C. b <0
D. b >0
【巩固训练】
1.函数()32
351f x x x x =-+-图象的对称中心为_____. 2.已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，
则()3
1i i
i x y =+=∑__________. 3.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值
的和为 ．
4.已知函数的导函数为，若函数在处取到极小值，则实数的取值范围是 ．
5.若函数2
()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．
6. 设a R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________．
7. 已知函数3)(2-=x x x f ，[]m x ,0∈，其中R m ∈，且0>m ，如果函数)(x f 的值域是[]2,0，则实数m 的取值范围为________.
8.已知,a R ∈函数2
()f x x x a =-，则函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值是 . 9.已知函数2()12f x x x =-的定义域是[0,]m ，值域是2[0,]am ，则实数a 的取值范围是 .
32()21()f x x ax a =-+∈R (0,)+∞()f x [1,1]-()f x ()(2)()(0)f x ax x x a a '=+-≠()f x 2x =-a ∈。