大学物理Ⅱ第10章 稳恒磁场

r
B
17
2.运动电荷的磁场
q
B
0 4
q r0
r2
r
P B
六、毕奥－萨伐尔定律的应用
r
P
B
1. 载流直导线的磁场
求距离载流直导线为a处 一点P 的磁感应强度 B
解
dB
0
4
Idl sin r2
B
dB
0
4
Idl sin r2
I
Idl
a
r
B
P
根据几何关系
r a csc
l acot acot
萨法尔定律 二、 两定理：磁高斯定理和安培环路定理
三、 两种力：安培力(做功)、洛仑兹力(不做功)
四、 磁介质：磁介质中的环路定理
§10.1 电流 电动势
一、电流、电流密度
大量电荷的定向运动形成电流。 方向规定：正电荷运动方向
1.电流强度： I dq
dt
2.电流密度:
描述导体内各点的电流分布情况
a
da边: F1 I da B
F1 Bl1I sin
bc边: F1/ Ibc B
F2
F1/ Bl1I sin( )
b
F1 d
F2/
pm
c
F1/
ab边: cd边:
F2 I ab B F2/ I cd B
F2 Bl2I F2/ Bl2I
41
•线圈在均匀磁场受合力 F F1 F1/ F2 F2/ 0
B
13
I I
直电流磁感线
圆电流磁感线
I
螺线管 磁感线
(1)磁感应线都是环绕电流的闭合曲线，磁场是 涡旋场。
(2) 任意两条磁感应线在空间不相交。 (3)磁感应线方向与电流方向遵守右螺旋法则。
14
2. 磁通量
穿过磁场中任一曲面的磁感应线条数，称为该曲
面的磁通量，用符号Φm表示。
n
m
B ds
dl a csc2d
B 0I θ2 sind
4a θ1
2
I
Idl
l
ar
1
P
0I
4a
(cos1
cos
2
)
(♣ )
讨论
B
0I
4a
(cos1
cos2
)
(1) 无限长直导线 1 0 2
B 0I 方向：右螺旋法则 (♣ )
2a
(2) 任意形状直导线
I 2
B 1 P
B1 0
B2
0I
4a
(cos 900
A
B
D
C
P
B dl
B d l
外 B dl B dl B dl B dl B dl
AB
BC
CD
DA
BABlAB BCDlCD 0nIlAB
B 0nI
BCD 0
(♣ )
3.环形载流螺线管内的磁场分布（螺绕环）
已知：I 、R1、R2, N导线总匝数
分析对称性
磁力线分布如图
(2) 当运动方向与 磁感应强度的方向
垂直时,受到的磁场力最 大;
q, v
定义 磁感应强度的大小 B dFmax qv
B dF dFmax
单位: 特斯拉（T）
三、磁通量
1.磁感线
•
磁力线切线方向为该点磁场方向。
Bb
b
Ba a
Bc
c
B
S
• 定量地描述磁场强弱,B大小定义为：
B dN = dm dS dS
第十章 稳恒磁场
§10.1 电流 电动势 §10.2 磁场 磁感应强度 §10.3 安培环路定理 §10.4 磁场对载流导线的作用 §10.5 磁场对运动电荷的作用 §10.6 磁介质
1
静电荷
运动电荷
静电场
稳恒电流
电场, 磁场
稳恒电场
稳恒磁场
学习方法：类比法
2
第10章 主要内容：(四要点)
一、 一物理量与定律：磁感应强度 B 及毕奥-
特首先发现电流的磁效应
9
I
S N
磁现象与运动电荷之间有着密切的联系。
1822年安培提出了 用分子电流来解释磁性起源
In
N
S
电荷的运动是一切磁现象的根源。 10
３. 磁力 磁力是发生于运动电荷间的相互作用力，它决
定于运动电荷的速度。
二、磁感应强度
电流(或磁铁) 磁场 电流(或磁铁) 1.磁场 运动电荷(电流) 激发磁场。
方向: 右手螺旋法则
dF
积分形式
F LIdl B
B
Id l
37
载流直导线在均匀 磁场中的安培力
取电流元
Idl
dF Idl B
受力方向
Idl
B
积分 F BIdl sin L
dF
F BLI sin
0
F 0
2
3
2
Fmax BLI
I
B
B
I
38
二、无限长两平行载流直导线间的相互作用力
只是此时因B不能提出积分号外，利用安培环 路定理已不能求解B，必须利用毕奥－萨伐尔 定律及叠加原理求解.
