江苏省清江中学2016届高三考前一周双练冲刺模拟卷(一)数学试题 含答案

江苏省清江中学2016届高三考前一周双练冲刺模拟卷(一）
数学试卷
（本试卷共160分,考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共14个小题，每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1。

已知集合{3,5}A =，{|05}B x x =<<，则A
B =
.
2.设复数11i z i
+=-，则复数z 的虚部是 。

3.某班50人的一次竞赛成绩的频数分布如下：[60,70)：3人，[70,80):16人,[80,90)：24人，[90,100]：7人，利用组中可估计本次比赛该班的平均分为 。

4。

下图中，若输入x 的值为—5，则输出y 的值为 .
5.一个正四棱锥形的工艺品，所有棱长均为1cm ,则该棱锥体积为
3cm 。

6.在正六变形的6个顶点中任取3个点恰构成一个正三角形的概率是 。

7.已知抛物线2
2(0)y px p =>与双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>有相同的焦点F
，A
是两曲线的一个交点,且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率是 . 8.已知正数,a b 满足2
10a
ab -+=，则8a b +的最小值为 .
10。

设函数2log
,0
(),0
x
a x x f x a x ->⎧=⎨
≤⎩（0a >且1a ≠），若[(1)]2f f -=,则实数a 的值
是 。

11.在钝角三角形ABC 中，记3|tan tan tan |
A B C k =,则实数k 的值
为 . 12.已知圆2
2:(2)1C x
y +-=，D 为x 轴正半轴上的动点,若圆C 与圆D 相外
切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点,则圆D 的方程是 。

13.设数列{}n
a 的前n 项和为n
S ,若21
(2)8
n
n S
a =+，则3a 的所有可能取值的和为 。

14。

若不等式2
(1)[3(1)1]0mx m x m --+-≥对任意(0,)m ∈+∞恒成立，则实数x 的
值为 .
二、填空题(本大题共6小题，满分90分，将答案填在答题纸上） 15.（本小题满分14分）
在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3,5,2a c B A ===. （1）求b 的值； （2）求cos C 的值.
16. (本小题满分14分）
如图，已知平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形,PA PD =，2AD AB =,E 是线
段AD 的中点，F 是线段PB 的中点。

(1）求证：//EF 平面PCD ； （2）求证：AC ⊥平面PBE 。

17. （本小题满分14分) 如图，圆O 2,A B 为圆O 上的两个定点,且090AOB ∠=,P 为优弧
AB 的中点，设,C D （C 在D 左侧）为优弧AB 上的两个不同的动点,且
//CD AB ，记POD α
∠=，四边形ABCD 的面积为S 。

(1）求S 关于α的函数关系；
(2)当α为何值时，S 取得最大值？并求出S 的最大值.
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆:E 22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率
为
2
2
，点12(,)33
A 在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为
B ,点(4,)
P t t -在椭圆E 内部,射线,AP BP 与椭圆E 的另一交点分别为,C D . （1）求椭圆E 的方程;
(2）求证：直线CD 的斜率为定值.
19。

(本小题满分16分） 设函数2||
()(0,)x b f x ae
a b R -=>∈.
（1）当1a =时，对任意的x R ∈，()f x x ≥，求实数b 的取值范围； （2)设在任何长为1的区间上总有两个数1
2
,x x 满足2
1
|()()|1f x f x e -≥-。

证明：a 的最小值为1。

20。

（本小题满分16分）
设{}n
a 是等差数列，{}n
b 是等比数列，且1
10a
b =>，440a b =>,12a a ≠.
(1）求证：2
2b
a <，33
b a <；
（2）对于给定的正整数(5)n n ≥，试比较n
a 与n
b 的大小，并说明理由.
数学附加题（一）
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21。

【选做题】在,,,A B C D 四个小题中只能选做2题，每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A 。

选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图,已知圆O 的半径为9,7OP =，弦AB 过P 点，且2PA PB =，求AB .
B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分)
已知二阶矩阵1a b M c ⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦有特征值λ及对应的一个特征向量11⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
和特征值2λ及对应的一个特征向量10⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求实数λ的值。

C ．选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中,(0,1)P ，直线cos :1sin x l l y l θ
θ=⎧⎨=+⎩
(l 为参数,θ
为合适的常
数），曲线2
2:20C x y x +-=，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求PA PB •的
值。

D ．选修4—5:不等式选讲（本小题满分10分） 设正数,,a b c 满足6a b c ++≤，求证:1111111
a b c ++≥+++。

【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.
22. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A 和两个动点1
(1,)B y -，2
(1,)C y -满足
AB AC ⊥，动点P 满足//BP OA ，//OC OP ，设动点P 的轨迹为C .
（1)求12
y y 的值；
（2）求轨迹C 的方程；
（3)证明:轨迹C 的任意两条互相垂直的切线的交点均在直线BC 上。

