2019届全国高考仿真试卷(二)数 学 卷文科

2019届全国高考仿真试卷（二）
数学试卷文科
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则下列关系正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由指数函数与对数函数的性质求出集合A、B，再验证各选择支结论是否成立. 详解：由题意，，
∴，只有C正确.
故选C.
点睛：集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合.本题还考查
的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键.
2. 若复数（是虚数单位），则的共轭复数是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由复数乘法求得，再由共轭复数定义得结论.
详解：由题意，∴，
故选D.
点睛：本题考查复数的运算与复数的概念，只要乘法法则与共轭复数的概念就能正确求解，属于基础题.
3. 已知向量与为单位向量，若也是单位向量，则向量与的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：把的长度为1用数量积表示，再结合向量的夹角公式可得.
详解：由题意，
∴，∴，
故选A.
点睛：本题考查平面向量数量积的定义，掌握相应的公式是解题基础.
向量数量积的定义：；性质:，.
4. 已知，，，则，，的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：把化为同底数的幂，是对数化简后也可化为2的幂，这样由指数函数的性质可比较大小.
详解：，，，
∴，
故选C.
点睛：在幂和对数比较时，能化为同底数的，化为同底数的幂或对数，利用指数函数或对数
函数性质比较，不能化为同底数的，或不同形式的数可与中间值比较，如与0或1比较，最后可得结论.
5. 下列命题中，真命题的个数是（）
①已知直线：，：，则“”是“”的充要条件；
②“若，则”的逆否命题为真命题；
③命题“若，则”的否命题是“若，则，至少有一个不等于”；
④命题：，，则：，.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：对四个命题分别研究其真假，才能选出正确选项.
详解：①直线，即或，因此题中应是充分不必要条件，①错误；
②若，则，所以，是真命题，因此其逆否命题也是真命题，②正确；
③正确；
④是：，④错误.
所以有两个命题正确，
故选C.
点睛：本题考查命题的真假判断，解题时需对每一个命题进行判断，这就要求掌握相应的知识方法并能灵活运用．
6. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：利用向量的线性运算把用表示出来后，由向量相等得出数列的递推关系．
详解：∵，∴，即，又，∴，∴，
∴．
故选B．
点睛：等差数列问题可用基本量法求解，即把已知条件用首项和公差表示并求出即可得通项公式和前项和公式．
基本量法的两个公式：，．
7. 已知实数，满足，则的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：作出可行域，由的几何意义求解．
详解：作出可行域，如图阴影部分（含边界），，其中表示可行域内的点与定点连线的斜率，
由得，设切点为，则切线，解得，，即切点为，这P
点的切线斜率为1，即的最大值为1，
∴的最大值为1+1=2．
故选B．
点睛：线性规划问题中，关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，然后平移直线得出最优解，如果目标函数不是一次的，一般要确定其几何意义，如直线的斜率，两点间距离等，再利用几何意义求解．
8. 已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：求出函数单调递减时的范围，由几何概型概率公式可得．
详解：由题意，在时，恒成立，即，
又，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为3，
∴，从而，
∴所求概率为．
故选．
点睛：本题考查几何概型，考查导数与函数的单调性，解题关键是由不等式在恒成立求得参数的取值范围，求取值范围的方法是分离参数法转化为求函数的最值，这可由导数求得也可由基本不等式求得．
9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由三视图还原出原几何体，再计算体积．
详解：由三视图．原几何体是四面体，如图，它是由长宽高分别为5，4，3的长方体截出的，其体积为．
故选A．
点睛：由三视图还原几何体时，首先要掌握基本几何体的三视图，其次对多面体来讲，可先画一个长方体（或正方体），然后在长方体（或正方体）上取点连线，想象其三视图，用这种方法可以很方便地得出原几何体．
10. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，建立的边长之间的关系，再转化为离心率之间的关系，然后由基本不等式求得最大值．
详解：设，
∵，
∴，
一方面，
另一方面，
∴，，，
，
∴，，当且仅当，即时等号成立，
∴所求最大值为．
故选D．
点睛：对已知焦点三角形的椭圆（双曲线）一般可利用其定义建立离心率与边长之间的关系，从而求出离心率的范围或最值，而本题共焦点的椭圆与双曲线问题，可通过共顶点的焦点三角形利用它们的定义建立离心率之间的关系，再利用基本不等式求得最大值．
11. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：模拟程序运行，观察运行中变量的值，可得结论．
详解：由程序框图知
．..............................