36
§10.4 磁场对载流导线的作用
一、安培定律
安培首先通过实验发现：在磁场中任一点处，电
流元Idl所 受的磁力为
dF Idl B (♣ )
Id l
B
大小: dF Idl Bsin
dF
dF 0I1I2 dl 2 a
(♣ )
39
例：求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流
导线ab的作用力。 已知：I1、I2、d、L
解： dF BI 2dl
0 I1I2 dx 2x
a dF b
I1
x
I 2dl
I2
d
L
40
三、磁场对载流线圈的作用
匀强磁场对平面载流线圈的作用
ab=cd= l2 , ad=bc =l1， pm与B夹角为
同时也激发电场。 磁场对外的重要表现为： (1) 磁场对运动电荷(电流)有磁力作用 (2) 磁力作功，表明磁场具有能量。
11
2. 磁感应强度
根据运动正电荷所受磁力来定义
受力特点: (1) 正电荷沿不同方向运动,受力
也不同;
存在一个方向使 dF 0
定义该方向为磁感应强度的方向
q, v
B
q, v
dF 0
I P
30
B的计算 取同轴圆周为积分回路
l B dl B2 r
r>R 0 I 0I
r<R
B外＝
0 2
I r
I
I R2
r 2
r2I R2
B内＝
0 2
Ir R2
I
B
P
31
讨论：
B
•分布曲线
0I
0 Ir
B
2R2 0 I
2r
rR rR
2R 0
R
r
• 长直载流圆柱面
0
r R
B dl 2rB 0 I r R
cos1800
)
2
P r
I
0I
4a
B
a
1
2. 载流圆线圈的磁场
求轴线上一点 P 的磁感应强度
dB
0
4
Idl r2
0 Idl
4 (R2 x2 )
Idl
R O
根据对称性 B 0
I
B
dBx
dBcos
0
4
Idl r2
cos2
P
B
0 IR2
2(R2 x2 )3/2
p dB
0 4 107T m A1 真空磁导率
大小：dB
0
4
Idl sin r2
方向：右手螺旋法则
16
对一段载流导线
B
0 l 4
Idl r0
r2
•若 =0或 ，则dB=0，
即电流元不在自身方向上激发磁场。
•若 = /2，则dB最大 (其它因素不变下)
例如：
P B
r
Idl
r
B
Idl
方向满足右手螺旋
r
dB
x P x dB
B
x
讨论
B
0 IR 2
2(R2 x2 )3/ 2
(1) x 0 载流圆线圈的圆心处 B 0I
2R
如果由N 匝圆线圈组成 B 0NI (♣ )
(2) x R
2R
0 IS
2x3
pm n
定义 pm ISn
磁矩 (♣ )
I
(3) 一段圆弧在圆心处产生的磁场
44
2. 载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功
M pm B
M IS B sin
作积分回路如图
方向
右手螺旋
计算环流
B dl Bdl 2rB
利用安 培 环路定理求 B
B dl 0NI
B
0NI 2r
内
0 外
0
35
R1、R2 R2 R1
n N
2 R
B 0nI
B
O
R1 R2
r
说明： ①B是所有电流共同产生的
环路外部的电流只是对积分∮LB·dl无贡献. ②当B无对称性时，安培环路定理仍成立
(3)
2
pm B
Mmax pm B
f1
f2
f2
f1
f1
f2
f1
f2
f2
f2
⊙
B
43
四、磁力的功
1.磁力对载流导线做功 设一均匀磁场B，ab长为l，电流I
F BIl
d
A F aa' I B laa'
A IBS Im
c
A I m (♣ )
a
a/
I F
b
b/
在匀强磁场中当电流不变时，功等于电流乘以 回路面积内磁通量的增量
I
B
B
0
0
I
2r
r R rR
0I 2R
R
O
Rr
32
2. 载流长直螺线管内、外的磁场
A PB
D
C
I
解：无限长载流螺绕管轴线上的磁场为
0nI
内 B dl B dl B dl B dl B dl
AB
BC
CD
DA
0
0
BABlAB BCDlCD 0
BAB BCD 0nI (♣ )
s
S
B
四、磁场中的高斯定理
sB ds 0
(♣ )
穿过任意闭合曲面的磁通量为零。
(1) 磁力线是无头无尾的闭合曲线， (2) 磁场是无源场 (无单独磁极存在)
S
B
15
五、毕奥—萨伐尔定律
1.稳恒电流的磁场
电流元
Idl
I
dB
0 4
Idl r0
r2
(♣ )
r
Idl
毕奥---沙伐尔定律
I4
I2
l Bidl
0 Ii
B dl l
0
Ii
(♣ )
I3 I5
若电流流向与积分环路构成右手螺旋，I取正值；反 之，I 取负值.
