《线性代数》行列式

的系数为-1.
37
线性代数( 慕课版)
第1章 行列式
第3讲 行列式的性质及其应用(1)
内容
01 行列式的性质
02 行列式性质的简单应用(1)
01
行列式的性质
性质1.1
行列式与其转置行列式的值相等, 即 D=D
把行列式的行与列互换后得到的行
转置行列式
列式, 称为转置行列式.
若D
a11
a12
中有一个逆序.
13
01
排列及其逆序数
逆序数
一个排列中所有逆序的总数成为这个排列的逆序数.
偶排列
逆序数为偶数的排列称为偶排列；
奇排列
逆序数为奇数的排列称为奇排列.
注
标准排列为偶排列.
结论
设p1, p2, ⋯, pn是1, 2, ⋯, n这n个自然数的一个排列，
n
若元素pi的逆序数是ti，则此排列的逆序数为 t ti .
线性代数（慕课版）
第1章 行列式
本章导学
第1章
行列式
行列式的概念及相关理论是线性代数课程的
主要内容之一, 同时也是研究线性代数其他内容
的重要工具.本章主要内容包括：
行列式的概念
行列式的性质
行列式的典型计算方法
克莱姆法则
2
内容
01
行列式的定义
02
行列式的计算
03
克莱姆法则
01
行列式的定义
二阶行列式
二阶、三阶行列式
02
三阶行列式
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12 a21a33 a13a22a31
对角线规则 实线联结的三个元素乘积之和减去虚线
联结的三个元素乘积之和.
， ，xn
，
D
D
D
a11
a21
a1, j 1
a2, j 1
b1
b2
a1, j 1
a2, j 1
a1n
a2 n
其中 D j
.
an1
an 1, j 1 bn 1
an 1, j 1
an 1,n
an , j 1
an , j 1
ann
bn
10
线性代数（慕课版）
第1章 行列式
第1讲 行列式的基本概念 (1)
1 0 3 1 1 1 3 1 0 1 0 1 2 1 0 3
1 0 0
0
0 0
0
1 0
0
1 0
1 0 0 8
7
28
03
n阶行列式
对角行列式
除对角线上元素可能不为零外, 其它元素皆为零
结论(1)
a11
a22
a11a22
ann
ann
29
03
n阶行列式
an 2
ann
即 D 1 a1 p1 a2 p2

anpn
其中每项是取自D中不同行和不同列的n个数的乘积,
p1 p2 … pn是1, 2,
逆序数.
…,
n的一个排列, τ是排列p1 p2 … pn 的
25
03
n阶行列式
注意
D 1 a1 p1 a2 p2

anpn
a11
上(下)三角法
02
降阶法
03
升阶法
04
拆分法
05
递推法
7
内容
01
行列式的定义
02
行列式的计算
03
克莱姆法则
03
克莱姆法则
克莱姆法则
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1 22 2
若方程组

an1 x1 an 2 x2
D
a11
a12
a1n
a21
结论(2)
a1n
a2,n 1
an1
(1)
n ( n 1)
2
a1n a2,n 1
an1
4阶及4阶以上行列式,
对角线法则不适用
n(n 1)
N (n, n 1, ,3, 2,1)
2
n(n 1)
为偶数；
当n=4k或n=4k+1时,
2
n(n 1)
为奇数.
当n=4k+2或n=4k+3时,
结论(4)
a11
a21 a22
an1
a11a22
an 2
ann
下三角形行列式
对角线上方的元素全为零
ann
结论(5)
a1n
an1
n ( n 1)
2
a2( n 1)
a2 n
an ( n 1)
ann N (n, n 1,
(1)
a1n a2( n 1)
an1
n(n 1)
,3, 2,1)
这一项的符号.
26
03
n阶行列式
例1
1
1
计算行列式 D
1
0
1
0
0
1
1
1
解 按行列式递归定义, 有 D
1
0
0
1
3
0
2
0
.
1
0
1
0
0
1
0
1
3
0
2
0
1
0
27
03
n阶行列式
1
按行列式递归定义, 有 D
1 0 2
1 0 1 0
1
0 3 1
0
1 0 0
0 1 0
1 1 0
1 0 0
1 0 1
2
32
03
n阶行列式
结论(6)
a11
a1( n 1)
a 21
a2( n 1)
a1n
(1)
n ( n 1)
2
a1n a2( n 1)
an1
an1
33
03
n阶行列式
例2 在6阶行列式中, a13a36a21a62a52a44的项前面应带
什么符号？
解 a13a36a21a62a52a44重新排序：a13a21a36a44a52a62
解（1） ( n, n 1, ,3,2,1) ( n 1) ( n 2) 3 2 1
n( n 1)

2
n( n 1)
2k (4k 1) 为偶数；
奇偶性： 当n=4k时，
2
n( n 1)
2k (4k 1) 为偶数；
当n=4k+1时，
2
16
内容
01 排列及其逆序数
02
二阶、三阶行列式
01
排列及其逆序数
全排列
将1, 2, ⋯ , n这n个不同的数排成一列，称为n阶全排列.
n个自然数1, 2, ⋯ , n排成一列共有 n!排法.
自然顺序
现约定这里所说的n个元素是指从1至n这n个自然数，
我们规定由小到大的排列顺序为自然顺序.
逆序
当某两个元素的先后次序与标准顺序不同时，就称排列
a21 a22
例3
计算下列二阶行列式：
2 1
（1） 1 3 = 2×3−1×(−1) = 7；
x 1
1
（2） x 2 x 2 x 1 = (x−1) (x2+x+1)−1·x2 = x3−x2−1；
1
log b a
（3） log b
=1×1 − logb a·loga b = 0.
1
a
20
a j3
a jn