故选B．
点睛：本题考查程序框图，由程序框图观察出程序的功能，从而得出结论，对这个式子可利用二倍角公式求值，看作分母为1的分式，然后分子分母同乘以，然后由正弦的二倍角化简求值．
12. 在中，角，，所对的边分别为，，，且是和的等差中项，，，则周长的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：由得B角是钝角，由等差中项定义得A为60°，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围．
详解：∵是和的等差中项，∴，∴，
又，则，从而，∴，
∵，∴，
所以的周长为，
又，，，∴．
故选B．
点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量的夹角是B角的外角，而不是B角，要特别注意向量夹角的定义．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）
13. 下表提供了某学生做题数量（道）与做题时间（分钟）的几组对应数据：
（道）
（分钟）
根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值等于
__________．
【答案】
【解析】分析：求出，代入回归方程可得．
详解：由题意，同理，∴，．
故答案为6．
点睛：本题考查回归直线方程，解题时掌握其性质即可：回归直线一定过点．本题属于基础题．
14. 已知双曲线：的左右焦点为、，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点，则的面积为__________．
【答案】
【解析】分析：先求出渐近线方程，然后求出过一个焦点且与渐近线平行的直线方程，代入双曲线方程求得交点M的坐标，从而可得三角形面积．
详解：双曲线的焦点为，渐近线方程为，
过与一条渐近线平行的直线方程为，由得，即，∴．
故答案为．
点睛：本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线方程，解题方法是解析几何的最基本方法，依次求出平行直线方程，由直线与双曲线方程联立方程组求得交点坐标，最终得三角形面积．因此本题还考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
15. 已知为坐标原点，动点满足，、，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】分析：设P点坐标为，，求出模，再由三角函数知识可得最小值．
详解：由题意设P点坐标为，
则=
=，其中为锐角．
易知的最小值为，，
∴的最小值不．
点睛：点P满足，则P点轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，圆的点可利用参数方程
表示为，实际是椭圆上的点也可这样表示：椭圆方程为，则有
．利用这种换元法可把问题转化为求三角函数的最值，题中只要结合辅助角公式易得最值．
16. 已知函数的定义域是，（为小于的常数），设且
，若的最小值大于，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：求出导函数，分析的取值，可得，，且知满足的关系
，这可理解为上的点与曲线上的点，满足，然后要求的最小值，通过平行直线到与曲线相切可得最小值．
详解：由题意得，∴．
设，则，设斜率为-2的直线与的图象相切于，则
，，
当时，，，
∴，解得．
故答案为．
点睛：求出导函数，分析的取值，可得，，且知满足的关系，从而再表示出为一元函数，再用导数求函数的最小值即可：由题中解法得，所以，设，则，由得，可以验证此是最小值点，从而，以下同题中解法．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）
17. 已知等差数列前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）由和代入已知求出，根据基本量法可求得的通项公式；（2）利用分组求和法与裂项相消法求得，知是递增的，从而易证得结论．
详解：（1），
当时，，
当时，，
又∵是等差数列，
∴，∴；
（2）.
∴
.
当且逐渐增大时，增大.
∴.
点睛：常用数列求和方法：
（1）公式法：数列是等差数列或等比数列时，直接应用公式求和；
（2）分组求和法：设数列是等差数列，是等比数列，则数列的前项和用分组求和法求和．
（3）设数列是等差数列，是等比数列，则数列的前项和求法用错位相减法．（4）设数列是等差数列，则的前项和用裂项相消法求和．
18. 距离年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考试时学生的紧张程度，对某校名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：
（1）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？
（2）若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取人，再从被抽取的人中随机抽取人，求这两人中有女生的概率.
附：，.
【答案】（1）有关（2）
【解析】分析：（1）根据所给公式计算出后可得结论；
（2）把抽取的3男4 女编号，然后可用列举法写出所有基本事件，同时得出满足条件的基本事件个数，由概率公式计算出概率．
详解：（1）假设该学校学生的考前焦虑与性别无关
，
∴在犯错误的概率不超过的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关；
（2）男生、女生分别抽取人，人.记为，，，，，，.
基本事件为：，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，.
满足条件的有：，，，，，，，，，，，，
，，，，，.
∴.