27
在真空中的稳恒磁场中，磁感应强度B沿任意闭合 曲线的积分(环流)，等于该闭合曲线所环绕的电流
的代数和的0倍. 称为磁场中的安培环路定理。
说明： (1) B是dl处的总磁场 (2)只适用于稳恒电流(闭合或延伸到∞) (3)右螺旋关系确定 I内I 的有正、负； (4) 说明磁场是非保守场，有旋场。
用电器
A
B
E
Ek
非静电力: 能把正电荷从电势较低的点（电源负极
板）送到电势较高的点（电源正极板）的作用力，
记作 Fk 。
6
非静电场强:
Ek
F非 q
表示单位正电荷受到的非静电力
电源: 能够提供非静电力的装置
２.电源电动势
定义:把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时 ，电源中的非静电力所做的功 .
水平放置C、D两导线的距离为a。电流方向相同
dF Idl B
B2
a
B1
0 I1 2 a
B2
0 I 2 2 a
I1dl1 dF1
C
dF2 B1I2dl2 dF1 B2I1dl1
I1
D
dF2
0 I1I 2 2 a
dl2
dF1
0 I1I2 2 a
dl1
I2
dF2 I2dl2
B1
单位长度载流导线所受力为
定义：
j
dI
n
dS
I E
dS
I
4
方向： j // E 单位： A·m－2
n
j(E)
dS
dS
若dS的法线n与j成角 ,则
通过dS的电流
dI jdS jdS cos j dS
I s j dS (♣ )
提示：这里的理解可以联想到电通量的引入及定义。
5
二、 电动势
１. 非静电力与电源 一段导体内的静电电势差不能维持稳恒电流
(♣
)
§10.3 安培环路定理
一、安培环路定理
在静电场中 在稳恒磁场中
l
E
dl
0
l B dl ?
I
L
r
B
dl
1. 任意积分回路
B dl B dl cos B rd
B dl
2 0 I rd
l
0 2 r
0I 2
2
0I
d
B
r
dl
25
2. 若环路方向反向，情况如何？ L
• F2 和 F/2产生一力偶矩
M
F2
2
l1 2
cos(
)
2
F2
F2 /
pm
M F2l1 sin Bl2I l1sin IS Bsin
M PmB sin
M pm B (♣ ) 42
说明:
(1) 0 pm // B
M＝0 稳定平衡
(2) pm // B
M＝0 非稳定平衡
A= q
+
Ek
dl
(♣ )
方向:
7
如果对整个回路进行积分，则非静强场的环流。
Ek dl
这时电动势的方向与回路中电流的方向一致。
8
§10.2 磁场 磁感应强度 一、 基本磁现象
1.自然磁现象 天然磁石 同极相斥,异极相吸
S N
SN
磁性、磁体、磁极
2.电流的磁效应 1819－1820年丹麦物理学家奥斯
I r' d r B
3.若环路中不包围电流的情况？ I
dl
对一对线元来说 B1 dl B2 dl
B1dl cos1 B2dl cos2
0I
2r1
r1d
0I
2r2
r2d
0
L
I
r2
B2
2
d
dlr21
B11
dl1
L
4 . 积 分回路环绕多个载流导线
B Bi
I1
l B dl l Bi dl
28
二、 安培环流定理的应用