23.（本小题满分10分）
有一种掷骰子移动棋子的游戏,分为,A B 两方,开始时棋子在A 方,根据下列①②③的规则移动棋子：①骰子出现1点时，不移动棋子；②骰子出现2,3，4,5点时,把棋子移动对方;③骰子出现6点时,如果棋子在A 方就不动，如果在B 方,就移到A 方，记n
P 为骰子掷n 次后棋子仍在
A 方的概率。

（1）求1
2
,p p 的值；
（2）求数列{}n
p 的通项公式；
（3)求n
p 的最大值和最小值。

参考答案
一、填空题
1. {3} 解析：因为集合{3,5}A =中只有一个元素3在集合B 中，所以
{3}A B =。

4．4 解析：5852-→→→,2
24=.
52 解析:2,则体积为2
12213
26
⨯⨯
=。

6．110
解析:从6个顶点中任取3个点恰构成一个三角形共有20种不同方法，其中只有2种可以构成正三角形,故所求概率为110
.
7
1
解析：对于双曲线，A 点坐标为2
(,)b c a
，对于抛物线，A 点坐
标为
(,)2p p ，所以有2
2b c a
=，22b ac =，222c a ac -=，2210e e --=，1e =。

8．6 解析：易得1b a a
=+，则1896a b a a
+=+≥=(当且仅当13a =时取等号)。

9．3 解析：以A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则BF 的方程为：132
x y +=，CE 的方程为：13
y x +=，联立方程组解得
312(,)77P ，则312
(,)(1,2)377
AP EF •=•-=。

10．2 解析：易得(1)f a -=，则2
()log
2f a a a ==,而2()log f a a a =为(0,1)(1,)+∞上
的增函数，且(2)2f =，所以实数a 的值是2.
11．
解析：在钝角三角形ABC 中，可证tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，
则
tan tan tan 0A B C <,从而k ==
12．
22(9x y -+=
解析：设内公切线l 的方程为(0)y kx k =>，即0kx y -=,
因为直线
l 与圆C 相切，所以C 到直线l 的距离
1d ==，解得k =
直线
CD 的方程是2y x =+，令0y =，解得D 坐标,4CD ==,所以圆
D 的半径等于3，圆D 方程是22(9x y -+=.
13．6 解析：28(2)n
n S a =+，2118(2)(2)n n S a n --=+≥，
两式相减得：118(4)()n
n n n n a a a a a --=++-，即11(4)()0n n n n a a a a ----+=,
在21
(2)8
n
n S
a =+中，令1n =得：12a =， 从而2
6a
=或22a =-，故310a =或36a =-或32a =，则3a 的所有可能取值的和
为6。

14．1 解析：【解法1】显然0x >，则10mx -<，而当m 充分大时，
23(1)10m x m -+->,与题设矛盾，而当0x >时，要使2(1)[3(1)1]0mx m x m --+-≥,对
(0,)m ∈+∞恒成立，则关于m 的方程，10mx -=，与23(1)10m x m -+-=在(0,)+∞内有相同的根，所以2
113()
(1)10x x
x -+-=,解之得：1x =,3
2
x =-(舍去）.
【解法2】(图象法）设函数1
1y
xm =-,223(1)1y m x m =-+-,要使不等式
2(1)[3(1)1]0mx m x m --+-≥对任意(0,)m ∈+∞恒成立，则必有0x >，作出两个函
数图象，则有两个函数图象交于点1(,0)x
，即1m x
=是方程2
3(1)10
m
x m -+-=的根，则有2
113()
(1)10x x
x -+-=，解之得：1x =，3
2
x =-（舍去).
二、解答题
15.解：（1)由正弦定理知：
sin sin a b
A B
=, 从而3sin 2sin cos b
A A A =，即cos 6
b A =,①
由余弦定理知:222cos 2b c a A bc +-=，从而216
cos 10b A b +=，②
由①②得:216
610b b b
+=，解得26b =.
（2）由（1）知,6
cos A =
，
因为()C A B π=-+，且2B A =，所以cos cos[()]C A B π=-+
cos(2)cos cos 2sin sin 2A A A A A A =-+=-+
22cos (2cos 1)2sin cos A A A A =--+
2236cos (2cos 1)2(1cos )cos 4cos 3cos 9
A A A A A A =--+-=-+=。

