海南省海口市2022届数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

海南省海口市2022届数学高二第二学期期末复习检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合12log 1A x x ⎧⎫
=>-⎨⎬⎩⎭
，{}1,0,1,2,3B =-则A B =（）
A ．{}1,0,1-
B ．
1,0,1,2
C ．{}1
D ．{}0,1
【答案】C 【解析】 【分析】
利用对数函数的单调性对集合A 化简得x|0＜x ＜1}，然后求出A ∩B 即可． 【详解】
12log 1A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭＝1122log log 2x x ⎧⎫
>⎨⎬⎩
⎭{x|0＜x ＜2}，
∴A ∩B ＝{1}， 故选：C 【点睛】
考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算．
2．将点M 的直角坐标()
1-化成极坐标为（ ）
A ．π6⎫⎪⎭
B ．7π2,
6⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．7π2,
6⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．π2,
6⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】
分析：求出2,tan
ρθ====θ在第三象限，由此能将点M 的直角坐标()
1-化成极坐标.
详解：
点M 的直角坐标()
1-，
∴2,tan
ρθ===
= θ在第三象限，
76
θπ
∴=
.
∴将点M 的直角坐标()
1-化成极坐标72,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选B.
点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧． 3．正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为（ ） A ．
12
B ．
32
C ．
33
D ．
63
【答案】C 【解析】 【分析】
作出相关图形，设正方体边长为1，求出11B C 与平面11A BC 所成角正弦值即为答案. 【详解】
如图所示，正方体1111ABCD
A B C D -中，直线AD 与11B C 平行，则直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值即为11B C 与平面11A BC 所成角正弦值.因为11A BC ∆为等边三角形，则1B 在平面11A BC 即为11A BC ∆的中心，则11B C O ∠为11B C 与平面11A BC 所成角.可设正方体边长为1，显然36
=
2=
33
BO ⨯，因此2163=1()=3B O -，则111
1103sin B B C O B C ∠==，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力.
4．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出A 、C 的距离是50m ，
45ACB ∠=，105CAB ∠=，则A 、B 两点间的距离为（ ）
A ．502m
B ．3m
C ．252m
D ．
252
2
m
【答案】A 【解析】 【分析】
利用三角形的内角和定理求出30B ∠=，再利用正弦定理即可求解. 【详解】
由三角形的内角和可得30B ∠=，
在ABC ∆中，由正弦定理可得
sin AC AB
B C =
∠∠，
所以()50sin 21sin 2
AC C AB m B
∠==
=∠， 故选：A 【点睛】
本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.
5．圆2
2
1:2410C x y x y ++++=与圆2
2
2:4410C x y x y +---=的公切线有几条（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数. 【详解】
圆()()2
2
1:124C x y +++=，圆心1C ()1,2-- ，12r =，
圆()()2
2
2:229C x y -+-= ,圆心2C ()
2,2，23r =，
圆心距125C C =
=
1212C C r r =+
∴两圆外切，有3条公切线.
故选C. 【点睛】
本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.
6．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（ ）
A ．90
B ．60
C ．45
D ．30
【答案】C 【解析】
试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．
所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45
故选C ．
考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角
【名师点睛】本题考查异面直线所成角，直线与平面所成的角，考查线面垂直，比较基础连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．
7．已知双曲线2212
x y m -=2，则m=
A ．4
B ．2
C 2
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据离心率公式计算． 【详解】 由题意2c m =+，∴2
2c m e a m
+=
==2m =． 故选B ． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定,a b ．
8．已知函数()22x
f x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,R
g x mx m =+∈，若对于任意的[]
11,1x ∈-，
总存在[]
01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．][()
22,11,e e -∞-⋃-+∞ B ．22
1,1e e ⎡⎤--⎣⎦ C ．][()
22,11,e e ---∞-⋃-+∞ D ．221,1e e --⎡⎤--⎣⎦
【答案】A 【解析】，
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数.
，
，又
，则函数
在区间上的值域为
.
当
时，函数
在区间
上的值域为
.
依题意有，则有，得.
当时，函数在区间上的值域为，不符合题意.
当
时，函数
在区间
上的值域为
.
依题意有，则有，得.
综合有实数的取值范围为.选A.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
9．若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A ．223+ B ．23C ．4 D ．12
【答案】B 【解析】 【分析】
将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式. 【详解】
因为2
2
2
2cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=， 故选：B. 【点睛】
本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.
