2020年江苏省无锡市暨阳中学高二数学理下学期期末试题含解析

2020年江苏省无锡市暨阳中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（）
A．36 B．32 C．24 D．20
参考答案：
D
2. 已知，．则之间的大小关系是（）A．B．C．D．
参考答案：
A
3. 复数满足，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
4. 定义在R上的可导函数满足，且在(－∞,0]上，若
，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
函数f(x)满足,则函数为奇函数，
不妨令f(x)=2x，则奇函数同时满足在(－∞,0]上，
此时即：，
求解关于实数a的不等式可得实数a的取值范围是.
本题选择A选项. 5. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
D
6. 在△ABC中，已知，B=，C=，则等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
7. 椭圆的两焦点之间的距离
为（）
A． B．C． D．
参考答案：
C
8. 用反证法证明命题“若自然数a，b，c的积为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）
A、a，b，c中至多有一个偶数
B、a，b，c都是奇数
C、a，b，c至多有一个奇数
D、a，b，c都是偶数
参考答案：
B
【考点】反证法与放缩法【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，
即a，b，c都是奇数，
故选：B．
【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所
求．
9. 某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（ ）
A ．24
B ．22
C ．20
D ．12
参考答案：
D
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】因为体育课不能排在第一、第四节，所以先排体育课，可以排第三、四节，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A 33种排法，由此能求出不同排法的种数． 【解答】解：先排体育课，有2种排法， 再排语、数、外三门课，有A 33种排法， 按乘法原理，不同排法的种数为2×A 33
=12． 故选D ．
10. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值为
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B
理解循环结构的功能和会使用判断框判断走向是解题的关键． 由x←1，可知x 是奇数，应执行“是”，∴x←1+1；
由x←2，可知x 不是奇数，应执行“否”，∴x←2+2，∵4＜8，应执行“否”， x←4+1；由x←5，可知x 是奇数，应执行“是”，∴x←5+1；
由x←6，可知x 不是奇数，应执行“否”，∴x←6+2，∵8=8，应执行“否”，x←8+1, 由x←9，可知x 是奇数，应执行“是”，∴x←9+1；
由x←10，可知x 不是奇数，应执行“否”，∴x←10+2，∵12>8，应执行“是”， 输出x←12; 结束程序．
即：根据程序框图的功能x 的值依次为1,2,4,5,6,8,9,10,12,所以最后输出的是12.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数z ＝（i 为虚数单位），则z 对应的点在第 ▲ 象限． 参考答案： 四 略
12. 正三棱锥的底面边长为，、、、
分别是
、
、
、
的中
点，则四边形
的面积的取值范围是
参考答案：
13. 已知三棱锥，侧棱
两两互相垂直，且
，则以
为球心且
1为半径的球与三棱锥
重叠部分的体积是
▲ .
参考答案：
略
14. 某大学有本科生12000人，硕士研究生1000人，博士研究生200人．现用分层抽样的方法，从所有学生中抽取一个容量为n 的样本进行调查，如果应从博士研究生中抽取20人，那么n = 人． 参考答案： 1320
15. 设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用
表示这ｎ条直线交点的个数，则=
；
当ｎ＞４时，＝
（用含n 的数学表达式表
示）。

