江西省赣州市厚德外国语学校2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析

2016—2017学年江西省赣州市厚德外国语学校高三(上）第一次月
考数学试卷(理科）
一、选择题：（共60分）
1．在数列1，1，2,3，5，8，x，21，34,55中，x等于（）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．已知集合A=｛1，2，3｝，B=｛（x，y）｜x∈A,y∈A，x+y∈A｝，则集合B的子集的个数为(）
A．4 B．7 C．8 D．16
3．下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1"
B．线性回归直线方程y=bx+a恒过样本中心，且至少经过一个样本点
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R,均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
4．命题“∀x∈R，f（x)g(x)≠0”的否定是（)
A．∀x∈R,f（x）=0且g(x)=0 B．∀x∈R，f（x)=0或g(x）=0
C．∃x0∈R，f（x0）=0且g(x0)=0 D．∃x0∈R，f（x0）=0或g（x0）=0
5．已知集合P=｛x|x2≤1｝，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1］B．[1，+∞）C．[﹣1，1］D．（﹣∞,﹣1］∪[1,+∞）
6．对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）｜的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在等比数列｛a n}中，a1+a2=3，a3+a4=12,则a5+a6=(）
A．21 B．42 C．48 D．96
8．已知等差数列｛a n｝前9项的和为27，a10=8，则a100=（）
A．100 B．99 C．98 D．97
9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）
A．7 B．11 C．26 D．30
10．已知等差数列｛a n}的前n项和为S n，a5=5,S5=15，则数列的前99和为（）A． B． C．D．
11．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n｝共有2m项，其中m项为0，m项为1,且对任意k≤2m，a1,a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4,则不同的“规范01数列"共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个
12．如图所示，点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O
为ABC的中心,设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f（x）(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x）的图象大致为（)
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：（共20分)
13．若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7= ．
14．设函数f （x ），若f （x)=，f （f （1））= ．
15．“p ：x ∈{x |x 2﹣x ﹣2≥0}”，“q ：x ∈｛x ｜2a ﹣1≤x ≤a +3｝”，若¬p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．
16．已知数列满足：a 1=1，a n +1=，（n ∈N ＊)，若b n +1=(n ﹣λ）（+1)，b 1=﹣λ，且数列｛b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ．
三、解答题：（共70分）
17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 10=30，a 15=40
（1）求通项a n
(2）若S n =210，求n ．
18．已知集合，集合B={ x |x 2﹣（2m +1）x +m 2+m ＜0}
（1）求集合A 、B ；
(2）若B ⊆A ，求m 的取值范围．
19．已知a ∈R,命题p ：“∀x ∈［1，2]，x 2﹣a ≥0”,命题q ：“∃x ∈R ，x 2+2ax +2﹣a=0"． (1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
20．已知等差数列{a n ｝满足:a 3=7，a 5+a 7=26，{a n }的前n 项和为S n ．
(1）求{a n }及S n ；
（2）令b n =（n ∈N *），求数列｛b n ｝的前n 项和T n ．
21．已知数列｛a n }的前n 项和为S n ，点（n,S n ）在抛物线y=x 2+x 上，各项都为正数的等比数列{b n }满足b 2=，b 4=．
(Ⅰ）求数列｛a n｝,｛b n｝的通项公式；
（Ⅱ）记C n=a+b，求数列{C n}的前n项和T n．
22．已知{a n｝是等比数列,前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．
（1）求｛a n}的通项公式；
(2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n
的等差中项，求数列{（﹣1）n b｝的前2n
+1
项和．
2016-2017学年江西省赣州市厚德外国语学校高三（上）
第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（共60分）
1．在数列1,1，2，3，5，8，x ，21，34，55中,x 等于( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解
【解答】解:∵数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55 设数列为{a n ｝