点睛：本题考查独立性检验和古典概型概率公式，独立性检验只要计算出根据公式计算出，比较后可得结论，考查的是计算能力，古典概型概率一般用列举法写出所有的基本事件，同时得出满足条件的基本事件，再根据概率公式计算，只是在写基本事件时要注意不重不漏．19. 如图，三棱锥中，，，是等边三角形且以为轴转动.
（1）求证：；
（2）当三棱锥体积最大时，求它的表面积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：（1）要证线线垂直，可先证线面垂直，为此取AB中点H，可证AB⊥平面CDH，从而得证线线垂直；
（2）面积是确定的，因此要使体积最大，则要高最大，即D到平面ABC的距离最大，注意到是固定的，因此只要平面DAB⊥平面ABC，则体积最大．
详解：（1）证明：取的中点，连接，，
；
（2）解：，
∴若最大，则最大.
∴平面平面.
此时.
点睛：本题考查线面垂直的判定与性质，证明时要确定定理需要的条件都满足，才能确定结论，这也是立体几何中证明题需要注意的．
20. 如图所示，已知抛物线的焦点为，是抛物线上第一象限的点，直线与抛物线相切于点.
（1）过作垂直于抛物线的准线于点，连接，求证：直线平分；
（2）若，过点且与垂直的直线交抛物线于另一点，分别交轴、轴于、两点，求
的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）.
【解析】分析：（1）根据抛物线的性质，MH=MF，因此要证切线平分，只要证直线垂直于HF即可，为此可设，可由导数的几何意义求得切线斜率，由斜率乘积为-1可证两直线垂直；
（2）设，由（1）可得直线AB的斜率，从而得直线方程，可求得A,B两点的坐标，由直线AB方程与抛物线方程联立可求得Q点坐标，由计算即得结论．
详解：（1）证明：设则，直线的斜率，由
得，，
∴直线的斜率，
∴，∴.
又由抛物线定义，∴平分；
（2）解：当时，，
的方程：，
∴，.
∴，
由，
∴，
∴，
∴.
点睛：在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离及点到准线距离时，要利用抛物线的定义，由抛物线的定义本题证明直线平分转化为证明直线与垂直，这由直线斜率乘积可证．另外抛物线方程为时，可设抛物线上点的坐标为，抛物线问题就转化计算，可减少思维量与计算量．
21. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：当时，.
【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）(3)见解析
【解析】分析：（1）求出导函数，由可确定增区间，由可确定减区间；（2）即为，即，因此只要求得的最大值即可；
（3）不等式可变形为，只要分别证明，，其中，即能证明题设不等式．详解：（1）的定义域为，
且.
由，
∴在单调递增，在单调递减；
（2）解：，，
∴，
令，∴，
由，
∴在单调递增，在单调递减，
∴，∴；
（3）证明：
等价于.
令，则，
令则，
∵，∴，∴在单调递增，
，，∴在单调递增，
∴，∴，
令，则，
∵，∴，∴，在单调递减，
∴当时，，
∴，即.
点睛：（1）用导数研究函数的单调性方法是：求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间．
（2）用导数证明不等式，一种方法是证明，为此只要求得
的最小值，这个最小值大于0；另一种方法是求得的最小值，再求得的最大值
，由得证．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）已知点，直线和曲线相交于，两点，求.
【答案】（1），；（2）44
【解析】分析：（1）由可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，用代入消元法可消去参数得曲线的普通方程．
（2）由于P点在直线，因此可求得的标准参数方程（为参数），代入抛物线的普通方程，利用可得结论．
详解：（1）由得，即，∴的直角坐标方程，
由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的参数方程为（为参数），
将的参数方程代入得：，即，
∴，
∴.
点睛：过，倾斜角为的直线的标准参数方程为（为参数），直线上点对应的参数为，则表示有向线段的数量，即，．
23. 选修4-5：不等式选讲
设对于任意实数，不等式恒成立.
（1）求的取值范围；
（2）当取最大值时，解关于的不等式.
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）设，可由绝对值的定义去掉绝对值符号，得分段函数，从而可得的最小值，从而得的取值范围；
（2）不等式为，利用绝对值的定义分类去绝对值符号后，解不等式，最后求并集可得原不等式的解集．
详解：（1）设，则有，根据函数的单调性有.
即的取值范围；
（2）当时，，∴，
当时，原不等式，，∴；
当时，原不等式，，∴，
∴原不等式解集为.
点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为为含绝对值的不等式，分类求解．本题也可利用绝对值的性质求解，如第（1）小题中
，第（2）小题由得，解之可得．。