富拉尔基区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

富拉尔基区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）
A ．（0，）
B ．（，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
2． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a=，c=2，cosA=，则b=（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
3． 图 1是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n +，则S 2015的值是（ ）
A ．
B ．
C ．2015
D ．
5． 设sin （+θ）=，则sin2θ=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
6． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]
7． 若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1＜x ＜1} B ．{x|﹣2＜x ＜1} C ．{x|﹣2＜x ＜2} D ．{x|0＜x ＜1} 8． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
9． 已知a ，b 都是实数，那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i
1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
11．若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线
﹣
=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f <<
D ．(64)(81)(49)f f f <<
二、填空题
13．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f
′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （
x ）=a x
g （x ）（
a ＞0
且a ≠1），+
=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值
为 ．
14．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }
的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =
，则循环小数0. 的分数形式是 ．
15．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,
{a
b
a ，又可表示成}0,,{2
b a a +，则 =+20042003b a
.
16．
f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，则常数c 的值为 ．
14．已知集合
，若3∈M ，5∉M ，则实数a 的取值范围是 ．
17．已知A （1，0），P ，Q 是单位圆上的两动点且满足，则+的最大值为 ．
18．已知函数()()31
,ln 4
f x x mx
g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数
()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||2|)(+--=x x x f ，x x g -=)(. （1）解不等式)()(x g x f >；
（2）对任意的实数，不等式)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-恒成立，求实数m 的最小值.111]
20．已知{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35． （1）求{a n }和{B n }的通项公式； （2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，求T n ．
21．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛， （1）男、女同学各2名，有多少种不同选法？
（2）男、女同学分别至少有1名，且男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？
22．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BC ⊥CF ，，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面DCE ；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
23．已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e x，φ（x）=．
（Ⅰ）当a=1时，求φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
24．设数列的前项和为，且满足，数列满足，且
（1）求数列和的通项公式
（2）设，数列的前项和为,求证:
（3）设数列满足（），若数列是递增数列，求实数的取值范围。

富拉尔基区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，
∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
2．【答案】D
【解析】解：∵a=，c=2，cosA=，
∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，
∴解得：b=3或﹣（舍去）．
故选：D．
3．【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.
考点：旋转体的概念.
4．【答案】D
【解析】解：∵2S n=a n+，∴，解得a1=1．
当n=2时，2（1+a2）=，化为=0，又a2＞0，解得，
同理可得．
猜想．
验证：2S
=…+=，
n
==，
因此满足2S n=a n+，
∴．
∴S n=．
∴S2015=．
故选：D．
【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
5．【答案】A
【解析】解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，
则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
6．【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q，
∵a+b+c=6，
∴=6，
∴b=．
当q＞0时，=2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．
∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（0，2]．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．【答案】D
【解析】解：A ∩B={x|﹣2＜x ＜1}∩{x|0＜x ＜2}={x|0＜x ＜1}．故选D ．
8． 【答案】B
【解析】解：令f （a ）=（3﹣a ）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a ≤3，由此可得函数f
（a ）的最大值为，
故（﹣6≤a ≤3）的最大值为
=
，
故选B ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
9． 【答案】D
【解析】解：∵“a 2＞b 2
”既不能推出“a ＞b ”； 反之，由“a ＞b ”也不能推出“a 2＞b 2
”． ∴“a 2＞b 2
”是“a ＞b ”的既不充分也不必要条件．
故选D ．
10．【答案】
【解析】选A.由2＋a i
1＋i
＝3＋b i 得，
2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ， ∵a ，b ∈R ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3－b a ＝3＋b
，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A. 11．【答案】D
【解析】解：双曲线
﹣
=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D ．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
二、填空题
13．【答案】1．
【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，
∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，
再左右扩展知f（x）为周期函数．
结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
14．【答案】．
【解析】解：0.=++…+==，
故答案为：．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．
15．【答案】-1
【解析】
试题分析：由于{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩
⎭
，所以只能0b =，1a =-，所以()20032003200411a b +=-=-。

