高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编附解析

【最新】高中数学《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.
【详解】
①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；
③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确；
④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确；
故选C.
【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A ．34
B ．78
C ．1516
D ．2324
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，
该几何体的体积为1111711132228
⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存
在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A ．7
B ．3
C ．1+3
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就
是最小值．
【详解】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，
Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o
2211111111132cos 13223()72
MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-⨯⨯-⋅⨯=
故选A ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
4．在以下命题中：
①三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r
共面； ②若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
共线； ③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，则P ，
A ，
B ，
C 四点共面 ④若a r ，b r 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠r r r ，则{},,a b c r r r 构成空间的一个基底 ⑤若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++r r r r r r 构成空间的另一个基底； 其中真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.
【详解】 ①由空间基底的定义知，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 共面，故①正确； ②由空间基底的定义知，若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基
底，则a r ，b r 共线，故②正确；
③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误； ④由c a b λμ=+r r r ，当1λμ+=时，向量c r 与向量a r ，b r 构成的平面共面，则{},,a b c r r r 不能构成空间的一个基底，故④错误； ⑤利用反证法：若{},,a b b c c a +++r r r r r r 不构成空间的一个基底，
设()()()1a b x b c x c a +=++-+r r r r r r ，整理得()1c xa x b =+-r r r ，即,,a b c r r r 共面，又因{},,a b c r r r 为空间的一个基底，所以{}
,,a b b c c a +++r r r r r r 能构成空间的一个基底，故⑤正确. 综上：①②⑤正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
5．若四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为（ ）
A ．2
B ．25+
C ．425+
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 根据四面体的三视图可知：一侧面垂直于底面，且底面是以该侧面与底面的交线为直角边的直角三角形，然后根据面面垂直的性质定理，得到与底面的另一直角边为交线的侧面为直角三角形求解.
【详解】
由四面体的三视图可知：平面PAB ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，
所以BC ⊥平面PAB ，所以BC PB ⊥，
所以,ABC PBC V V 是直角三角形，
如图所示：
所以直角三角形的面积和
为:11112252252222
ABC PBC S S AB BC PB BC +=
⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+=+V V 故选：B
【点睛】
本题主要考查三视图的应用以及线面垂直，面面垂直的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解
【详解】
如图：
作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M = ，16C M =，1'41C N =，得2
1122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒ 故选D
【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．238
B ．823+
C ．283
D ．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.
【详解】
几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为
311232+232832V =⨯⨯=, 故选A.
【点睛】
本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.
8．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
163π B ．643 C ．16643
π+ D ．1664π+ 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 221116644444333
V ππ+=⨯⨯+⨯⨯⨯=， 故选C.
9．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．
A ．130
B ．140
C ．150
D ．160
【答案】D
【解析】 设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线1
19,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，
在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =
-= 同理可得2211200102BD D B D D =-==，
因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，
所以2211()()1450822
AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何
体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
10．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，4AB BC BD ===，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点，则直线EF 与平面ACD 所成角的余弦值（ ）
A ．13 B
．33 C ．22 D ．6 【答案】C
【解析】
【分析】
因为AB ，BC ，BD 两两垂直，以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系，求出向量EF u u u r 与平面ACD 的法向量n r ，再根据cos ,||||EF n EF n EF n ⋅〈〉=u u u r r u u u r r u u u r r ，即可得出答案.
【详解】
因为在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系，
又因为4AB BC BD ===；
()4,0,0,(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4)A B D C ，又因为E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点 所以(0,0,2),(2,2,0)E F 故()2,2,2EF =-u u u r ，(4,4,0)AD =-u u u r ，(4,0,4)AC =-u u u r .
设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v v u u u v v
令1,x = 则1y z ==； 所以(1,1,1)n =r 1cos ,3
||||332EF n EF n EF n ⋅〈〉===⨯u u u r r u u u r r
u u u r r 设直线EF 与平面ACD 所成角为θ ，则sin θ= cos ,EF n 〈〉u u u r r
所以222cos 1sin 3
θθ=-=
故选：C
【点睛】
本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目.
11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线
