2021年中考数学复习专题8 最值与定值问题(精讲练习)

专题8 最值与定值问题
一、选择题
1．(2020·南通)如图，在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE ＋BF 的最大值为(A )
A ． 6
B ．2 2
C ．2 3
D ．3 2
【解析】如图，过点C 作CK ⊥l 于点K ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，在Rt △AHB 中，∵∠ABC ＝60°，AB ＝2，∴BH ＝1，AH ＝ 3 ，在Rt △AHC 中，∠ACB ＝45°，∴AC ＝AH 2＋CH 2 ＝（3）2＋（3）2 ＝ 6 ，可证△BFD ≌△CKD(AAS )，∴BF ＝CK ，延长AE ，过点C 作CN ⊥AE 于点N ，可得AE ＋BF ＝AE ＋CK ＝AE ＋EN ＝AN ，在Rt △ACN 中，AN ＜AC ，当直线l ⊥AC 时，AE ＋BF 最大值为 6 .
2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是( B )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】如图，MN 最小值为OP －OF ＝83 －1＝53
；当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值＝103 ＋1＝133
，∴MN 长的最大值与最小值的和是6.
3．(2020·潍坊)如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝4，以点O 为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C ，过点C 作CD ⊥OB 交AB 于点D ，点P 是边OA 上的动点．当PC ＋PD 最小时，OP 的长为(B )
A ．12
B ．34
C ．1
D ．32
【解析】如图，延长CO 交⊙O 于点E ，连接ED ，交AO 于点P ，此时PC ＋PD 的值最小．∵CD ⊥OB ，∴∠DCB ＝90°，又∠AOB ＝90°，∴∠DCB ＝∠AOB ，∴CD ∥AO ，∴BC BO ＝CD AO ，∵OC ＝2，OB ＝4，∴BC ＝2，∴24 ＝CD 3 ，解得CD ＝32 ；∵CD ∥AO ，∴EO EC
＝PO DC ，解得PO ＝34 . 二、填空题
4．(2020·宜宾)如图，四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，CB ⊥AB ，AD ＝3，AB ＝5，BC ＝2，P 是边AB 上的动点，则PC ＋PD 的最小值是__5 2 __．
（第4题图） （第5题图）
5．(2020·东营)如图，在Rt △AOB 中，OB ＝2 3 ，∠A ＝30°，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ(其中点Q 为切点)，则线段PQ 长度的最小值为__2 2 __． 【解析】连接OP ，OQ ，作OP′⊥AB 于P′，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，∴PQ ＝OP 2－OQ 2 ＝OP 2－1 ，
当OP 最小时，线段PQ 的长度最小，当OP ⊥AB 时，OP 最小，在Rt △AOB 中，∠A ＝30°，∴OA ＝OB tan A ＝6，在Rt △AOP ′中，∠A ＝30°，∴OP ′＝12
OA ＝3，∴线段PQ 长度的最小值＝32－1 ＝2 2 .
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝4 5 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值为__8__．
【解析】过点C 作CG ⊥BA 于点G ，作EH ⊥AB 于点H ，作AM ⊥BC 于点M.∵AB ＝
AC ＝5，BC ＝4 5 ，∴BM ＝CM ＝2 5 ，易证△AMB ∽△CGB ，∴BM GB ＝AB CB ，即25GB
＝5
45 ，∴GB ＝8，设BD ＝x ，则DG ＝8－x ，易证△EDH ≌△DCG(AAS )，∴EH ＝DG ＝8－
x ，∴S △BDE ＝12 BD ·EH ＝12 x(8－x)＝－12
(x －4)2＋8，当x ＝4时，△BDE 面积的最大值为8.
三、解答题
7．(2020·南京)如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A ，B 两个
城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
(1)如图②，作出点A关于l的对称点A′，线段A′B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.请完成这个证明．
(2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由).
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
证明：(1)如图②，连接A′C′，∵点A，点A′关于l对称，点C在l上，∴CA＝CA′，∴AC＋BC＝A′C＋BC＝A′B，同理可得AC′＋C′B＝A′C′＋BC′，∵A′B＜A′C′＋C′B，∴AC＋BC＜AC′＋C′B；
(2)如图③，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB(其中点D是正方形的顶点)；
如图④，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD＋DE＋EB(其中CD，BE
都与圆相切).
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但A到EF的距离AH 始终保持与AB长相等，问在E，F移动过程中：
(1)∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；
(2)△ECF的周长是否有变化？请说明理由．
解：(1)∠EAF的大小没有变化．理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝90°，又
∵AH ⊥EF ，∴∠AHE ＝90°，∵AE ＝AE ，∴Rt △BAE ≌Rt △HAE(HL )，∴∠BAE ＝∠HAE ，
同理，△HAF ≌△DAF ，∴∠HAF ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝∠EAH ＋∠FAH ＝12 ∠BAH ＋12
∠HAD ＝12 (∠BAH ＋∠HAD)＝12
∠BAD ，又∵∠BAD ＝90°，∴∠EAF ＝45°，∴∠EAF 的大小没有变化；
(2)△ECF 的周长没有变化．理由如下：∵由(1)知，Rt △BAE ≌Rt △HAE ，△HAF ≌△DAF ，∴BE ＝HE ，HF ＝DF ，∴C △EFC ＝EF ＋EC ＋FC ＝EB ＋DF ＋EC ＋FC ＝2BC ，∴△ECF 的周长没有变化．
9．(2020·连云港)如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝m x
(x ＞0)的图象经过点A(4，32
)，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点． (1)m ＝________，点C 的坐标为________；
(2)若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴，交反比例函数图象于点E ，求△ODE 面积的最大值．
解：(1)6，(2，0)；
(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(4，32
)，C(2，0)代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝32，2k ＋b ＝0，
解得⎩⎨⎧k ＝34，b ＝－32，
∴直线AB 的解析式为y ＝34 x －32 ；∵点D 为线段AB 上的一个动点，∴设D(x ，34 x －32 )(0＜x ＜4)，∵DE ∥y 轴，∴E(x ，6x )，∴S △ODE ＝12 x ·(6x －34 x ＋32
)＝－38 x 2＋34 x ＋3＝－38 (x －1)2＋278 ，∴当x ＝1时，△ODE 的面积的最大值为278
.。