10．独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0. 1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（ ）
A ．在100个男性中约有90人喜爱喝酒
B ．若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%
C ．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10%
D ．认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90% 【答案】D 【解析】 【分析】
根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率 【详解】
独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A ，B 错误.由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%，故C 错误，D 正确.选D. 【点睛】
本题考查独立性检验的含义，考查基本分析判断能力，属基础题. 11．已知函数2log ,0
()22,0
x
x x f x x ->⎧=⎨
+≤⎩，则()4f x ≥的解集为（） A ．(,1][2,)-∞-+∞ B ．[1,0][2,)-+∞
C ．(,1][16,)
-∞-⋃+∞
D ．[1,0][16,)-⋃+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据分段函数的表达式，讨论当0x >和0x ≤时，不等式的解，从而得到答案。

【详解】 因为2log ,0()22,0x
x x f x x ->⎧=⎨
+≤⎩，由()4f x ≥，得：2
0log 4x x >⎧⎨≥⎩① 或0
224x x -≤⎧⎨+≥⎩②； 解①得;16x ≥；解②得：1x ≤- ；
所以()4f x ≥的解集为(,1][16,)-∞-⋃+∞； 故答案选C 【点睛】
本题考查指数不等式与对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

12．若113
232,3,log 2a b c ===,则下列结论正确的是 ( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
先用1作为分段点，找到小于1和大于1的数.然后利用n 次方的方法比较大小. 【详解】
易得11
003
2
33
221,331,log 2log 31a b c =>==>==<=，而6
611
3232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故
1c a b <<<，所以本小题选C.
【点睛】
本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13．已知复数z 满足()1213i z i +=-（i 是虚数单位），则z =______．
【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简z ，进而求得z . 【详解】
依题意()()()()13i 12i 13i 55i
1i 12i 12i 12i 5
z -----=
===--++-，故z ==
. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.
14．某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示：
现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在D 高中中抽取的学生人数为_______． 【答案】24 【解析】
【分析】
计算出D 高中人数占总人数的比例，乘以144得到在D 高中抽取的学生人数. 【详解】
应在D 高中抽取的学生人数为600
1442480012001000600
⨯=+++．
【点睛】
本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题. 15．若()(),22a R i a i R ∈-+∈，则a =____ 【答案】4 【解析】 【分析】
去括号化简，令虚部为0，可得答案. 【详解】
(2)(2)22(4)i a i a a i R -+=++-∈
∴-==40,4a a ，故答案为4.
【点睛】
本题主要考查了复数的乘法运算以及复数z a bi =+为实数的等价条件. 16．已知函数()sin cos x f x x x =
-，23,34x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的最小值是__________
【答案】432
π--
【解析】 【分析】
计算导数，然后构造函数()cos sin h x x x x =+，利用导数研究该函数的单调性进而判断原函数的单调性，可得结果. 【详解】
由题可知：'
2
cos si ()cos co n s f x x x
x
x x =
-+ 令()cos sin h x x x x =+，
则()'
sin sin cos cos h x x x x x x x =-++=
由23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以cos 0x <
所以()'
0h x <，则()h x 在23,34x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦递减 所以()min 3333cos sin 4444h x h π
πππ⎛⎫==+
⎪
⎝⎭
()min 23104h x π⎛⎫
=
-> ⎪⎝⎭
，又cos 0x < 则'
2cos sin ()cos 0cos f x x x x x
x
=
-+>
所以函数()f x 在23,34x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
递增 所以min 2223()sin 233cos 3
f x f π
πππ
⎛⎫==- ⎪
⎝⎭ 所以min 23433()132
f x π
π=-=--- 故答案为：43
32
π--
【点睛】
本题考查函数在区间的最值，难点在于构造函数二次求导，注意细节，需要通过判断函数在区间的单调情况才能代值计算，考查对问题的分析能力，属中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求：
（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；
（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率． 【答案】（１）0.1．（２）0.2． 【解析】 【分析】 【详解】
（１）P 1＝0.6（1－0.7）＋（1－0.6）0.7＝0.1． （２）P 2＝［
0.6（1－0.6）］·［
（0.7）2（1－0.7）0］＝0.2．
18．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕ
ϕ
=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l
的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭:3
OM π
θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2 【解析】 【分析】
（1）首先利用2
2
1cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{
x cos y sin ϕ
ϕ
=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普
通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．
【详解】
（1）圆C 的普通方程为()2
211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（2）设()11,ρθP ，则由2{3
cos ρθ
πθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫
⎪⎝⎭
；
设()22Q ,ρθ
，则由
2sin 3{
3
πρθπ
θ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭=
解得23ρ=，23
π
θ=
，得3,
3Q π⎛⎫
⎪⎝⎭
； 所以Q 2P = 【点睛】
本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.
