【金版学案】高一苏教版数学必修1练习：2.5.2用二分法求方程的近似解 Word版含答案[ 高考]

1．对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
例如：指出下列函数中哪些能用二分法求其近似零点，哪些不能．
①y＝2x＋3；②y＝x2＋2x＋1；③y＝－3＋lg x.
答案：①③可以，②不行
2．图象在闭区间[a，b]上连续不断的单调函数f(x)，在(a，b)上至多有一个零点．
例如：判断下列函数在(－2，2)上的零点个数．
①y＝－2x；②y＝3x－10.
答案：①一个②0个
3．函数零点的性质．
(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数；
(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
(3)若函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)的零点就是y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标．
(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；
(5)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
4．用二分法求函数的变号零点．
二分法的条件f(a)·f(b)＜0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
5．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε.
(2)求区间(a，b)的中点x1(将a＋b
2称为区间[a，b]的中点)．
(3)计算f(x1)：
①若f(x1)＝0，则x1是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)步骤．,
二分法求函数零点近似值的注意事项
1．初始区间选取时要尽量缩小区间长度，这样可以简化计算，常用方法有试验估计法、数形结合法等．
2．要注意精确度ε，若经过计算，零点已逼近到区间[a，b]，而a，b在精确度ε下的近似值都为c，则结束计算，实数c即为所求零点的近似值．否则继续重复计算，直到达到精确度．
基础巩固
1．方程|x 2－3|＝a 的实数解的个数为m ，则m 不可能等于(A )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：由图可知y ＝|x 2－3|与y ＝a 不可能是一个交点．
2．对于函数f (x )＝x 2
＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0(a <b )，则在(a ，b )内f (x )(C )
A ．一定有零点
B ．一定没有零点
C ．可能有两个零点
D ．至多有一个零点 解析：画y ＝f (x )的大致图象分析，也可取m ，n ，a ，b 的特殊值，很容易判断f (x )在(a ，b )内可能有两个零点．
3．已知函数f (x )在区间(0，a )上有唯一的零点(a >0)，在用二分法寻找零点的过程中，依
次确定了零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫0，a 2，⎝⎛⎭⎫0，a 4，⎝⎛⎭
⎫0，a 8，则下列说法中正确的是(D ) A ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫0，a 16无零点 B ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，a 16或⎝⎛⎭
⎫a 16，a 8内有零点 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭
⎫a 16，a 内无零点 D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，a 16或⎝⎛⎭⎫a 16，a 8内有零点，或零点是a 16
解析：由二分法求函数零点的原理可知选D.
4．奇函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的三个零点是x 1，x 2，x 3，满足x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2，则b ＋c ＝________．
解析：∵f (x )为奇函数，∴b ＝0.故f (x )＝x 3＋cx 有一个零点是0，不妨设x 1＝0，则x 2，x 3是x 2＋c ＝0的二根，故x 2x 3＝c ，由x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2得c ＝－2，故b ＋c ＝0－2＝－2.
答案：－2
5．已知函数
函数f (x )解析：由表知：f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，f (x )在区间[1，6]上至少有3个零点． 答案：3
6．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(a <b )，函数g (x )＝f (x )－2的零点α，β(α<β)，则a ，b ，α，β从小到大排列为________．
解析：画出草图，可知α<a <b <β.
答案：α<a <b <β
7．电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内(如15秒)猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了低了，以猜对或到时为止游戏结束．如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是________(只写出一个正确答案)．
答案：二分法
8．设x 0是方程a x ＝log a x (0<a <1)的解，则x 0，1，a 这三个数的大小关系是：________． 答案：解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝a x 和y ＝log a x 的图象，可以看出： x 0<1，log a x 0<1，∴x 0>a ，a <x 0<1.
答案：a <x 0<1
能力提升 9．方程ln x ＋2x ＝6的根必定属于区间(B ) A ．(－2，1) B.⎝⎛⎭⎫52，4
C.⎝⎛⎭⎫－1，74
D.⎝⎛⎭
⎫74，52 解析：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －6，计算f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 2.5－1<0，f (4)＝ln 4＋2>0，f ⎝⎛⎭
⎫52·f (4)<0，故选B.
10．函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象交点个数为(B )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
解析：在同一平面直角坐标系中作出f (x )＝2ln x 和g (x )＝x 2－4x ＋5的图象，由图象可见它们有2个交点．
11．(2013·湖南卷)借助计算器或计算机用二分法求方程440⎝⎛⎭⎫1＋x 249
·x ＝68的近似解(精
确到0.001)．
解析：令f (x )＝440⎝⎛⎭
⎫1＋x 249·x －68. ∵f (0)＝－68<0，f (1)>0，
说明方程f (x )＝0在区间(0，1)有一个解．
取区间(0，1)的中点x 1＝0.5，
用计算器可算得f (0.5)>0.
因为f (0)·f (0.5)<0，所以x 0∈(0，0.25)．
同理，可得x 0∈(0，0.125)．
x 0∈(0，0.062 5)，
x 0∈(0.031 25，0.062 5)，
x 0∈(0.046 875，0.062 5)，
x 0∈(0.046 875，0.054 687 5)，
x 0∈(0.046 875，0.050 781 25)，
x 0∈(0.046 875，0.048 828 125)，
x 0∈(0.047 851 562 5，0.048 828 125)．
由于|0.048 828 125－0.047 851 561 25|<0.001，
此时区间(0.047 851 562 5，0.048 828 125)的两个端点精确到0.001的近似值都是0.048，
所以方程440⎝⎛⎭⎫1＋x 249·x ＝68精确到0.001的近似解约为0.048.
12．(1)方程2x 3－6x 2＋3＝0有几个解？如果有解，全部解的和为多少？
(2)探究方程2x 3－6x 2＋5＝0，2x 3－6x 2＋8＝0的全部解的和，你由此可以得出什么结论？ 解析：(1)设函数f (x )＝2x 3－6x 2＋3.
因为f (－1)＝－5<0，f (0)＝3>0，f (1)＝－1<0，f (2)＝－5<0，f (3)＝3>0且函数f (x )＝2x 3－6x 2＋3的图象是连续的曲线，
所以方程2x 3－6x 2＋3＝0有三个实数解．
因为f (－1)·f (0)<0，
所以在区间(－1，0)内有一个解，设为x 0.
取区间(－1，0)的中点x 1＝－0.5，
用计算器可算得f (－0.5)＝1.25>0.
因为f (－1)·f (－0.5)<0，
所以x 0∈(－1，－0.5)．
同理可得x0∈(－0.75，－0.5)，
x0∈(－0.75，－0.625)，
x0∈(－0.687 5，－0.625)，
x0∈(－0.656 25，－0.625)，
x0∈(－0.656 25，－0.640 625)，
x0∈(－0.648 437 5，－0.640 625)，
x0∈(－0.644 531 25，－0.640 625)．
由于|(－0.640 625)－(－0.644 531 25)|<0.01，
此时区间(－0.644 531 25，－0.640 625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.64，所以方程2x3－6x2＋3＝0在区间(－1，0)内且精确到0.01的近似解约为－0.64.
同理可求得方程2x3－6x2＋3＝0在区间(0，1)和(2，3)内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81.
所以，方程2x3－6x2＋3＝0的三个解的和为－0.64＋0.83＋2.81＝3.
(2)利用(1)的方法可分别求得方程2x3－6x2＋5＝0和2x3－6x2＋8＝0的所有解的和也为3.
结论：一般地，对于一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有三个根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－b
a.。