2018年高中数学必修四期末考试

2018年高中数学必修四模块考试
考试时间：2小时满分150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A. {α|−45∘≤α≤120∘}
B. {α|120∘≤α≤315∘}
C. {α|−45∘+k⋅360∘≤α≤120∘+k⋅360∘，k∈Z}
D. {α|120∘+k⋅360∘≤α≤315∘+k⋅360∘，k∈Z}
2.求值：sin(−11
6
π)=( )
A. −1
2B. 1
2
C. 3
2
D. −3
2
3.函数y=tan(x−π
4
)的定义域是( )
A. {x|x∈R，x≠π
4} B. {x|x∈R，x≠−π
4
}
C. {x|x∈R，x≠kπ+π
4，k∈Z} D. {x|x∈R，x≠kπ+3π
4
，k∈Z}
4.为了得到函数y=sin(2x−π
3
)的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )
A. 向左平移5π
12个单位 B. 向右平移5π
12
个单位
C. 向右平移π
6个单位 D. 向左平移π
6
个单位
5.在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是( )
A. y=sin x
B. y=cos x
C. y=tan x
D. y=tan2x
6.函数y=22sin(ωx+φ)(其中ω>0，0<φ<π)的图象的一部分如图所示，则
( )
A. ω=π
8，
φ=3π
4
B. ω=π
8
，
φ=π
4
C. ω=π
4
，
φ=π
2
D. ω=π
4
，
φ=3π
4
7.设函数f(x)=sin x+|sin x|，则f(x)为( )
A. 周期函数，最小正周期为π
B. 周期函数，最小正周期为π
2
C. 周期函数，最小正周期为2π
D. 非周期函数
8.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
9.比较sin1，sin2，sin3的大小为( )
A. sin1<sin2<sin3
B. sin2<sin3<sin1
C. sin3<sin1<sin2
D. sin3<sin2<sin1
10.已知角α的终边经过点P(−5，−12)，则sin(3π
2
+α)的值等于( )
A. −5
13B. −12
13
C. 5
13
D. 12
13
11.若角α∈(−π，−π
2)，则1+cosα
1−cosα
−1−cosα
1+cosα
=( )
A. −2tanα
B. 2tanα
C. −2
tanαD. 2
tanα
12.要得到函数y=2sin x的图象，只需将函数y=2cos(2x−π
4
)的图象上所有的点( )
A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π
8
个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π
4
个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的1
2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π
4
个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的1
2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π
8
个单位长度
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.角α的终边在第三象限，那么α
3
的终边不可能在的象限是第___________象限．
14.已知π
2<α<π，且tanα=−4
3
，则sin(α+π
2
)=______ ．
15.若f(n)=tan nπ
3
，(n∈N∗)，则f(1)+f(2)+⋯+f(2017)=————
16.不等式tanα+3
3
>0的解集为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知函数y=3sin(1
2x−π
4
)
(1)求此函数的振幅、周期和初相；
(2)用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象.(先列表再作图)
18. 海南清水湾天然浴场，景色秀丽，海湾内水清浪小，滩平坡缓，砂质细软，自然条
件极为优越，是冲浪爱好者的好去处.已知海湾内海浪的高度y (米)是时间
(1)根据以上数据，求函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ，振幅A 及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？
19. 已知函数f (x )= 2cos(2x −π
4)，x ∈R ．
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f (x )在区间[−π8，π
2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．
20. 已知cos(π+α)=4
5，且tan α>0．
(1)由tan α的值； (2)求
2sin (π−α)+sin (π2−α)
cos (−α)+4cos (π
2
+α)
的值．
21.已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，向量AB→=2a→−b→，CD→=a→+3b→．
(1)若a→与b→的夹角为60∘，求|a→−b→|的值；
(2)若AB→⊥CD→，求向量a→与b→的夹角θ的值．
22.(本小题满分12分)已知是坐标原点，在中，点在边上，且满足
，点是的中点，设．
(1)用表示向量;
(2)若，求．
答案和解析
【答案】
1. C
2. B
3. D
4. B
5. C
6. B
7. C
8. B
9. C10. C11. C12. B
13. 四
14. −3
5
15. 3
16. (−π
6+kπ，π
2
+kπ)k∈Z
17. 解：(1)周期T=2π
ω=4π，(2分)；振幅A=3，初相是−π
4
.(4分)
(2)列表：
