2018版浙江《学业水平考试》数学-知识清单与冲A训练19 等比数列及数列的综合应用

知识点一 等比数列的定义
一般地，如果一个数列________________________________________________，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示． 知识点二 等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝________________.
知识点三 等比中项
如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________． 知识点四 等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________(n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则________________．
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 仍是等比数列．
知识点五 等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，
当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q
. 知识点六 等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为________．
例1 (2015年10月学考)下列数列，能构成等比数列的是( )
A ．2,3,4,5
B ．1，－2，－4,8
C ．0,1,2,4
D ．16，－8,4，－2
例2 已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )
A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
例3 数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．若a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1，则S 5＝________. 例4 在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6·a 10＋a 3·a 5＝41，a 4·a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.
例5 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6
的值为________． 例6 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3.
(1)求证：{a n ＋3}是等比数列，并指明首项；
(2)求{a n }的通项公式．
例7 求数列112，214，318，…，(n ＋12n )的前n 项和S n .
例8 设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.
(1)求{a n }，{b n }的通项公式；
(2)求数列{a n b n
}的前n 项和S n .
一、选择题
1．等比数列{a n }中，a 1＝18
，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14 D.14
2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )
A.12
B.22
C. 2 D ．2
3．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于( ) A.218 B ．－218 C.178 D ．－178
4．一个等比数列的前7 项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )
A ．180
B ．108
C ．75
D ．63
5．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋
1＋a ，则a 的值为( )
A ．3
B ．－3
C ．－1
D ．任意实数
6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2a 9＝9，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{b n }前10项和为( )
A ．10
B ．12
C ．8
D ．2＋log 35
7．已知等比数列{a n }的公比q <0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则数列{a n }的前2 016项的和为( )
A ．2 015
B ．1
C ．0
D ．－1
8．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n
}的前5项和为( ) A.158
或5 B.3116或5 C ．5 D.3116 二、填空题
9．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．
10．等比数列{a n }中，a 2 009a 2 010a 2 011＝8，则a 2 010＝________.
11．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.
三、解答题
12．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．
答案精析
知识条目排查
知识点一
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零) 公比 q 知识点二
a 1·q n －
1
知识点三
等比中项
知识点四
(1)q n －m (2)a k ·a l ＝a m ·a n
知识点六
q n
题型分类示例
例1 D
解析[ 由等比数列的定义以及性质可知，A ，B ，C 都不是等比数列，故选D.]
例2 A [∵q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2
＝2，∴a 1＋a 1q ＝3， 得a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.
所以选A.]
例3 121
例4 51 解析 ∵a 6·a 10＝a 28，a 3·a 5＝a 24，
∴a 28＋a 24＝41.
又∵a 4·a 8＝5，a n >0，
∴a 4＋a 8＝
a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝41＋10＝51.
例5 73
解析 方法一 若q ＝1，则S 6＝6a 1，S 3＝3a 1，
∴S 6S 3＝2，这与已知矛盾，∴q ≠1.
∴由题设知a 1(1－q 6)
1－q
a 1(1－q 3)
1－q
＝3，即1＋q 3＝3，∴q 3＝2. ∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)
1－q a 1(1－q 6)1－q
＝1－231－22＝73
. 方法二 若q ＝－1，则S 6＝0，S 3＝a 1，
∴S 6S 3
＝0，这与已知矛盾，∴q ≠1. S 6＝3S 3.由等比数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列．
即S 3,2S 3，S 9－3S 3成等比数列，
∴S 9－3S 3＝4S 3，∴S 9＝7S 3，
∴S 9S 6＝73
. 例6 (1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋3，
∴(a n ＋1＋3)＝2(a n ＋3)，
∴a n ＋1＋3a n ＋3
＝2， ∴数列{a n ＋3}是等比数列，且首项为a 1＋3＝1＋3＝4.
(2)解 由(1)可知数列{a n ＋3}的通项公式为a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝4·2n －1＝2n ＋1.∴a n ＝2n ＋1－3.
例7 解 S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋14＋18＋…＋12n ) ＝12n (n ＋1)＋12(1－12n )1－12
＝12n (n ＋1)＋1－12n . 例8 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .
由题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
d ＝2，q ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，b n ＝2n －1.
(2)由(1)知a n b n ＝2n －12n －1， S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，① 12S n ＝121＋322＋…＋2n －52n －2＋2n －32n －1＋2n －12n ，② ①－②得
12S n ＝1＋22＋222＋…＋22n －2＋22n －1－2n －12n ＝1＋2(12＋122＋…＋12n －2＋12n －1)－2n －12n ＝1＋2×12[1－(12)n －1]1－12
－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， ∴S n ＝6－2n ＋32n －1. 考点专项训练
1．A
2．C [由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25， ∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q ＝2，故选C.] 3．A [∵a 8a 5
＝q 3＝－8，∴q ＝－2，
由a 5＝－2＝a 1×(－2)4得a 1＝－18
. ∴S 6＝－18[1－(－2)6]1－(－2)
＝218.] 4．D [由条件得q ≠1，且a 1(1－q 7)1－q
＝48，① a 1(1－q 14)1－q
＝60.② ②①
得1＋q 7＝54， ∴q 7＝14，a 11－q
＝64， ∴S 21＝a 1(1－q 21)1－q
＝64[1－(14)3]＝63.] 5．B [∵S n ＝3n ＋1＋a ，
∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n
＝2·3n .
n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋9.
∵{a n }为等比数列，∴a ＋9＝2×31，解得a ＝－3.]
6．A [b 1＋b 2＋…＋b 10＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 2a 9)5＝5log 39＝
10.]
7．C [由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，得a n q 2＝a n q ＋2a n .
即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1或q ＝2(舍去)．
∴a 1＝－1，∴S 2 016＝0.]
8．D [由题意可知q ≠1.
∵9(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，
∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6，
8(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2＋a 3)q 3，
∴q ＝2，a n ＝2n －1，
∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝120＋121＋…＋124＝3116
.] 9．192
解析 由条件得，768＝6×q 7，解得q ＝2. ∴a 6＝6×25＝192.
10．2
解析 等比数列{a n }中，a 2 009a 2 011＝a 22 010，
∴a 32 010＝8，∴a 2 010＝2.
11．4n －
1
解析 ∵{a n }是等比数列，q ＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q
＝21， ∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1. 12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩
⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，
2a 1＋12d ＝－10， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .
(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n .② 所以当n ＞1时，①－②得
S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n ＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .。