湖南省湘潭市2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题含解析

， 为 的中点， 为 的中点 .
（ 1）证明：
平面 .
（ 2）在线段 上是否存在一点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在， 求出点 的
位置；若不存在，说明理由 .
【答案】（1）见解析；（ 2）当
时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【解析】
【分析】
（ 1）设 为 的中点，连接 ， ，证明 OE为三角形 BPF的中位线，得
，再从这批唐三彩中任取 1 件作检验，若
为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验
. 假设这批唐三彩的
优质品概率为 ，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为
，且各件唐三彩是否为优质品相互独立 .
（ 1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率； （ 2）已知每件唐三彩的检验费用为 100 元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质 量检验所需的总费用记为 元，求 的分布列及数学期望 .
【答案】（1） . （2）见解析 .
【解析】
【分析】
（ 1）分两种情况研究唐三彩通过检验的概率相加即可求解（
2）先列出 可能的取值，再分别求概
率列出分布列求解即可
【详解】（ 1）设第一次取出的 3 件唐三彩中恰有 2 件优质品为事件 ，第一次取出的 3 件唐三彩全
是优质品为事件 ，第二次取出的 3 件唐三彩都是优质品为事件
值.
第Ⅱ卷
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 已知
，若
的展开式中 的系数比 x 的系数大 30，则 ______ ．
【答案】 2
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得
的值．
【详解】 且
展开式通项为： 的展开式中 的系数比 的系数大 ，即：
3. 若双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则该双曲线的离心率为
（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 【分析】 先求渐近线的斜率，再求 e 即可
【详解】依题意可得
，则
，所以
.
故选： C
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题
4. 高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国
【点睛】本题考查集合的运算，熟记并集与补集的定义，准确计算是关键，是基础题
2. 已知复数
，则复数 在复平面内对应点的坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】
【分析】
先化简 z, 再求 即可
【详解】因为
，所以
，对应点的坐标为
.
故选： A 【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，熟记定义，准确计算是关键，是基础题
. 设其中直角三角形中较小
的锐角为 ，且
，如果在弦图内随机抛掷 1000 米黑芝麻（大小差别忽略不计） ，则落在小
正方形内的黑芝麻数大约为（
）
A. 350 【答案】 D 【解析】 【分析】
B. 300
由二倍角的正切公式推导出
C. 250
D. 200
，设大正方形为 ABCD，小正方形为 EFGH边长为 a ，由
6. 已知数列 为等比数列， 首项
，数列 满足
，且
，则 （ ）
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
【答案】 C
【解析】
【分析】
先确定 为等差数列， 由等差的性质得
进而求得 的通项公式和
的通项公式， 则 可
求
【详解】由题意知
为等差数列，因为
，所以
，因为
，所以公差
，
则
，即
，故
，于是
.
故选： C 【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关 键，是基础题
，则
的最小值为（ ）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
【答案】 D 【解析】 【分析】 先画出可行域，再结合 z 的几何意义，数形结合求解即可
【详解】 作出可行区域 （如图阴影所示） ，化直线
为
经过点 A 取得最小值 , 此时 ∴ 的最小值为 6 故选： D
解得 A ，
, 可知当直线
【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题
为 ，所以 ，所以
，由 .
利用二次函数求值域即可 ，得
故选： B
【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题
10.2002 年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的
. 弦图是
由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）
到 的距离，得到
的面积为 ，作差后利用导数求最值．
【详解】设
，
，联立
，得
D. ，再由点到直线的距离公式求得
则
，
则
由
，得
设
，则
，
则点 到直线
的距离
从而
． 令
当
时，
；当
时，
故
，即
的最小值为
本题正确选项：
【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，
考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的
面积类最值问题， 通常采用构造函数关系的方式， 然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最
试题考生都必须作答 . 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .
（一）必考题： 60 分
17. 在
中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
（ 1）求 ；
（ 2）若
，
的面积为 ，求
的周长 .
【答案】（1）
；（ 2）
【解析】 【分析】 （ 1）根据余弦定理直接求解可得
，进而可得
；
（ 2）由正弦定理角化边可得
2019 年高三第二次模拟考试试卷
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 .
1. 设全集 A.
，集合
， B.
，则 C.
（） D.
【答案】 D
【解析】 【分析】
先求
再求
即可
【详解】因为
，
，所以
，
.
故选： D
∵ 为 的中点，∴ 为 ， 的交点，
∴ 为 的中点，即 OE为三角形 BPF的中位线
∴
.
∵ 平面 ，
平面 ，
∴ 平面 .
（ 2）∵
， 为 的中点，
∴
.∵
，∴
，
∴
，
.
在
中，
，∴
.
又∵
，∴
平面
.
又因为
，所以过 分别作 ， 的平行线，分别以它们作为
轴，
以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
.
假设线段 上存在一点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 .
设
，则
即
， .
设平面 的一个法向量为
，则
，即
.
取
，得平面
的一个法向量为
.
设直线 与平面 所成角为 ，令
，
得
，
化简并整理得
，解得
（舍去），或
.