③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．
【详解】
把平面展开图还原原几何体如图：
由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；
CN 与BE 平行，故②错误；
连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；
由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．
12．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为α，SE 与平面ABC D 所成的角为β，二面角S-AB-C 的平面角为γ，则（ ）
A ．αβγ≤≤
B ．βαγ≤≤
C ．a βγ≤≤
D ．γβα≤≤
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意，分别求出SE 与BC 所成的角α、SE 与平面ABC D 所成的角β、二面角S-AB-C 的平面角γ的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小.
【详解】
四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，
所以四棱锥为正四棱锥，
（1）过E 作//EF BC ，交CD 于F ，过底面中心O 作ON EF ⊥交EF 于N ，连接SN ，取AB 中点M ，连接OM ，如下图（1）所示：则tan SN SN NE OM α=
=；
（2）连接,OE 如下图（2）所示，则tan SO OE
β=
;
（3）连接OM ，则tan SO
OM
γ=
，如下图（3）所示：
因为,,SN SO OE OM ≥≥ 所以tan tan tan αγβ≥≥， 而,,αβγ均为锐角， 所以,αγβ≥≥
故选：C. 【点睛】
本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题.
13．已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）
A ．m l ⊥，m β⊂，l α⊥
B ．m l ⊥，l αβ=I ，m α⊂
C ．//m l ，m α⊥，l β⊥
D ．l α⊥，//m l ，//m β
【答案】D 【解析】 【分析】
A ，有可能出现α，β平行这种情况.
B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.
C ，根据面面平行的性质定理判断.
D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】
对于A ，m l ⊥，m β⊂，l α⊥，则//αβ或α，β相交，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，由因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
14．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
15．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为
1
4
圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）
A ．12
π+
B ．
136
π+ C ．12π+
D ．
1233
π+ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图知该几何体是三棱锥与1
4
圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】
解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与1
4
圆锥体的组合体， 如图所示；
则该组合体的体积为21111111212323436
V ππ=
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136
π
+． 故选B ．
【点睛】
本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．
16．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A B 的中点，则AD 与平面
11BCC B 所成角的正弦值为（ ）
A ．
5 B ．
25
C ．
1010
D ．
15 【答案】D 【解析】 【分析】
先找出直线AD 与平面11BCC B 所成角，然后在1B EF V 中，求出1sin EB F ∠，即可得到本题答案. 【详解】
如图，取AB 中点E ，作EF BC ⊥于F ，
连接11,B E B F ，则1EB F ∠即为AD 与平面11BCC B 所成角. 不妨设棱长为4，则1,2BF BE ==，
13,25EF B E ∴=1315
sin 25EB F ∴∠=
=
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.
17．在正四面体A BCD -中，P 是AB 的中点，Q 是直线BD 上的动点，则直线PQ 与
AC 所成角可能为（ ）
A ．
12
π
B ．
4
π C ．
512
π D ．
2
π 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与
AC 所成角，在利用余弦定理可得242MQ x x =+-，易知PQ MQ =，所以在等腰三
角形PMQ 中()2
cos 0442QPM x x x
∠=
≤≤+-，即可求出
33cos 123QPM ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣⎦
，，进而求出结果.
【详解】
取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，如下图所示：
设正四面体A BCD -的棱长为4，()04BQ x x =≤≤，，
在BMQ ∆中，2
2
2
2
2cos 6042MQ BM BQ BM BQ x x =+-⋅︒=+-， 在正四面体A BCD -中，易知PQ MQ =， 所以在等腰三角形PMQ 中，()2
cos 0442QPM x x x
∠=
≤≤+-，
所以33cos QPM ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦
，，所以异面直线PQ 与AC 所成角可能为512π
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.
18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断正确的是（ ）
①平面1PB D ⊥平面1ACD ②1//A P 平面1ACD
③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
④三棱锥1D APC -的体积不变 A ．①② B ．①②④
C ．③④
D ．①④
【答案】B 【解析】 【分析】
由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P 在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④． 【详解】
正方体中易证直线AC ⊥平面11BDD B ，从而有1AC B D ⊥，同理有11B D AD ^，证得
1B D ⊥平面1ACD ，由面面垂直判定定理得平面1PB D ⊥平面1ACD ，①正确；
正方体中11//A B CD ，11//BC AD ，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面
11A BC //平面1ACD ，而1A P ⊂平面11A BC ，从而得1//A P 平面1ACD ，②正确；
当P 是1BC 中点时，1A P 在平面11A B CD 内，正方体中仿照上面可证1AD ⊥平面
11A B CD ，从而11AD A P ⊥，1A P 与1AD 所成角为90︒．③错；
∵11D APC P AD C V V --=，由1//BC 平面1ACD ，知P 在线段1BC 上移动时，P 到平面1ACD 距离相等，因此1P AD C V -不变，④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
19．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A ．
152
π
B ．12π
C ．
112
π D ．
212
π
【答案】A 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体为由18的球体和1
4
的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可. 【详解】
由三视图可知，该几何体为由
18的球体和1
4的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11
+84
V V V =球圆锥，
因为31149=3=8832
V ππ⨯⨯球， 221111
=34344312
V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152
π
. 故选：A 【点睛】
本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
20．由两个
1
4
圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
π3
B ．
π2
C ．π
D ．2π
【答案】C
【解析】 【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。

【详解】
由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2，
则21
122
V ππ=
⋅⨯=， 故答案选C 。

【点睛】
本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。