19．在数列{}n a 中，11a =，()1
121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．
(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．
【答案】 (1) 21(1)n n n a n c c -=-+()n *
∈N (2)见解析
【解析】
试题分析：（1）(
)
2
10
1111a c c ==-+，(
)
2
2
221a c c =-+，(
)
2
32
331a c c =-+
可归纳猜测()211n n n a n c c -=-+；（2）根据数学归纳法证明原理，01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立．02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c
-=-+
只需证明当1n k =+时，()21111k k k a k c c ++⎡⎤=+-+⎣⎦即可.
.
试题解析：(1) 由11a =，及()1121n n n a ca c n ++=++ ()
*n N ∈ 得()222
21321a ca c c c =+⋅=-+，
()332221a ca c =+⨯+= ()()22321221c c c c ⎡⎤-++⨯+⎣⎦ ()23231c c =-+ 于是猜测: ()211n n n a n c c -=-+ ()*n N ∈
(2)下面用数学归纳法予以证明:
01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立．
02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+
那么，当1n k =+时，
由()1121k k k a ca c k ++=++ ()211k k c k c c -⎡⎤=-+⎣⎦
()121k c k +++ ()
212k k k k c c +=++ ()2111k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦显然结论成立． 由01、02知，对任何*n N ∈都有()211n n n a n c c
-=-+ ()*n N ∈
20．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为： {
x cos y sin θθ==（θ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；
（2）将曲线2C 经过伸缩变换'{
'2x y y ==后得到曲线3C ，若M ， N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求MN 的最小值.
【答案】 (1) 43240x y +-= 221x y +=【解析】
【分析】
【详解】
（1）∵1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ
=+，∴4cos 3sin 24ρθρθ+=，整理得43240x y +-=，
∴1C 的直角坐标方程为43240x y +-=.
曲线2C ：x cos y sin θθ
=⎧⎨=⎩，∴221x y +=，故2C 的普通方程为221x y +=. （2）将曲线2C
经过伸缩变换''2x y y
⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线3C 的方程为22''184x y +=，则曲线3C
的参数方程为2x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.
设()
,2N sin αα，则点N 到曲线1C
的距离为d =
=
()
245αϕ-+=
tan 3ϕ⎛= ⎝⎭
.
当()sin 1αϕ+=时，d
有最小值245-，所以MN
的最小值为245
-. 21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f .
(1)求a 的值；
(2)求()f x 在区间30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【答案】（1）2a =；（2）2
【解析】
【分析】
（1）直接由(1)=2f 求得a 的值；
（2）由对数的真数大于0求得()f x 的定义域，判定()f x 在(1,3)-上的增减性，求出()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最值，即得值域．
【详解】
解：(1)∵(1)=2f ，
∴(1)log 2log 2log 42a a a f =+==，
∴2a =； (2)由1030
x x +>⎧⎨->⎩得(1,3)x ∈-， ∴函数()f x 的定义域为(1,3)-，
22222()log (1)log (3)log (1)(3)]log [[(1)4]f x x x x x x =++-=+---+=，
∴当(0,1)x ∈时，()f x 是增函数；当3(1,)2x ∈时，()f x 是减函数，
∴函数()f x 在30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值是2(1)log 42f ==． 【点睛】
本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．
22．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
【答案】（1）,55
； （2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【解析】
【分析】
（1）从题中所给的22⨯列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；
（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【详解】
（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为1404505
P =
=, 50名女顾客对商场满意的有30人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为
2303 505
P==,
（2）由列联表可知
2
2
100(40203010)100
4.762 3.841
7030505021
K
⨯-⨯
==≈>
⨯⨯⨯
，
所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【点睛】
该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算2
K的值，独立性检验，属于简单题目.。