描点、连线，如图所示：
(12分)
18. 解：(1)∵T=12，∴ω=π
6
…(2分)
由t=0，y=1.5得A+b=1.5
由t=3，y=1.0得b=1.0，∴A=0.5…(5分)
∴y=1
2cosπ
6
t+1…(6分)
(2)由y≥1得cosπ
6
t≥0…(8分)
解得12k−3≤t≤12k+3，k∈Z…(10分)
又∵0≤t≤24，∴0≤t≤3，或9≤t≤15，或21≤t≤24…(12分)
答：一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午3：00.…(13分)
19. 解(1)因为f (x )= 2cos(2x −π
4)．
所以函数f (x )的最小正周期为T =
2π2
=π，
由单调区间−π+2kπ≤2x −π
4≤ 2kπ，得到−3π8
+kπ≤x ≤π
8+ kπ
故函数f (x )的单调递增区间为[−
3π8
+kπ ， π8
+ kπ]，k ∈Z ．
(2)因为f (x )= 2cos(2x −π
4)在区间[ −π
8，π
8]上为增区间， 在区间[π
8，π
2]上为减函数，又f ( −π
8)=0f (π
8)= 2，f (π
2)=−1 故函数f (x )在区间[−π
8，π
2]上的最大值为 2，此时x =π
8： 最小值为−1，此时x =π2．
20. 解：(1)由cos(π+α)=45，得cos α=−4
5<0，
又tan α>0，则α为第三象限角，所以sin α=−35，∴tan α=sin αcos α=3
4． (2)
2sin (π−α)+sin (π2−α)
cos (−α)+4cos (π
2
+α)
=
2sin α+cos αcos α−4sin α
=
2tan α+11−4tan α
=
2×34
+1
1−4×
3
=−5
4
． 21. 解：(1)因为 a →
=2， b →
=1，
当a →
与b →
的夹角为60∘
时，a →
·b →
= a →
· b →
·cos60∘=1，
所以 a →
−b → 2
=a →
2−2a →
·b →
+b →
2 =4−2×1+1=3． 即 a →
−b →
= 3．
(2)因为AB →
=2a →−b →
，CD →
=a →
+3b →
，
由AB →⊥CD →得AB →·CD →
=0．
即 2a →
−b →
· a →
+3b →
=2a →
2+5a →
·b →
−3b →
2=0．
又因为 a →
=2， b →
=1，a →
与b →
的夹角为θ， 所以8+10cos θ−3=0，
即cosθ=−1
2
．
又因为0∘≤θ≤180∘，所以θ=120∘．
22. 解：
【解析】
1. 解：如图：
终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|−45∘+k⋅360∘≤α≤120∘+k⋅360∘，k∈Z}．
故选：C．
直接由图写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合得答案．
本题考查象限角和轴线角，考查了角的集合的表示法，是基础题．
2. 解：原式=sin(−2π+π
6)=sinπ
6
=1
2
．
故选B．
利用诱导公式直接化简，得到特殊角的三角函数值．
本题考查诱导公式的应用，牢记公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
3. 解：要使函数y=tan(x−π
4)有意义则x−π
4
≠kπ+π
2
∴x≠kπ+3π
4
(k∈Z)．
故函数y=tan(x−π
4)的定义域是{x|x≠kπ+3π
4
，k∈Z}
故选：D．
整理函数的解析式后，要使函数有意义，需x−π
4≠kπ+π
2
，进而确定x的范围，即函
数的定义域．
本题主要考查了正切的定义域.把握好正切函数y=tan x中x≠kπ+π
2
．
4. 解：由题意y=cos2x=sin(2x+π
2
)，
函数y=sin(2x+π
2)的图象经过向右平移5π
12
，得到函数y=sin[2(x−5π
12
)+π
2
]=
sin(2x−π
3
)的图象，
故选：B．
先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．
本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．
5. 解：y=sin x是奇函数，周期为2π，
y=cos x是偶函数，周期为2π，
y=tan x是奇函数，周期为π，
y=tan2x是奇函数，周期为π
2
．
故选：C．
根据三角函数的奇偶性和周期公式判断．
本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．
6. 解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为(6−2)×4=16，
又∵ω>0，
∴ω=2π
T =π
8
，
当x=2时取最大值，即22sin(2×π
8+φ)=22，可得：2×π
8
+φ=2kπ+π
2
，k∈Z，
∴φ=2kπ+π
4
，k∈Z，
∵0<φ<π，
∴φ=π
4
，
故选：B．
先利用图象中求得函数的周期，求得ω，最后根据x=2时取最大值，求得φ，即可得解．本题主要考查了由y=A sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．
7. 解：∵函数f(x)=sin x+|sin x|=2sin x，x∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z 0，x∈(2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z
，
∴f(x)是周期为2π的周期函数，
故选：C．
利用分段函数化简函数的解析式，再利用周期函数的定义、正弦函数的周期性，得出结论．
本题主要考查分段函数的应用，周期函数的定义，正弦函数的周期性，属于基础题．8. 解：由弧长公式可得6=3r，解得r=2．
∴扇形的面积S=1
2
×6×2=6．
故选B．
利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．
本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式，属于基础题．
