人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷含答案解析(16)

人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）
一、选择题（共10题）
1.“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒
来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则与故事情节相吻合的图象是( )
A．B．
C．D．
2.若函数f(x)在[−1,2]上是单调递减函数，则下列关系成立的是( )
A．f(−1)<f(1)B．f(−1)>f(1)
C．f(0)<f(2)D．f(0)>f(3)
3.下列函数中，既是偶函数又在(0,3)上是单调递减的函数是( )
A．y=−x2+1B．y=x3C．y=∣x∣+1D．y=√x
4.已知函数g(x)=f(2x)−x2为奇函数，且f(2)=1，则f(−2)=( )
A．−2B．−1C．1D．2
5.下列图象中不能作为函数图象的是( )
A．B．
C．D．
6.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义域为[a−1,2a]的偶函数，则a+b的值为( )
C．1D．−1 A．0B．1
3
7.函数f(x)=x+√x，x∈[0,4]的值域为( )
A．[0,3]B．[1,4]C．[0,6]D．[0,4]
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+3)=f(x−1)，若当x∈[−2,0]时，f(x)= 3−x+1，则f(2021)等于( )
A．6B．4C．2D．1
9.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行
驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
A．
B．
C．
D．
10.若f(x)=1−x
，则f(0)=( )
1+x
C．0D．−1 A．1B．1
2
二、填空题（共6题）
11.用区间表示下列集合：
（1）{x∣x≥1}=；
≥0}=；
（2）{x∣∣x−2
x+1
（3）{x∣x=1或2≤x≤8}=；
（4）{x∣x<−4或−1<x≤2}=．
12. 如果某人 x 秒内骑车行进了 1 千米，骑车的速度为 y 千米/秒，那么 y = ．
13. 若 (a −3)−3
5<(1+2a )−3
5，则实数 a 的取值范围为 ．
14. 在实数的原有运算中，我们定义新运算“∗”如下：
当 a ≥b 时，a ∗b =a ； 当 a <b 时，a ∗b =b 2．
设函数 f (x )=(−2∗x )−(2∗x )，x ∈(−2,2]，则函数 f (x ) 的值域为 ．
15. 函数 y =x 2+4x +3 的递增区间是 ，递减区间是 ．
16. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情
况．加油时间
加油量(升)加油时的累计里程(千米)
2016年5月1日
12350002016年5月15日48
35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始
累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 升．
三、解答题（共6题）
17. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排
气扇恢复正常．排气 4 min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为 64 μL/L ，继续排气 4 min ，又测得浓度为 32 μL/L ，经检测知，该地下车库一氧化碳浓度 y (μL/L ) 与排气时间 t (min ) 存在函数关系：y =c (12)
mt
（c ，m 为常数）．
(1) 求 c ，m 的值；
(2) 若地下车库中一氧化碳浓度不高于 0.5 μL/L 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中
的一氧化碳含量才能达到正常状态？
18. 设 a 是实数，f (x )=a −
22x +1
(x ∈R )，
(1) 试证明对于任意 a ，f (x ) 为增函数； (2) 试确定 a 值，使 f (x ) 为奇函数．
19. 已知幂函数 y =x m−2(m ∈N ) 的图象与 x 轴、 y 轴都无交点，且关于 y 轴对称，求 m 的值，
并画出函数的图象．
20.请把相应的幂函数图象代号填入表格．
① y=x 2
3；② y=x−2；③ y=x
1
2；④ y=x−1；
⑤ y=x 1
3；⑥ y=x
4
3；⑦ y=x−
1
2；⑧ y=
x53．函数代号①②③④⑤⑥⑦⑧图象代号
21.设f(x)是定义在(−∞,+∞)上的奇函数，且f(x+2)=−f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x．
(1) 求f(x)的值．
(2) 当−4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图象的面积．
(3) 写出函数f(x)在(−∞,+∞)上的单调区间．
22.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B
地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，将汽车离开A地的距离f(x)表示为时间x（小时）的函数表达式．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】B
【解析】A表示兔子和乌龟同时到达，不合题意；
C表示兔子睡觉后没有追乌龟，不合题意；
D表示兔子先到，不合题意；
只有B符合题意．
【知识点】函数的表示方法
2. 【答案】B
【知识点】函数的单调性
3. 【答案】A
【解析】A. y=−x2+1在(0,3)上为减函数且为偶函数；
B. y=x3为奇函数，不符合题意；
C. y=∣x∣+1在(0,3)上为增函数，不符合题意；
D. y=√x为非奇非偶函数，不符合题意．
