2017-2018学年人教B版数学选修1-1(检测)：3.3 导数的应用课时作业1-18含答案

课时作业1-18
（限时：10分钟)
1．函数f（x）＝e x－x在区间［－1,1］上的最大值是( ）A．1＋错误!B．1
C．e＋1 D．e－1
解析：f′（x)＝e x－1。

令f′（x）＝0，得x＝0。

当x∈［－1，0]时，f′（x）≤0;
当x∈［0,1]时，f′（x)≥0.
∴f（x）在[－1,0]上递减，在[0，1］上递增．
又∵f(－1）＝1
e
＋1，f（1）＝e－1，
∴f(－1）－f（1）＝2＋错误!－e＜0，∴f(－1)＜f(1)．
∴f（x)max＝f（1)＝e－1。

答案:D
2．若函数y＝x3＋错误!x2＋m在[－2，1］上的最大值为错误!,则m 等于（)
A．0 B．1
∴对于任意x∈[－1,2],f(x）＜m恒成立时，m＞7。

答案：m＞7
5．已知函数f(x）＝错误!＋ln x,求f(x)在错误!上的最大值和最小值．解析:f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.
由f′（x）＝0，得x＝1.
∴在错误!上，当x变化时，f′(x），f(x）的变化情况如下表：
x 1
2错误!1（1,2)2
f′
（x)
－0＋
f(x）1－
ln2
单调递减极小值
单调递
增
－错误!
＋ln2
∵f错误!－f（2）＝错误!－2ln2＝错误!(lne3－ln16）,而e3＞16，∴f错误!＞f（2)＞0.
∴f(x）在错误!上的最大值为f错误!＝1－ln2，最小值为0。

（限时:30分钟)
1．函数y＝f(x)＝错误!的最大值为（）
A．e－1B．e
C．e2D．10
解析：令y′＝错误!＝错误!＝0⇒x＝e.
当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时,y′＞0，
所以y极大值＝f（e)＝e－1，
在定义域内只有一个极值，所以y max＝e－1.
答案：A
2．函数f（x)＝错误!＋x（x∈[1,3］）的值域为（)
A．（－∞,1）∪（1,＋∞） B.错误!
C.错误!
D.错误!
解析:f′（x）＝－错误!＋1＝错误!，
所以在［1，3］上f′（x）＞0恒成立，即f（x）在[1，3］上单调递增．
所以f(x)的最大值是f(3)＝错误!，最小值是f（1）＝错误!.故选D。

答案:D
3．若函数f（x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间［－2，－1］上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( ）
A．－5 B．7
C．10 D．－19
∴y＝a与y＝x3－3x的图象有相异的三个公共点时，－2＜a＜2。

答案:A
6．函数y＝错误!－x(x≥0)的最大值为__________．
解析：y′＝错误!－1＝错误!，令y′＝0得x＝错误!.
∵0＜x＜错误!时，y′＞0；x＞错误!时，y′＜0。

∴x＝错误!时，y max＝错误!－错误!＝错误!。

答案：错误!
7．若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________。

解析：∵f′（x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时,f′(x)＞0;
当－1＜x＜1时，f′（x）＜0.
∴f(x)在[0,1］上单调递减，在[1,3］上单调递增．
∴f(x）min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f（0)＝－a，f(3）＝18－a，∴f(0）＜f（3)．
∴f（x）max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20。

答案：20
8．函数f（x）＝错误!e x(sin x＋cos x)，x∈［0，1］的值域为________．解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝错误!e x(sin x＋cos x)＋错误!e x(cos x－sin x)
＝e x cos x＞0，所以f（x）在［0，1］上单调递增，则f(0)≤f(x）≤f （1），
即函数f(x)的值域为错误!。

答案:错误!
9．已知函数f（x）＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16。

(1)求a,b的值；
（2)若f（x)有极大值28，求f（x)在［－3,3］上的最小值．
解析:(1）因f（x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，
由于f（x）在点x＝2处取得极值c－16，
故有错误!即错误!
化简得错误!解得a＝1，b＝－12。

(2)由(1）知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)（x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2。

当x∈（－∞，－2)时,f′(x)＞0，故f（x）在（－∞,－2）上为增函数；
当x∈(－2,2）时,f′(x)＜0，故f（x）在（－2,2）上为减函数；
当x∈（2,＋∞）时，f′(x）＞0，故f（x）在(2，＋∞）上为增函数．
由此可知f（x)在x1＝－2处取得极大值f（－2)＝16＋c，f（x）在x2＝2处取得极小值f(2）＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28得c＝12.
此时f(－3）＝9＋c＝21，f（3）＝－9＋c＝3，f(2）＝－16＋c ＝－4,
因此f(x）在[－3,3]上的最小值为f(2）＝－4。

10．设函数f（x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1，0）,且在P 点处的切线斜率为2。

（1)求a，b的值；
（2）证明：f(x）≤2x－2。

解析：（1)f′(x）＝1＋2ax＋错误!.
由已知得错误!得错误!解得a＝－1，b＝3。

（2)证明：f（x)的定义域为(0，＋∞），
由（1）知f（x)＝x－x2＋3ln x。

设g(x)＝f（x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x,
则g′(x）＝－1－2x＋错误!＝－错误!。

令g′（x）＝0得x＝1或x＝－错误!(舍去)．
当0＜x＜1时，g′(x）＞0，当x＞1时,g′(x)＜0.
∴g(x)在（0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．。