即
a j1 a j 2
a j3
a jn
ai1
ai 2
ai 3
ain
an1 an 2
an 3
ann
an1 an 2
an 3
ann
推论 若行列式中有两行( 或两列) 对应元素相同, 则行
列式等于零.
41
01
行列式的性质
若行列式的某一行( 或列) 有公因子k, 则公因
性质1.3
子k可以提到行列式记号外面.
a1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2
ann
，
则D
T
a11
a21
an1
a12
a22
an 2
a1n
a2 n
ann
.
40
01
行列式的性质
性质1.2 互换行列式的两行( 列) , 行列式的值仅改变
符号.
a11 a12 a13
a1n
a11 a12 a13
a1n
ai1
ai 2
ai 3
ain
a j1 a j 2
行列式为零.
a11 a12 a13
a1n
ai1
ai 2
ai 3
ain
0
即
推论三
式为零.
kai1 kai 2
kai 3
kain
an1
an 3
ann
an 2
若行列式中某一行( 列) 元素全为零, 则行列
43
01
行列式的性质
i 1
14
01
排列及其逆序数
例1 求下列排列的逆序数：
（1）634521；（2）134782695.
解
= 12；
= 10.
15
01
排列及其逆序数
例2
求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.
（1）n, n-1, ⋯, 3, 2, 1；
（2）1, 3, 5, ⋯, 2n-1, 2, 4, 6, ⋯, 2n.
a21
a12
a22
a1n
a2 n
an1 an 2
ann
01 n 阶行列式是由n!项组成的, 结果是一个数.
02 定义式的右边每一项都是 n 个元素的乘积（称为一
个乘积项）, 这 n 个元素是由行列式的不同行、不同列
的元素构成的.
03 某一乘积项符号的确定：先把该项的 n个元素按行
标排成标准顺序, 然后由列标所成排列的逆序数来决定
2
30
03
n阶行列式
结论(3)
a11
a12
a1n
a22
a2 n
a11a22
ann
上三角形行列式
对角线下方的元素全为零
ann
N
(

1)
a11a22 ann ，
解 D中可能不为0的项只有
N
0
(

1)

(

1)
1
此项的符号为
所以 D a11a22 ann .
31
03
n阶行列式
N (316425) 2 0 3 1 0 6
故本项前面应带正号.
34
03
n阶行列式
证明：若行列式中有一行(或一列)元素全为0, 则
例3
行列式等于0.
解 不妨设行列式的第i行元素全为零,
即 ai1 ai 2
ain 0
则 D 1 a1 p1 a2 p2
a22
a2 n
an1
an 2
ann
a1n xn b1
a2 n xn b2
的系数行列式
ann xn bn
行列式的应用
0，则方程组有唯一解.
9
03
克莱姆法则
D
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2
ann
0，则方程组有唯一解.
Dn
D1
D2
x1 ，x2
注
对角线规则只适用于二阶和三阶行列式.
21
02
二阶、三阶行列式
三阶行列式
例4 计算下列三阶行列式：
1 2 3
（1） 3 1 2
2 3 1
= 1×1×1+3×3×3+2×2×2−2×1×3−3×2×1−1×3×2
= 18；
0 a 0
（2） b 0 c
0 d 0
= 0×0×0+0×b×d+0×a×c−0×0×0−b×a×0−0×d×c
个数大于n2-n个,
1

a1 p1 a2 p2
an pn 均为零, 故D =0.
36
03
n阶行列式
例5
解
x
1
设 f ( x)
2
1
x
x
3
1
1
2
x
2
0
3
，则x3的系数为____.
2
x
根据行列式的定义, a12, a21, a33, a44仅当四个元素相
乘时才能出现x3项, 而该项排列的逆序数为1, 故含x3项

1 a1 p1 a2 p2

an pn
0
an pn
0
35
03
n阶行列式
例4
如果n阶行列式中零元素的个数大于n2-n个, 那么
行列式的值为____.
解 根据行列式的定义 D 1 a1 p1 a2 p2

an pn ,
则非零元素的个数少于n2-(n2-n)=n个,行列式中零元素的
01
排列及其逆序数
n( n 1)
(2k 1)(4k 1) 为奇数；
当n=4k+2时，
2
n( n 1)
(2k 1)(4k 3) 为奇数.
当n=4k+3时，
2
因此，当n=4k或n=4k+1时，排列为偶排列；
当n=4k+2或n=4k+3时，排列为奇排列.
2n 1 , 2, 4, 6, ⋯, 2n)
行列式的定义
三阶行列式
递归定义
n阶行列式
对角线规则
对角行列式计算公式
三角形行列式计算公式
逆序数
排列
4
内容
01
行列式的定义
02
行列式的计算
03
克莱姆法则
02
行列式的计算
行列式的性质
转置行列式
交换两行(列)
提取公因子
行列式的性质
拆项性质
化零的性质
按某一行(列)展开
6
02
行列式的计算
典型计算方法
01
a11
a12
a13
a1n
a11
a12
a13
a1n
kai1 kai 2
kai 3
kain k ai1
ai 2
ai 3
ain
an1
an 3
ann
an1 an 2
an 3
ann
an 2
推论一
行列式的某一行( 或列) 所有元素的公因子可
以提到行列式的前面.
42
01
行列式的性质
推论二
行列式中如果有两行( 列) 元素成比例, 则此
= 0.
22
线性代数（慕课版）