2011年全国中考数学模拟汇编二 57命题与证明

一、选择题
1.（2011某某市进化一中模拟）下列命题中的真命题是( ).
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 中心对称图形都是轴对称图形
C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形
D. 等腰梯形是中心对称图形
【答案】C
2.（2011萧山区中考模拟）【原创】下列命题正确的有 ( )个
①400角为内角的两个等腰三角形必相似
②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为750
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1
⑤若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为等腰直角三角形。

A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【答案】A
3、(2011年天河区) 下列命题是假命题的是（）．
A．两直线平行，同旁内角互补 B．三角形的两边之和大于第三边
C．如果22
=，则a b
a b
a b
-<-
>，则22
=D．如果a b
考查内容：
答案：C
4.（2011年南沙区综合测试一)命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应边相等。

其中逆命题为真命题的有（※）个。

A．0B．1C．2D．3
答案:C
5. （2011年天河区综合练习）下列命题是假命题的是（ ）． A ．两直线平行，同旁内角互补 B ．三角形的两边之和大于第三边 C ．如果2
2
a b =，则a b =D ．如果a b >，则22a b -<- 答案:C 二填空题
1. （2010海珠区调研）命题：如果3a <，则2(3)3a a -=-. 则命题为命题.（填：“真”、“ 假”） 答案: 假
三、解答题
1. （2011萧山区中考模拟）【原创】（本小题满分6分）
能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。

【答案】解：不能填。

……………………………………1分 理由如下：
设所填的互不相同的4个数为a, b, c, d ；则有 ……………………………………3分
①－②得 2222c d d c -=-即22d c =
因为： c ≠ d ，只能是c = -d ④
同理可得 2
2
b c = 因为 c ≠b ,只能c = -b ⑤
比较④，⑤得b=d ,与已知b ≠d 矛盾，所以题设要求的填数法不存在。

…………2分
第17题
①
②
③
2. （2011萧山区中考模拟）【改编】 （本小题满分10分） 数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即 “以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关
系，即 “以形助数”。

如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，D 为垂足。

易证得两个结论：(1)AC ·BC = AB ·CD (2)AC2= AD ·AB
（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC 中（AC>BC ），∠ACB=900，CD ⊥AB ，D 为垂足， CM
平分∠ACB,且BC 、AC 是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD 、MD 的长。

（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a 、b 、c 、d 都是正数，满足a ：b=c ：d,且a 最大。

求证：a+d>b+c （提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c ，构造图1）
【答案】解：（1）显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8， 1分 又AC>BC ∴AC=8，BC=6 由勾股定理AB=10
△ACD ∽△ABC ，得AC2= AD ·AB ∴AD=6.4
-------------------------------2分
∵CM 平分∠ACB ∴AM ：MB=AC ：CB
解得，AM=740
--------------------------------- 1分 ∴MD=AD-AM=3524
-----------------------------1分
第23题
第23题图2
（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c
由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC -------------------------1分
又勾股定理，得AB2=AC2+BC2
∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式性质)
∴AB2+2AB·CD =（AC+BC）2----------------------1分
∴AB2+2AB·CD+CD2 >（AC+BC）2--------------------2分
∴(AB+CD) 2 >（AC+BC）2
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分
3．（某某市溧水县2011年中考一模）（7分）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”）．
已知：如图，____▲_____．
A 求证：____▲_____．
证明：
B C
第1题
答案：解：在△ABC中，∠B＝∠C．……………………………………………………1分
AB=AC．………………………………………………………………………2分
证明：（略）………………………………………………………………7分
4．（某某市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）(8分)已知以下基本事实：①
对顶角相等；②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④全等三角形的对应边、对应角分别相等．
(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有(填入序号即可)；
(2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”．
已知：如图，_________________________________． 求证：_________________________________． 证明：
答案：(1)①②；……………………2分
(2)a ∥b ，直线a 、b 被直线c 所截，∠1＝∠2．……………………4分 因为a ∥b ，所以∠1＝∠3．……………………6分 因为∠3＝∠2，所以∠1＝∠2．……………………8分
5、（2011某某区一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，CE 的延长
线与DA 的延长线相交于点F ． （1）求证：△BCE ≌△AFE ；
（2）连接AC 、FB ，则AC 与FB 的数量关系是，位置关系是．
考查内容: 命题与证明 答案：（1）证明：∵AD∥BC，
c
b
a
1
2
∴∠1 =∠F．…………………………… 1分 ∵点E 是AB 的中点，
∴BE=AE.……………………………… 2分 在△BCE 和△AFE 中， ∠1=∠F，
∠3=∠2， BE=AE ，
∴△BCE≌△AFE. ……………………………………………………… 3分 （2）相等， ……………………………………………………………………………… 4分 平行. ……………………………………………………………………………… 5分
6、(2011海淀一模)如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB 同侧，
DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， CO =DO ，A B ∠=∠.
求证：AE =BF .
考查内容:
答案：证明：在△COD 中,
∵CO =DO ,
∴∠ODC =∠OCD .…………………………….……………………………1分 ∵AC =BD , ∴AD =BC .
…………………………….……………………………2分
在△ADE 和△BCF 中,
A
C
D B
E
F
O
∵
,
,
,
A B
AD BC
EDA FCB ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ADE≌△BCF.
…………………………….……………………………4分∴AE=BF.
…………………………….……………………………5分7、(2011怀柔一模)（本题满分5分）
如图, 已知：BF=DE,∠1=2，∠3=∠4
求证：AE=CF．
证明：
考查内容：
答案：证明：∵BF=DE EF=EF
∴BF- EF =DE- EF
∴BE=DF ………………………1分
在△ABE和△CDF中
∵
12,
34, BE DF ∠=∠⎧
⎪
∠=∠⎨
⎪=
⎩
∴△ABE≌△CDF ……………………………………4分
∴AE=CF．…………………………………5分
4、(2011某某二模)（9分）已知，如图，EG∥AF.请你从①DE = DF ;②AB = AC③BE = CF中，选择两个作为已知条件，剩余一个作为结论，写出一个真命题（只需写出一种情况，）并加以证明.
已知：EC∥AF,,,
求证：.
证明
考查内容:
答案：已知: EG∥AF,DE=DF,AB=AC.
求证:BE=CF.…………………2分
证明:∵EG∥AF, ∴∠EGD=∠FCD, ∠EGB=∠ACB. ……………………………3分∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB. ∴∠B=∠EGB, ∴BE=EG. ……………………………5分在△EDG和△FDC中, ∠EGD=∠FCD,∠EDG=∠FDC, DE=DF,
∴△EDG≌△FDC ∴EG=CF ……………………………8分所以, BE==CF. ……………………………9分（其它证法参考以上给分）。