高考复习文科数学课时试题(21)两角和与差的正弦、余弦、正切及答案.doc

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课时作业(二十一) [第21讲 两角和与差的正弦、余弦、正切]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身 1． 已知sin α＝23
，则cos(π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19 D.53
2.22
(cos75°＋sin75°)的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32
3．若(sin θ＋cos θ)2＝3x ＋3－x ，θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，则tan θ＝( ) A ．1 B.33 C. 3 D. 2
4． 已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan2x
的值为________． 能力提升
5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
6．tan A ＋1tan A
＝m ，则sin2A ＝( ) A.1m 2 B.1m C ．2m D.2m
7．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭
⎫x －π4是( ) A ．周期为2π的奇函数
B ．周期为2π的偶函数
C ．周期为π的奇函数
D ．周期为π的偶函数
8．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12
，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B.32 C.34
D ．1 9． 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35
，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.
10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 11．若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝35
，则tan 2x 等于________． 12．函数y ＝sin x 1＋cos x 在⎣⎡⎭
⎫π2，π上的最小值是________． 13．化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°的结果是________．
14．(10分) 已知函数f (x )＝2sin 13x －π6
，x ∈R .
(1)求f (0)的值；
(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65
，求sin(α＋β)的值．
15．(13分)在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为55，7210
. (1)求tan(α＋β)的值；
(2)求2α＋β的值．
难点突破
16．(12分)已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．
课时作业(二十一)
【基础热身】
1．B [解析] ∵sin α＝23，∴cos ()π－2α＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－19
. 2．C [解析] 原式＝cos75°·cos45°＋sin75°·sin45°＝
cos(75°－45°)＝cos30°＝32
. 3．A [解析] (sin θ＋cos θ)2＝⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π42＝2sin 2⎝⎛⎭
⎫θ＋π4≤2，而3x ＋3－x ≥2，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＋cos θ＝2，所以θ＝π4
，所以tan θ＝1.故选A. 4.49 [解析] 因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＝13，tan2x ＝2×131－19＝2389
＝34，即tan x tan2x ＝49. 【能力提升】
5．C [解析] ∵在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .
6．D [解析] 由tan A ＋1tan A ＝m ，得sin A cos A ＋cos A sin A
＝m ， ∴sin A cos A ＝1m ，∴sin2A ＝2sin A cos A ＝2m
. 7．C [解析] ∵f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭
⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭
⎫x －π4 ＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π2＝sin2x ， ∴T ＝π，且f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 8．B [解析] 将sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12两式平方后相加得cos(α－β)＝32
. 9．－5665 [解析] 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，由题易知cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513
，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665
. 10．－2π3
[解析] 根据已知tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝3，由于tan α，tan β均为负值，故－π<α＋β<0，所以α＋β＝－2π3. 11．4 [解析] 由sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－cos2x ⇒cos2x ＝－35，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝1－cos2x 1＋cos2x
＝4. 12．1 [解析] y ＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝tan x 2，x 2∈⎣⎡⎭⎫π4，π2， ∵y ＝tan x 2在⎣⎡⎭⎫π2，π上单调递增，∴x ＝π2
时，y min ＝1. 13.6[解析] 原式＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°
＝2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°
·2cos10° ＝⎣
⎡⎦⎤2sin50°＋2sin10°·cos (60°－10°)cos10°·2cos10° ＝22(sin50°cos10°＋sin10°cos50°)＝22sin60°＝ 6.
[点评] 对于给角求值问题，往往所给的角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路是：(1)利用和差公式变换，化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母，使之出现公约数进行约分求值．
14．[解答] (1)f (0)＝2sin ⎝⎛⎭
⎫－π6 ＝－2sin π6
＝－1. (2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6
＝2sin α， 65＝f (3β＋2π)＝2sin 13×(3β＋2π)－π6
＝ 2sin β＋π2
＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35
，又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，
sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，
故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365
. 15．[解答] (1)由已知得：cos α＝55，cos β＝7210
. ∵α，β为锐角，∴sin α＝255，sin β＝210
， ∴tan α＝2，tan β＝17. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋171－2×17＝3. (2)∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4
＝－43， ∴tan(2α＋β)＝tan2α＋tan β1－tan2αtan β＝－43＋171－⎝⎛⎭⎫－43×17
＝－1. ∵α，β为锐角，∴0<2α＋β<3π2，∴2α＋β＝3π4
. 【难点突破】
16．[解答] 方法一：由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0.
所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0，
即sin B (sin A －cos A )＝0.
因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，从而cos A ＝sin A .
由A ∈(0，π)知，A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4
.
由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＋cos2⎝⎛⎭
⎫3π4－B ＝0， 即sin B －sin2B ＝0.即sin B －2sin B cos B ＝0，
由此得cos B ＝12，B ＝π3.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12
. 方法二：由sin B ＋cos2C ＝0得
sin B ＝－cos2C ＝sin ⎝⎛⎭
⎫3π2－2C . 因为0<B ，C <π，所以B ＝3π2－2C 或B ＝2C －π2
. 即B ＋2C ＝3π2或2C －B ＝π2
. 由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0. 所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0.
即sin B (sin A －cos A )＝0.
因为sin B ≠0，所以cos A ＝sin A .
由A ∈(0，π)，知A ＝π4
. 从而B ＋C ＝34π，知B ＋2C ＝3π2
不合要求． 再由2C －B ＝12π，得B ＝π3，C ＝5π12
. 所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12
.。