参考答案：
5 ；
略
16. 函数对于任意实数满足条件，若则______。

参考答案：
略 17.
(|x ﹣1|+|x ﹣3|)dx= ．
参考答案：
10
【考点】定积分．
【专题】计算题；导数的综合应用．
【分析】由和的积分等于积分的和展开，把被积函数去绝对值后进一步转化为四个定积分求解． 【解答】解：（|x ﹣1|+|x ﹣3|）dx =|x ﹣1|dx+|x ﹣3|dx =（1﹣x ）dx+
（x ﹣1）dx+
（3﹣x ）dx+
（x ﹣3）dx
=
=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了定积分，关键是把被积函数去绝对值后注意积分区间的变化，是基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2
，直线x=﹣a 与y=b 交
于点D ，且|BD|=3
，过点B 作直线l 交直线x=﹣a 于点M ，交椭圆于另一点P ．
（1）求椭圆的方程； （2）证明：
为定值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）利用已知条件列出，求解可得椭圆的方程．
（2）设M （﹣2，y 0），P （x 1，y 1），推出=（x 1，y 1），=（﹣2，y 0）．直线BM 的方程，代入椭
圆方程，由韦达定理得x 1，y 1，然后求解
为定值．
【解答】解：（1）由题可得，∴，
∴椭圆的方程为…
（2）A （﹣2，0），B （2，0），设M （﹣2，y 0），P （x 1，y 1）， 则
=（x 1，y 1），
=（﹣2，y 0）．
直线BM 的方程为：，即，…
代入椭圆方程x2+2y2=4，得，…
由韦达定理得，…
∴，∴，…
∴=﹣2x1+y0y1=﹣+==4．
即为定值．…．
19. 已知中心在原点的椭圆E的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0），抛物线C焦点为A．（1）求椭圆E与抛物线C的标准方程；
（2）若过（0，1）的直线 l 与抛物线C有且只有一个交点，求直线 l的方程．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系；抛物线的简单性质．
【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0），则a=2，c=，b2=a2﹣
c2．可得椭圆标准方程．由题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px（p＞0），则=2，解得p，可得抛物线的标准方程．
（2）①直线l的斜率不存在时，取x=0，与抛物线有且仅有一个交点（0，0）．
②直线l的方程为：y=kx+1，k=0满足直线 l 与抛物线C有且只有一个交点（，1）．k≠0时，联立，化为：k2x2+（2k﹣8）x+1=0，△=0，解得k，即可得出．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0），则a=2，c=，b2=a2﹣c2=1．∴椭圆标准方程为： =1．
由题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px（p＞0），则=2，解得p=4，抛物线的标准方程为：
y2=8x．
（2）①直线l的斜率不存在时，取x=0，与抛物线有且仅有一个交点（0，0）．
②直线l的方程为：y=kx+1，
k=0满足直线 l 与抛物线C有且只有一个交点（，1），此时直线l的方程为：y=1．
k≠0时，联立，化为：k2x2+（2k﹣8）x+1=0，△=（2k﹣8）2﹣4k2=0，解得k=2．直线l的方程为：y=2x+1．
综上可得直线l的方程为：x=0，y=1，或y=2x+1．
20. 已知数列满足：数列的前项和
求数列的前项和
参考答案：
解析：当时，
而得
又当时，而得
记①
②，
①－②得
故
21. (本小题满分12分)
某厂有一面旧墙长14米,现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126平方米的厂
房,工程条件是①建1米新墙费用为a元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙,用
所得材料建1米新墙的费用为元,经过讨论有两种方案: (1)利用旧墙的一段x米（x＜14）为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙费用最省?(1)、(2)两种方案哪个更好?
参考答案：
解析：设利用旧墙的一面矩形边长为x米,则矩形的另一面边长为米.
(1)利用旧墙的一段x米（x＜14）为矩形一面边长,
则修旧墙费用为元.……………………………2分
将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为元,其余建新墙的费用为
元,故总费用为:
……………………………4分
＝
＝……………………………5分
所以…………………………6分
当且仅当,即x＝12米时,元.
(2)若利用旧墙的一面为矩形边长x≥14,
则修旧墙的费用为元.
建新墙的费用为元,
故总费用为
＝( x≥14) ……………………8分令,
则),
因为14≤＜,所以－＜0, ·＞196,
从而＞0,所以.……………………10分
所以函数在[14,＋∞)上为增函数,故当x＝14时,
………………………12分
综合上述讨论知,采用方案(1),利用旧墙其中的12米为矩形的一面边长时,建墙总费用最省,为35a元. ………………………13分
22. 某学校的课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩，若单科成绩在85分以上，则该科成绩为优秀．
【考点】BO：独立性检验的应用．
【分析】（1）根据题意，完成2×2 列联表；
（2）根据表中数据，计算K2，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，完成2×2 列联表如下；
K2==≈8.802＞6.635，对照临界值知，有99%的把握认为学生的数学成绩与物理之间有关系．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．。