考点：集合相等。

16．【答案】 6 ．
【解析】解：f （x ）=x 3﹣2cx 2+c 2x ，f ′（x ）=3x 2﹣4cx+c 2
， f ′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f ′（x ）=3x 2﹣8x+4，
令f ′（x ）＞0⇒x ＜或x ＞2，f ′（x ）＜0⇒＜x ＜2，
故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，
∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．
故答案为6
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．
17．【答案】 ．
【解析】解：设=
，则=
=
，
的方向任意．
∴
+
=
=1×
×
≤
，因此最大值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．
18．【答案】()
53
,44
--
【解析】
试题分析：()2
3f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足
()10,0,0f f m ><<，解得51534244
m m >->⇒-<<- 考点：函数零点
【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
三、解答题
19．【答案】（1）13|{<<-x x 或}3>x ；（2）. 【
解
析
】
试
题解析：（1）由题意不等式)()(x g x f >可化为|1||2|+>+-x x x ， 当1-<x 时，)1()2(+->+--x x x ，解得3->x ，即13-<<-x ； 当21≤≤-x 时，1)2(+>+--x x x ，解得1<x ，即11<≤-x ； 当2>x 时，12+>+-x x x ，解得3>x ，即3>x （4分） 综上所述，不等式)()(x g x f >的解集为13|{<<-x x 或}3>x . （5分）
（2）由不等式m x g x x f +≤-)(22)(可得m x x ++≤-|1||2|， 分离参数m ，得|1||2|+--≥x x m ，∴max |)1||2(|+--≥x x m
∵3|)1(2||1||2|=+--≤+--x x x x ，∴3≥m ，故实数m 的最小值是. （10分） 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243，
∴1×q 5
=243，解得q=3，
∴．
∵S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35．
∴5×3+
d=35，解得d=2，
b n =3+（n ﹣1）×2=2n+1． （Ⅱ）∵T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，
∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有C42×C52=6×10=60种；
（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，
故选人种数为C41×C53+C42×C52+C43×C51=40+60+20=120．
男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，故总的选法有C32+C41×C31+C42=21，
故有120﹣21=99．
22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE
解：（Ⅱ）
方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴
由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．
从而，
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．
23．【答案】
【解析】解：（I）当a=1时，φ（x）=（x2+x+1）e﹣x．φ′（x）=e﹣x（﹣x2+x）
当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0
∴φ（x）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；
（II）φ′（x）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]
∵φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，
∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴﹣x2+（2﹣a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2﹣a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2﹣a≤1
∴a≥1
∵a≤2，1≤a≤2；
（III）φ′（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]
令φ′（x）=0，得x=0或x=2﹣a：
由表可知，φ（x）极大=φ（2﹣a）=（4﹣a）e a﹣2
设μ（a）=（4﹣a）e a﹣2，μ′（a）=（3﹣a）e a﹣2＞0，
∴μ（a）在（﹣∞，2）上是增函数，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a）e a﹣2≠3，
∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．
24．【答案】
【解析】
解：∵S n＝2－a n，即a n＋S n＝2，∴a n＋1＋S n＋1＝2.
两式相减：a n＋1－a n＋S n＋1－S n＝0.
即a n＋1－a n＋a n＋1＝0，故有2a n＋1＝a n，∵a n≠0，
，
∵b n＋1＝b n＋a n（n＝1,2,3，…），
得b2－b1＝1，，，，．
将这n－1个等式相加，得
又∵b1＝1，．
（2）证明：.
而
①－②得
＝8－（n＝1,2,3，…）．
∴T n＜8.
（3）由（1）知
由数列是递增数列，∴对恒成立，
即
恒成立，
即恒成立，
当为奇数时，即恒成立，∴，
当为偶数时，即恒成立，∴，
综上实数的取值范围为。