【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性
4. 【答案】C
【解析】因为g(x)为奇函数且f(2)=1，
所以g(−1)=−g(1)，
所以f(−2)−1=−f(2)+1=−1+1=0，
所以f(−2)=1．
【知识点】函数的奇偶性
5. 【答案】B
【解析】B项中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．
【知识点】函数的相关概念
6. 【答案】B
【解析】函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义域为[a−1,2a]的偶函数，故a−1+2a=0，a=1
．
3
．
函数是偶函数，故奇次项系数为0，即b=0，此时a+b=1
3
【知识点】函数的奇偶性
7. 【答案】C
【知识点】函数的值域的概念与求法
8. 【答案】B
【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、抽象函数
9. 【答案】C
【解析】本题考查函数的应用以及函数图象的识别．开始时匀速行驶，此时对应的图象为直线，函数的图象递减．途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离不变，最后因赶时间加速行驶，此时对应图象为向外凸出的曲线，函数图象递减至0，综上选C．
【知识点】函数的表示方法
10. 【答案】A
【解析】若f(x)=1−x
1+x ，则f(0)=1−0
1+0
=1．
【知识点】函数的相关概念
二、填空题（共6题）
11. 【答案】[1,+∞)；(−∞,−1)∪[2,+∞)；{1}∪[2,8]；(−∞,−4)∪(−1,2]
【解析】（1）{x∣x≥1}=[1,+∞)．
（2）{x∣∣x−2
x+1
≥0}={x∣x<−1或x≥2}=(−∞,−1)∪[2,+∞)．
（3）{x∣x=1或2≤x≤8}={1}∪[2,8]．
（4）{x∣x<−4或−1<x≤2}=(−∞,−4)∪(−1,2]．
【知识点】函数的相关概念
12. 【答案】x−1
【知识点】函数模型的综合应用
13. 【答案】(−∞,−4)∪(−1
2
,3)
【知识点】幂函数及其性质
14. 【答案】[−2,2]
【解析】由题意知f(x)=x2−2，因为x∈(−2,2]，所以x2∈[0,4]，所以f(x)∈[−2,2]．【知识点】函数的值域的概念与求法
15. 【答案】[−2,+∞)；(−∞,−2]
【知识点】函数的单调性
16. 【答案】8
【解析】因为每次都把油箱加满，第二次加了 48 升油，说明这段时间总耗油量为 48 升，而行驶的路程为 35600−35000=600（千米），故每 100 千米平均耗油量为 48÷6=8（升）． 【知识点】函数模型的综合应用
三、解答题（共6题） 17. 【答案】
(1) 由题意，可得方程组 {64=c (12)4m
,32=c (12)8m
,
解得 {
c =128,
m =14
.
(2) 由（1）知 y =128×(1
2)14
t ．由题意可得 128×(1
2)14
t ≤0.5，即 (1
2)14
t ≤(12)8
， 1
4t ≥8，
解得 t ≥32．
所以至少排气 32 min ，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态． 【知识点】函数模型的综合应用
18. 【答案】
(1) 设 x 1,x 2∈R 且 x 1<x 2，则
f (x 1)−f (x 2)=(a −
22x 1+1
)−(a −2
2x 2+1)
=2
2x 2+1−
2
2x 1+1
=
2(2x 1−2x 2)
(2x 1+1)(2x 2+1)
.由于指数函数 y =
2x 在 R 上是增函数，所以 2x 1<2x 2，即 2x 1−2x 2<0．
又 2x >0，得 2x 1+1>0，2x 2+1>0，所以 f (x 1)−f (x 2)<0，即 f (x 1)<f (x 2)，故 f (x ) 为增函数．
(2) 若 f (x ) 为奇函数，则 f (−x )=−f (x ), 即a −
22−x +1
=−(a −
2
2x +1
).变形得：2a =
2⋅2x
(2−x +1)⋅2x
+
22x +1
=
2(2x +1)2x +1
,解得 a =1．
所以当 a =1 时，f (x ) 为奇函数． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性
19. 【答案】因为幂函数 y =x m−2 的图象与 x 轴、 y 轴都无交点，
所以 m −2≤0，即 m ≤2． 又 m ∈N ， 所以 m =0,1,2．
因为幂函数 y =x m−2 的图象关于 y 轴对称， 所以 m =0 或 m =2．
当 m =0 时，幂函数为 y =x −2，图象如图①所示；
当 m =2 时，幂函数为 y =x 0=1(x ≠0)，图象如图②所示． 【知识点】幂函数及其性质
20. 【答案】依次是 E ，C ，A ，G ，B ，D ，H ，F ．
【知识点】幂函数及其性质
21. 【答案】
(1) 由 f (x +2)=−f (x )，
得 f (x +4)=f [(x +2)+2]=−f (x +2)=f (x )， 所以 f (x ) 是周期为 4 的周期函数，
所以 f (π)=f (π−4)=−f (4−π)=−(4−π)=π−4． (2) 由 f (x ) 是奇函数且 f (x +2)=−f (x )， 得 f [(x −1)+2]=−f (x −1)=f [−(x −1)]， 即 f (1+x )=f (1−x )，
则函数 f (x ) 的图象关于直线 x =1 对称．
又当 0≤x ≤1 时，f (x )=x ，且 f (x ) 的图象关于原点成中心对称， f (x ) 的周期为 4，
所以 f (x ) 在区间 [−4,4] 上的图象如图所示．
当 −4≤x ≤4 时，f (x ) 的图象与 x 轴围成的图形的面积 S =4S △OAB =4×(1
2×2×1)=4． (3) 函数 f (x ) 的单调递增区间为 [4k −1,4k +1]（k ∈Z ）， 单调递减区间为 [4k +1,4k +3]（k ∈Z ）．
【知识点】函数的周期性、函数的单调性、函数的对称性、函数的奇偶性
22. 【答案】f (x )={
60x,0≤x ≤5
2
150,52
<x ≤7
2325−50x,72<x ≤132
． 【知识点】建立函数表达式模型。