16.证明：（1）取线段PC 的中点G ，连结,,EF FG GD ， ∵,F G 分别为,PB PC 的中点，∴//FG BC ,且12
FG BC =;
又∵ABCD 是矩形，E 为AD 中点， ∴//ED BC ，且12
ED BC =,
∴//ED FG ，且ED FG =，
∴四边形EFGD 是平行四边形，
∴//EF GD ,又GD ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ,∴//EF 平面PCD 。

（2）设AB a =，则2AD a =,2
AE =
， 对于直角三角形ABC 与直角三角形EAB ，∵BC AB AB
EA
=，∴ABC ∆∽EAB ∆， ∴BAC AEB ∠=∠，∵0
90AEB ABE ∠+∠=，∴0
90BAC ABE ∠+∠=,∴AC BE ⊥，
∵PA PD =,E 为AD 中点，∴PE AD ⊥，
又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =,PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴PE AC ⊥，
PE
BE E =，∴AC ⊥平面PBE 。

17．解:(1）设过圆心O 作AB 的垂线分别与,AB CD 交于点,E F ， 易得2,1AB OE ==,
①当02
πα<<时,如图1，
易得22sin ,2cos CD OF αα=⨯
=，
所以1()()2
S AB CD OE OF =++
1
(222sin )(12cos )2
αα=
++ 2(sin cos )2sin cos 1αααα=+++
②当2
πα=时，11()(22
2)1122
2
S AB CD EF =+•=⨯+⨯=+，
③当32
4
ππα<<时，如图2，
易得22)22CD παα=-=，2)2OF παα-=-，
所以1()()2
S AB CD OE OF =+-
1
(222)(12)2
αα=⨯+⨯ 2(sin cos )2sin cos 1αααα=+++
综上得,2(sin cos )2sin cos 1S αααα+++，304
πα<<。

（2）令sin cos 2)4
t π
ααα=+=
+，
因为304πα<<,所以44
ππαπ
<+<，从而0sin()14
πα<+≤
，故t ∈，
此时2221
11(22
S t t t =
+-+==+
-
，t ∈，
所以当t =
max 4S =,此时4
π
α=。

18．解:(1）易得22
2212
()()331a b
+=
= 解得21a =,212
b =,所以椭圆E 的方程为：2221x y +=。

（2）设0
(,)P x y ，1
1
(,)A x y ,2
2
(,)B x y ,3
3
(,)C x y ,4
4
(,)D x y ,
则0
040x
y +=，221121x y +=，22
2221x y +=,
又设1
AP PC λ=,2
BP PD λ=，其中1
2
,R λλ
∈，
则1013
1
101
31(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨
+-⎪=⎪⎩
，代入椭圆2
221x
y +=并整理得：
22222210011101011(1)(2)(2)2(1)(2)x y x y x x y y λλλ++++-++=，
从而有2
2
1
001011(1)(2)2(2)1x
y x x y y λλ++-+=-，①
同理可得,222
0002022(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-，②
①-②得：2
2
1
2
0()(21)0x
y λλ-+-=，
因为2
2
021x
y +<，所以12λλ=，
从而//AB CD ,故2CD
AB k
k ==。

19．解:（1）当1a =时，2()2||
2()
,(),x b x b b x e x b
f x e e
x b ---⎧≥==⎨<⎩， 当x b ≥时，2()
x b e x -≥，即2()0x b e x --≥，
记2()
()x b p x e
x -=-,x b ≥，则'2()2()()212110x b b b p x e e --=-≥-=>,
故()p x 为[,)b +∞上的增函数，所以min
()()10p x p b b ==-≥，得1b ≤;
当x b <时，2()
b x e
x -≥，即2()0b x e x --≥,
记2()
()b x q x e
x -=-,x b <，则'2()2()()212130b x b b q x e e --=--<--=-<,
故()q x 为(,)b -∞上的减函数，所以min
()
()10q x q b b >=-≥，
得1b ≤，综上得，1b ≤. (2）在区间11[,]2
2
b b -+（b R ∈)上，必有1()()12
f b f b e +-≥-，即||1ae a e -≥-，又0a >，
所以1a ≥,下证：a 的最小值为1，
即证在任何长为1的区间11[,]2
2
t t -+()t R ∈上总存在两个数1
2
,x x 满足：
21|()()|1f x f x e -≥-。

若t b ≥，则()f x 为1[,]2
t t +上增函数，取121
,2
x
t x t ==+
, 则2()2()21max
1
|()()|
()()(1)(1)12
t b b b f x f x f t f t e e e e e ---=+-=-≥-=-, 若t b <，则()f x 在1[,]2t t -上为减函数，取121,2
x t x t =-=,
则2()2()21max 1|()()|()()(1)(1)12
b t b b f x f x f t f t e e e e e ---=--=-≥-=-，
综上得，x R ∀∈,总存在两个数1
2
,x x 满足：2
1
|()()|1f x f x e -≥-.
即证a 的最小值为1。