所以，当
时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】 本题考查线面平行的判定， 空间向量求线面角， 空间想象力和推理能力， 准确计算是关键 ，
是中档题
19. 唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国
即可证明（ 2）证
明
平面
，由
，过 分别作 ， 的平行线，分别以它们作为
轴，以 为 轴
建立如图 所示的 空间直 角坐标 系，求平 面 的 法向量 ，假设线 段 上存在 一点 ，设
，得
，由直线 与平面 所成角的正弦值为
列的
方程求解即可
【详解】（1）证明：设 为 的中点，连接 ， ，则
.
∵
，
，
，
∴四边形
为正方形 .
文化中占有重要的历史地位， 在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔 . 唐三彩的生产至今已有 1300 多年
的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任
取 3 件作检验，这 3 件唐三彩中优质品的件数记为 . 如果
，再从这批唐三彩中任取 3 件作检
验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果
要根据三视图的规则， 空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线， 不可见轮廓线在三视图中为虚
线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直
观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解
.
9. 已知
，则
的值域为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B 【解析】 【分析】 化 【详解】因为
【详解】因为
，所以
在 方向上的投影为
.
故答案为
【点睛】本题考查向量的投影，数量积运算，数量积定义，熟记公式，准确计算是关键，是基础题
15. 已知函数
的图像在点
处的切线与直线
垂直，若数列
的前
项和为 ，则 【答案】
__________．
【解析】 【分析】
利用导数的几何意义求 a，然后通过数列 { } 的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查抽象不等式的解法，熟练运用函数性质是关键，是
中档题
12. 直线
与抛物线 C：
交于 A，B 两点，直线
，且 l 与 C相切，切点为 P，记
的面积为 S，则
的最小值为
A.
B.
C.
【答案】 D
【解析】
【分析】
设出 坐标， 联立直线方程与抛物线方程， 利用弦长公式求得
100 个城市的共享单车
和扫码支付的使用人数进行大数据分析， 其中共享单车使用的人数分别为
，它们的平
均数为 ，方差为 ；其中扫码支付使用的人数分别为
，
，
，，
，
它们的平均数为 ，方差为 ，则 ， 分别为（ ）
A.
，
B. ，
C.
，
D.
，
【答案】 C
【解析】
【分析】
由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案
11. 已知函数
，若实数 满足
，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A 【解析】 【分析】
由题
,得
为奇函数且单调递增，化
为
【详解】由题
利用单调性求解即可 ，可知
则 为奇函数
又
, 当 x>0,
故在
单调递增， 又 为奇函数且
连续，故
在 R 上单调递增，所以
可化为
，
∴
，所以 的取值范围是
.
故选： A
．
【详解】由题意知
，则
，
，故
，
，故
，
.
故答案为
【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题
16. 如图，在长方体
中，
，
，点 在棱 上，当
值时，
，则棱 的长为 __________.
取得最小
【答案】
【解析】
【分析】
把长方形
展开到长方形
所在平面，利用三点共线时
取得最小值，利用勾股
定理列方程组，解方程组求得
的值 .
【详解】把长方形
展开到长方形
所在平面，如图，当 ， ， 在同一条直线上时，
取得最小值， 此时
，令
，
，
，则
，
得
.
【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，
考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象
能力，属于中档题 .
三、解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17～ 21 题为必考题，每个
tan θ 数
，得大正方形边长为 2a, 利用大小正方形的面积比能求出落在小正方形内的黑芝麻
【详解】由 由
，得
. 故选： D
，得
，设大正方形为 ABCD，小正方形为 EFGH，且
，
，
，则
，
. 落在小正方形内的黑芝麻数大约为
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，二倍角的正切公式，直角三角形计算，熟记公式，准确计 算是关键，是基础题
7. 已知
是函数
的极值点，则
（）
A.
B. 1
C.
【答案】 B 【解析】 【分析】 对函数求导，利用已知条件求得
a, 得到导函数，由极值点的定义求解即可
【详解】
，由
，t;
故
是函数的极值点，故
成立
故选： B
【点睛】本题考查极值的定义，熟练计算是关键，注意检验，是基础题
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】
【分析】
由三视图得出该几何体是一个底面半径为
1，高为 4 的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利
用体积公式求解，即可得到答案 .
【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为
1，高为 4 的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几
何体，故该几何体的体积为
，故选 A.
【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，
，再利用面积公式得 ，再利用余弦定理求解即可 .
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
从而 （ 2）因为 所以
，即
. ， .
因为
的面积为 ，所以
，
即
，解得
，
所以
，
，
的周长为
.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题
.
18. 如图，四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
和
是两个边长为 2 的
正三角形，
解得：
（舍去）或
本题正确结果：
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础
题．
14. 已知两个单位向量 和 的夹角为
，则
在 方向上的投影为 __________．
【答案】
【解析】 【分析】 运用向量数量积的定义和性质，先求 值．
的值，再利用向量的投影公式，计算即可得到所求
.
【详解】由平均数的计算公式，可得数据
的平均数为
数据
的平均数为：
，
数据
的方差为
，
数据
的方差为：
故选 C.
【点睛】 本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，
其中解答中熟记样本数据的平均