∴a n =a n ﹣1+a n ﹣2 （n ＞3）
∴x=a 7=a 5+a 6=5+8=13
故选C
2．已知集合A={1,2，3}，B={（x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x +y ∈A ｝，则集合B 的子集的个数为( ） A ．4 B ．7 C ．8 D ．16
【考点】子集与真子集．
【分析】先求出B=｛(1，1），（1,2），(2，1）｝，由此能求出B 的子集个数．
【解答】解：∵集合A=｛1，2，3}，平面内以(x,y ）为坐标的点集合B=｛(x ，y ）|x ∈A,y ∈A ，x +y ∈A }，
∴B=｛(1，1），（1，2），（2，1）},
∴B 的子集个数为：23=8个．
故选:C ．
3．下列有关命题的说法正确的是( )
A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为:“若x 2=1，则x ≠1”
B ．线性回归直线方程y=bx +a 恒过样本中心，且至少经过一个样本点
C ．命题“∃x ∈R,使得x 2+x +1＜0”的否定是：“∀x ∈R,均有x 2+x +1＜0”
D ．命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A ．根据否命题的定义进行判断．
B ．根据线性回归方程的性质进行判断．
C ．根据含有量词的命题的否定进行判断．
D ．根据逆否命题的等价性进行判断．
【解答】解：A ．命题“若x 2=1，则x=1"的否命题为：“若x 2≠1，则x ≠1”故A 错误, B ．线性回归直线方程y=bx +a 恒过样本中心,但不一定过样本点,故B 错误, C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”，故C 错误， D ．若x=y ，则sinx=siny 成立，即原命题成立，则命题的逆否命题为真命题，故D 正确， 故选：D
4．命题“∀x ∈R ，f(x)g （x ）≠0”的否定是（ ）
A．∀x∈R,f（x）=0且g(x）=0 B．∀x∈R，f（x)=0或g（x）=0
C．∃x0∈R，f（x0）=0且g(x0）=0 D．∃x0∈R，f（x0)=0或g(x0)=0
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题,所以，命题“∀x∈R，f（x）g(x）≠0”的否定是:∃x0∈R，f（x0)=0或g(x0）=0．
故选：D．
5．已知集合P=｛x｜x2≤1｝，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是()
A．(﹣∞，﹣1］B．［1,+∞）C．［﹣1，1] D．(﹣∞，﹣1］∪[1，+∞）
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【分析】通过解不等式化简集合P;利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．
【解答】解:∵P=｛x|x2≤1}，
∴P={x｜﹣1≤x≤1｝
∵P∪M=P
∴M⊆P
∴a∈P
﹣1≤a≤1
故选:C．
6．对于函数y=f（x)，x∈R，“y=｜f（x)|的图象关于y轴对称"是“y=f（x）是奇函数”的（) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】奇偶函数图象的对称性;充要条件．
【分析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论．
【解答】解：例如f（x）=x2﹣4满足｜f(x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，所以，“y=｜f(x）|的图象关于y轴对称”推不出“y=f（x）是奇函数”
当“y=f（x)是奇函数”⇒f（﹣x)=﹣f（x）⇒｜f（﹣x)｜=|f（x)｜⇒y=|f（x）|为偶函数⇒，“y=|f （x)｜的图象关于y轴对称”
所以,“y=｜f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f(x）是奇函数”的必要而不充分条件
故选B
7．在等比数列{a n}中，a1+a2=3,a3+a4=12，则a5+a6=()
A．21 B．42 C．48 D．96
【考点】等比数列的性质．
【分析】设等比数列｛a n｝的公比为q,由题意可得q2=4，而a5+a6=（a3+a4)q2，代入计算可得．【解答】解：设等比数列｛a n｝的公比为q，
则a3+a4=a1q2+a2q2=（a1+a2）q2
=3q2=12，解之可得q2=4,
故a5+a6=a3q2+a4q2=
（a3+a4）q2=12×4=48
故选C
8．已知等差数列｛a n｝前9项的和为27,a10=8，则a100=（）
A．100 B．99 C．98 D．97
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．
【解答】解：∵等差数列｛a n｝前9项的和为27，
∴9a5=27，a5=3,
又∵a10=8，
∴d=1,
∴a100=a5+95d=98，
故选：C
9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）
A．7 B．11 C．26 D．30
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图,可知：该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析出各变量的变化情况,可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=1，S=0
不满足条件k＞7，执行循环体，S=1，k=3
不满足条件k＞7，执行循环体，S=4，k=7
不满足条件k＞7，执行循环体，S=11,k=15
此时，满足条件k＞7，退出循环，输出S的值为11．
故选：B．
10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前99和为(）A． B． C．D．
【考点】数列的求和．
【分析】由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出a n=1，从而推导出=，由此能求出数列的前99和．
【解答】解：∵等差数列{a n｝的前n项和为S n，a5=5，S5=15，
∴，