20．解：由1
2a
a ≠知等差数列{}n a 的公差0d ≠，
设等比数列{}n b 的公比为q ，由440a b =>，得3
1130a d b q +=>，所以31(1)
3
a q d -=，
因为1
0,0d a
≠>，所以1q ≠且0q >.
（1）当2n =时，32112221111(1)(1)(2)33
a q a
D a b a d a q a a q q q -=-=+-=+
-=-+， 因为1
0,1a
q >≠且0q >,2220,D a b >>.
同理，当3n =时，21
3
33(1)(21)3
a D a
b q q =-=
-+，33a b >。

（2）记31
111111(1)(1)(1)3
n n n
n n n a q D
a b a n d a q
a a q ----=-=+--=+-，
211(1)[(1)(1)33]3n a q n q q q -=--++-+12
13(1)(1)[(1)(1)]31n a q q n q q q
--=--++--
2221(1)[(1)(1)3(1)]3
n a
q n q q q q q -=--++-++++①
当5n ≥时，由①式，得23421
(1)[(4)(1)3()]3
n n
n n a D
a b q n q q q q q -=-=
--++-+++
2324221
(1)[(13)(13)(13)]3
n a q q q q q q q q q q -=
-++-+++-++++-
（ⅰ)1q >时，对任意3k ≥，总有2
130k q q
q ++-<，0n D <，即n n a b <.
（ⅱ）01q <<时，对任意3k ≥，总有2
130k q q q ++->,0n D <，即n n a b <,
综上，对于任意给定的正整数(5)n n ≥，都有n
n a
b <.
21．解:作过P 点的直径CD ，则有：
972PC =-=,9716PD =+=，
根据相交弦定理得PA PB PC PD •=•， ∵2PA PB =，∴2
2216PB
=⨯,
解得4PB =,∴8412AB PA PB =+=+=.
B ．解：11111a b c λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,112100a b c λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
即有1c λ-=，且0c =，从而1λ=-。

C ．解：易得直线l 过(0,1)P ，
将cos 31sin 3x l y l ππ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
，代入2
220x
y x +-=
，得：21)10l l ++=，
所以12
1l l
=，从而1PA PB •=.
D ．证明：由柯西不等式得：111
[(1)(1)(1)](
)111
a b c a b c ++++++++++
2
9≥=, 所以
111991111363
a b c a b c ++≥≥=+++++++。

22．解：(1)由题意得:1
2
(2,),(2,)AB y AC y =-=-， 因为AB AC ⊥，所以12
4y y
=-.
(2）设动点(,)P x y ，则1
(1,)BP x y y =+-，(1,0)OA =，2
(1,)OC y =-，(,)OP x y =，
因为//BP OA ，//OC OP ，所以1
2
y y y xy =⎧⎨-=⎩，故212y y y x =-，
由（1）得轨迹C 的方程为2
4y
x =；
（3）设直线1
:l y kx b =+为轨迹2
:4C y
x =的切线，
由24y kx b y x
=+⎧⎨=⎩，得方程2222(8)0k x kb x b +-+=有唯一实数解,
所以2
224(8)
40kb k b --=,解得1b k
=
, 故直线1
1:l y kx k
=+，同理可得直线21
:l
y x k k
=-
-， 由11y kx k y x k k ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
，得1x =-，即证。

23．解：（1)121
63
p
=
=， 骰子掷2次后棋子仍在A 方有两种情形：一是骰子掷1次后棋子在A 方，二是掷一次后棋子在B 方，故2
11252
33363
p
=⨯+⨯=。

（2)骰子掷n 次后棋子仍在A 方有两种情形：一是骰子第1n -次后棋子在A 方，二是骰子掷第1n -次后棋子在B 方，故1115
(1)36
n
n n P
P P --=⨯+-⨯，即
115
26
n n P P -=-+，
所以1515()929
n n P P --=--，
故数列5{}9n P -是首项15299P -=-，公比为12-的等比数列,所以1521()992
n n P --=--,
故1521()992
n n P -=--。

（3)当n 为奇数时，1521()992n n P -=-单调递增，所以159n P P ≤<，即1539
n P ≤<，
当n 为偶数时,1521()992n n P -=+单调递增，所以259n P P <≤，即5293
n P <≤.
综上可知,n P 的最大值和最小值分别为23和13。