9. 解：由sin2=sin(π−2)，
sin3=sin(π−3)，
∵0<π−3<1<π−2<π
2
，sin x在第一象限为增函数，
∴sin(π−3)<sin1<sin(π−2)．
故得sin3<sin1<sin2
故选C
利用诱导公式化简后，根据单调性即可判断．
本题考查了诱导公式和正弦函数的单调性的运用，比较基础．
10. 解：∵角α的终边经过点P(−5，−12)，则sin(3π
2+α)=−cosα=
25+144
=5
13
，
故选：C．
利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin(3π
2
+α)的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
11. 解：∵α∈(−π，−π
2
)，第三象限，
∴1+cosα
1−cosα<1−cosα
1+cosα
，
由1+cosα
1−cosα−1−cosα
1+cosα
=
1+2cos2α−1
1−(1−2sinα)
1−(1−2sin2α)
1+2cosα−1
=|cos
α
2
|
|sinα|
−|sin
α
2
|
|cosα|
=cos 2α
2
−sin2α
2
1 2×2|sinα
2
cosα
2
|
=2cosα
|sinα|
=2
|tanα|
=−2
tanα
．
故选C．
根据同角三角函数关系式和二倍角公式化简后即可．
本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．12. 解：要得到函数y=x=x−π
2
)的图象，只需将函数y=2cos(2x−
π
4
)的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍，
再向右平行移动π
4
个单位长度即可，
故选：B．
利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
13. 解：∵角α的终边在第三象限，∴π2kπ<α<3
2π2kπ，k∈Z，∴π
3
2k
3
π<α<
π22k
3
π，k∈Z，当k=3n(n∈Z)时，此时的终边落在第一象限，当k=3n1(n∈Z)时，
此时的终边落在第三象限，当k=3n2(n∈Z)时，此时的终边落在第四象限，综上所述，
α
3
的终边不可能落在第二象限故选：B.首先利用终边相同角的表示方法，写出α的表达式，
再写出α
3
的表达式，由此判断终边位置.本题考查了终边相同角的表示方法，象限角的概念.属于基础知识和基础题目．
14. 解：∵π
2<α<π，且tanα=−4
3
，
∴sin(α+π
2)=cosα=− 1
1+tan2α
=−3
5
．
故答案为：−3
5
．
利用诱导公式及同角的三角函数基本关系式的应用化简所求即可求值．
本题主要考查了诱导公式及同角的三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力，属于基础题．
15. 解：f(n)=tan nπ
3
，n∈N∗；
∴f(1)=tanπ
3=3，f(2)=tan2π
3
=−3，f(3)=tanπ=0，
f(4)=tan4π
3=3，f(5)=tan5π
3
=−3，f(6)=tan2π=0，…；
∴f(1)f(2)f(3)=f(4)f(5)f(6)=0，
∴f(1)f(2)f(3)…f(2017)
=2016
×0tan
2017π
=3．
故选：B．
根据f(n)的值出现的规律知，此函数的一个周期为3的函数，利用函数的周期性知
f(1)f(2)f(3)=0，由此计算f(1)f(2)f(3)…f(2017)的值.本题考查了利用函数周期性求函数值的应用问题，是基础题．
16. 解：∵tanα+3
3>0，即tanα>−3
3
∴当α∈(−π
2，π
2
)时，α∈(−π
6
，π
2
)
又∵正切函数y=tan x的周期T=π
∴tanα>−3
3的解集为(−π
6
+kπ，π
2
+kπ)k∈Z
即不等式tanα+3
3>0的解集为(−π
6
kπ，π
2
+kπ)k∈Z
故答案为：(−π
6+kπ，π
2
+kπ)k∈Z
根据正切函数的图象，求出当α∈(−π
2，π
2
)时α∈(−π
6
，π
2
)，再根据正切函数的周期性
即可得到不等式的解集．
本题给出关于α角的正切不等式，求角α的取值范围，着重考查了正切函数的图象与性质、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
17. (1)根据周期、振幅、初相的概念即可求出结果；(2)利用五点作图法即可做出图象本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点作图法，以及熟练掌握三角函数的有关概念和性质．
18. (1)利用周期确定ω，利用特殊点，确定A，b，从而可得函数解析式；
(2)由y≥1得cosπ
6
t≥0，即可得出结论．
本题考查三角函数解析式的确定，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
19. 对于(1)首先分析题目中三角函数的表达式f(x)=2cos(2x−π
4
)为标准型，则可以根据周期公式，递增区间直接求解即可．
对于(2)然后可以根据三角函数的性质解出函数的单调区间，再分别求出最大值最小值．此题主要考查三角函数周期性及其求法，其中涉及到函数的单调区间，最值问题.对于三角函数的性质非常重要同学们要理解并记忆．
20. (1)利用同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，求得tanα的值．
(2)利用诱导公式，求得要求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题．
21. 本题考查了向量的模，向量的数量积，向量垂直的判断与证明，向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积和向量的夹角．
(1)利用向量的数量积得a→·b→=1，再利用向量模的性质计算得结论;
(2)利用向量垂直的判断得AB→·CD→=0，再利用向量的加法、减法、数乘运算和向量的数量积得2a→2+5a→·b→−3b→2=0，最后利用向量的数量积和向量的夹角得结论．
22.
第11页，共11页。