解得a1=1，d=1，
∴a n=1+（n﹣1）=n，
∴==，
∴数列的前99和：
S99=1﹣++…+﹣
=1﹣=．
故选：A．
11．定义“规范01数列"{a n｝如下：{a n｝共有2m项，其中m项为0，m项为1,且对任意k≤2m，a1,a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列"共有（) A．18个B．16个C．14个D．12个
【考点】数列的应用．
【分析】由新定义可得，“规范01数列"有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1,当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．
【解答】解:由题意可知,“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项,满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0,1，0，1，1，1；0，0,0,1，1,0,1，1; 0，0，0，1，1，1,0，1；0，0，1,0,0，1，1，1;
0，0，1，0，1，0，1,1; 0，0，1，0,1，1，0，1；0，0，1,1，0，1，0，1；0，0,1,1，0，0，1，1；0，1，0,0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1；0,1，0,0,1,1,0，1; 0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0,1，0，1,0，1．共14个．
故选：C．
12．如图所示，点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为ABC的中心,设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f（x）(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f（x）的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】由三角形的面积公式,结合图象可知需分类讨论求面积，从而利用数形结合的思想方法求得．
【解答】解:由三角形的面积公式知，
当0≤x≤a时，
f（x）=•x••a=ax，
故在[0，a］上的图象为线段，
故排除B；
当a＜x≤a时，
f（x）=•(a﹣x）••a=a(a﹣x），
故在（a，a]上的图象为线段，
故排除C，D；
故选A．
二、填空题：（共20分)
13．若等差数列｛a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=13．
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1,最后根据等差数列的通项公式求得答案．
【解答】解：依题意可得，
d=2，a1=1
∴a7=1+6×2=13
故答案为：13
14．设函数f（x)，若f（x）=，f（f(1））=1．
【考点】函数的值．
【分析】由分段函数的性质先求出f（1），再求出f（f（1））的值．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（1）=﹣12=﹣1，
f（f（1））=f（﹣1）=1﹣2+2=1．
故答案为:1．
15．“p：x∈{x|x2﹣x﹣2≥0｝”，“q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，若¬p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[﹣1，0］．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别化简命题p,q，可得￢p，再利用¬p是q的充分不必要条件，即可得出．
【解答】解：∵命题P：｛x|x≤﹣1或x≥2｝，∴￢p:{x|﹣1＜x＜2},
q ：x ∈｛x |2a ﹣1≤x ≤a +3}”，
∵¬p 是q 的充分不必要条件， ∴，解得﹣1≤a ≤0．
∴a 的取值范围是[﹣1，0];
故答案为：［﹣1，0］
16．已知数列满足：a 1=1，a n +1=,(n ∈N *），若b n +1=（n ﹣λ)（+1），b 1=﹣λ,且数列｛b n ｝是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 λ＜2 ． 【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【分析】数列｛a n }满足：a 1=1，a n +1=,(n ∈N ＊）,两边取倒数可得，化为
，利用等比数列的通项公式可得
， 于是b n +1=（n ﹣λ）（
+1）=（n ﹣λ）•2n ，由于b 1=﹣λ，且数列｛b n ｝是单调递增数列，可得b n +1＞b n ,解出即可． 【解答】解：∵数列{a n }满足：a 1=1，a n +1=，（n ∈N *）， ∴
，化为， ∴数列
是等比数列,首项为+1=2，公比为2，
∴， ∴b n +1=（n ﹣λ）(+1)=（n ﹣λ）•2n ，
∵b 1=﹣λ，且数列{b n ｝是单调递增数列,
∴b n +1＞b n ,
∴(n ﹣λ）•2n ＞（n ﹣1﹣λ）•2n ﹣1，
化为λ＜n +1，
∵数列｛n +1}为单调递增数列，
∴λ＜2．
∴实数λ的取值范围为λ＜2．
故答案为：λ＜2．
三、解答题：（共70分）
17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 10=30,a 15=40
（1）求通项a n
（2）若S n =210，求n ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】(1）由等差数列通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出a n．
(2）求出S n=n2+11n,由此能求出n．
【解答】解：(1）设等差数列{a n}首项为a1,公差为d,依题意可得，
，…．
解之得，…．
∴a n=a1+（n﹣1）d=12+（n﹣1）×2=2n+1．…。

.
（2)由（1)知：
S n=na1+=12n+=n2+11n，…
∵S n=210，n2+n=210，解之得n=10或n=﹣21．（舍去）…。

.
∴n=10．…
18．已知集合，集合B=｛x|x2﹣(2m+1）x+m2+m＜0｝
（1）求集合A、B;
（2)若B⊆A，求m的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．
【分析】(1)把集合A中的不等式移项右边变为0，左边通分后,转化为x+2与x﹣2异号，求出不等式的解集即可得到集合A；集合B中的不等式的左边分解因式后，得到x﹣m与x﹣m+1异号，即可求出x的范围得到集合B;
（2）根据集合B是集合A的子集，得到集合A包含集合B,利用两集合的解集即可列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可得到m的取值范围．
【解答】解:（1）由集合A中的不等式：,⇔﹣2≤x＜2，即A={x｜﹣
2≤x＜2｝；
由集合B中的不等式：x2﹣（2m+1）x+m2+m＜0⇔(x﹣m)[x﹣(m+1)］＜0⇔m＜x＜m+1，即B={x|m＜x＜m+1｝；
（2)B⊆A⇒﹣2≤m≤1．
19．已知a∈R,命题p：“∀x∈［1，2］，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”．(1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围;
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．
【分析】（1）由于命题p:“∀x∈[1，2］,x2﹣a≥0”,令f（x）=x2﹣a,只要x∈[1,2]时，f（x)min ≥0即可；
(2）由（1)可知,当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a)≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q"为假命题，可知:命题p与命题q必然一真一假，解出即可．
【解答】解:(1)∵命题p:“∀x∈［1，2]，x2﹣a≥0"，令f（x）=x2﹣a，
根据题意，只要x∈[1，2］时，f（x)min≥0即可，
也就是1﹣a≥0，解得a≤1，
∴实数a的取值范围是(﹣∞,1]；
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时，a≤1,
命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q"为假命题，
∴命题p与命题q必然一真一假,
当命题p为真，命题q为假时，，
当命题p为假,命题q为真时，，
综上：a＞1或﹣2＜a＜1．
20．已知等差数列｛a n}满足：a3=7，a5+a7=26，｛a n}的前n项和为S n．
（1）求{a n}及S n；
（2）令b n=（n∈N＊），求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设等差数列{a n｝的公差为d,运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,即可得到通项和求和公式；
（2）求得b n===﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简计算即
可得到．
【解答】解：(1）设等差数列{a n}的公差为d，
由a3=7，a5+a7=26，可得a1+2d=7，2a1+10d=26，
解得a1=3，d=2，
即有a n=a1+（n﹣1）d=3+2(n﹣1）=2n+1,
S n=na1+n（n﹣1）d=3n+n（n﹣1）•2=n2+2n；
(2）b n===﹣，
前n项和T n=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣=．
21．已知数列｛a n}的前n项和为S n，点（n,S n）在抛物线y=x2+x上,各项都为正数的等比数列｛b n}满足b2=，b4=．
（Ⅰ）求数列｛a n}，{b n｝的通项公式;
（Ⅱ)记C n=a+b,求数列{C n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I)由，推导出a1=S1=2，a n=S n﹣S n
﹣1
=3n﹣1．由各项都为正数的等比数列｛b n}满足,，求出首项和公比，由此能求出数列｛a n}，｛b n｝的通项公式．（Ⅱ) 先求出C n=9n﹣4+(）3n﹣1，由此利用分组求和法能求出数列{C n｝的前n项和T n．【解答】解：（I）,当n=1时，a1=S1=2,
当n≥2时，S n
﹣1
=（n﹣1）2+(n﹣1）=，
∴a n=S n﹣S n
﹣1
=3n﹣1．
∴数列{a n｝是首项为2，公差为3的等差数列,
∴a n=3n﹣1．…
又各项都为正数的等比数列｛b n｝满足,,
解得，∴b n=(）n．…
（Ⅱ)∵，
∴C n=a+b=a3n
﹣1+b3n
﹣1
=3（3n﹣1)﹣1+()3n﹣1
=9n﹣4+（)3n﹣1,
∴数列｛C n}的前n项和：
T n=9（1+2+3+…+n）﹣4n+2×（)n =9×﹣4n+2×
=﹣+．…
22．已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N ＊），且﹣=，S 6=63．
（1）求{a n ｝的通项公式； (2）若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n +1的等差中项，求数列｛（﹣1）n b }的前2n 项和．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q ，利用求和公式解出a 1，得出通项公式；
(2）利用对数的运算性质求出b n ，使用分项求和法和平方差公式计算．
【解答】解：（1）设{a n ｝的公比为q ，则﹣=，即1﹣=, 解得q=2或q=﹣1．
若q=﹣1,则S 6=0，与S 6=63矛盾，不符合题意．∴q=2,
∴S 6==63，∴a 1=1．
∴a n =2n ﹣1．
（2）∵b n 是log 2a n 和log 2a n +1的等差中项，
∴b n =(log 2a n +log 2a n +1）=（log 22n ﹣1+log 22n ）=n ﹣．
∴b n +1﹣b n =1．
∴{b n }是以为首项，以1为公差的等差数列．
设{（﹣1）n b n 2｝的前2n 项和为T n ，则
T n =(﹣b 12+b 22）+（﹣b 32+b 42)+…+（﹣b 2n ﹣12+b 2n 2）
=b 1+b 2+b 3+b 4…+b 2n ﹣1+b 2n ==
=2n 2．
2016年10月20日。