高中三角函数练习题附答案

高中三角函数练习题附答案
一、填空题
1．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上所有零点之和为___________.
2．如图，在ABC 中，1
cos 3
BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，
AD DC =，则AB 等于______.
3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______． 4．已知)
2,0F
为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于
,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且
△OFP 外接圆的面积为
23
π
，则椭圆C 的长轴长为___________. 5．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，
23AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．
6．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．
7．已知函数()23
3sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期为π；②函数12y f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
是偶函数；③函数()f x 关于点()026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，成中心对称；④函数()f x 在3,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的
序号）
8．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫
⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，那么(cos1)f =________.
9．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．
10．函数π
π5sin (1510)5
5y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横
坐标之和为___________.
二、单选题
11．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，2cos 12A A =，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
12．已知点1F ，2F 分别为椭圆()22
22:10x y
C a b a b
+=>>的左、右焦点，点M 在直线
:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）
A ．1
3
B ．1
2
C D
13．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()0f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）
A ．5571,2424⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦
14．已知02π
θ<<
，()()cos 1sin 1
10sin cos f m m m θθθθθ--⎛⎫=+++
> ⎪⎝⎭
，则使得()f θ有最大值时的m 的取值范围是（ ）
A ．1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．[]1,3
D ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
15．在ABC ∆中，已知3sin sin ,2A C +=设2sin sin ,t A C =则（ ）
A ．1
B C D ．98
16．已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ）
A ．1
B C ．32
D ．2
17．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0
B ．4
C ．12
D ．16
18．已知函数2log ,0,
(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任
意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126
F PF π
∠=
，
记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则12
12
e e e e +⋅的最大值为
A ．4
B ．2
C ．83
D ．
163
20．函数()2sin(2)()2
f x x π
φφ=+<
的图像向左平移6
π个单位长度后对应的函数是奇函数，
函数()()
23cos 2g x x =+．若关于x 的方程()()2f x g x +=-在[)0,π内有两个不同的解
αβ，，则()cos αβ-的值为（ ）
A ．5-
B ．
5 C ．25
-
D ．
25
三、解答题
21．如图，四边形ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE ），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路,AE ,BF ,CG DH . 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a 元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a 元，修路每1百米的费用为a 元，其中a 为正常数．设FAB θ∠=，0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
（1）用θ表示该工程的总造价S ；
（2）当cos θ为何值时，该工程的总造价最低？
22．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；
（2）若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.
23．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2(
)02
a b
f a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；
（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 24．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）．PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于点N ．
（1）设AP x =，将PN 长表示为x 的函数；
（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 25．已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a x b x x ==-， 设函数(),0,2f x a b x π⎡⎤
=⋅∈⎢⎥⎣⎦
．
（Ⅰ）求()f x 的值域
（Ⅱ）设函数()f x 的图像向左平移
2
π
个单位长度后得到函数()h x 的图像，若不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，求实数m 的取值范围． 26．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性;
（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；
（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图像有交点时，求满足条件
的ω的个数，说明理由.
27．已知函数()223sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()f x 在02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的最大值和最小值.
28．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )2]x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；
（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为1
2
-，求实数m 的值.
29．已知函数2133
()sin 24f x x x =+
（1）求()f x 的最小正周期T 和[0,]π上的单调增区间：
（2）若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
和*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2
π
）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；
（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．
【参考答案】
一、填空题
1．7
2．3
3116
4．235．20π
6．10 7．①②③ 8．1π-##1π-+
9．5+3
210．-7
二、单选题 11．A 12．C 13．A 14．A 15．B 16．B 17．C 18．A 19．A 20．D
三、解答题
21．（1）()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-，0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；（2）当3cos 4θ=时，()16()
S af θθ=取得最小值 【解析】
(1)根据题意可知4sin BF θ=,4cos AF θ=,进而求得Rt ABF
S 与EFGH S 正方形再求得总造价S 即可.
(2)由(1)有()16(13sin 6sin cos )S a θθθθ=+-,再求导分析函数的单调性与最值即可.
【详解】
（1）在Rt ABF 中,FAB θ∠=,4AB =,所以4sin BF θ=,4cos AF θ=. 由于Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE 是四个完全相同的直角三角形,所以
4sin AE BF CG DH θ====,4(cos sin )EF FG GH HE θθ====-,
所以Rt
11
4cos 4sin 8sin cos 22
ABF
S AF BF θθθθ=⋅⋅=⨯⨯=, 2224(cos sin )16(12sin cos )EFGH S EF θθθθ==-=-正方形.
所以()48sin cos 1016(12sin cos )1344sin S a a a θθθθθθ=⨯⨯+-⨯+⨯⨯
16[20sin cos (12sin cos )13sin ]a θθθθθ=+-⨯+ 16(13sin 6sin cos )a θθθ=+-,0,
4πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
. （2）由（1）记()13sin 6sin cos f θθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
则2223
2()cos 6(cos sin )12cos cos 612(cos )(cos )43
f θθθθθθθθ'=--=-++=--+. 令()0f θ'=,因为0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以3cos 4θ=或2cos 3θ=-(舍).
记03cos 4
θ=,所以当0(0,)θθ∈时,()0f θ'<,()f θ单调递减； 当0(,)4
π
θθ∈时,()0f θ'>,()f θ单调递增. 所以当3
cos 4
θ=
时,()f θ取得极小值,也是最小值, 又0a >,所以当3
cos 4
θ=时,()16()S af θθ=取得最小值. 【点睛】
本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题.
22．（1）()f x 214x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π
=
1. 【解析】 【分析】
（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案；
（2）利用整体法求出3
24
44
x π
π
π-≤-
≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】
（1）()2
2sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-
+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
∴sin 214x π⎛
⎫-≤ ⎪⎝⎭，
()f x ∴
1.
（2）由（1）得(
)214f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，
∵0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，32444x πππ∴-≤-≤.
sin 2124x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭， ∴当244
x π
π
-
=-
时，即0x =时，()f x 取最小值0.
当24
2x π
π
-
=
，即3
8
x π=时，()f x
1. 【点睛】
本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用. 23．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】
（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.
（2）()221log ,02log 1,2
x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到
326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案.
【详解】 （1）不是.
假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin
2
a b
a +=， 当2
b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；
当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2
a k π
π=+，k Z ∈，
所以sin 2a =±，不成立，
所以()f x 不为M 类函数.
（2）()22
1log ,02
log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，
又因为()f x 是M 类函数，
所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2
a b
a b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，
所以()2
2142(4)0222a a b a a a -+-=+-=>，
则2
log 102a b +->，所以得22
log 12log 12a b b +⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
， 从而有2
22log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224
a b b +=，即2
48b b b ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()
32
26480b b b b ----=，
由2b >，则326480b b b ---=，
令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()2
6480g x x x x =---<，且
()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 24．
(1) PN
，(0,x ∈；
(2) 【解析】 【分析】
（1）求出PM ,AM ,运用余弦定理,求得PN ；
（2）求出PN 的最小值,由于//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,通过解直角三角形PMN ,即可得到. 【详解】
（1）在APM ∆中
,PM =
AM =；
其中0x << 在MND ∆中
,2MN x ⎫=
⎪⎪⎝⎭
, 在PMN ∆中
,PN =
(0,x ∈； （2
）当(0,x 时,PN 最小,此时43PN =.
因为在底面ABCD 中,MN BD ⊥,AC BD ⊥,所以//MN AC ,又11//A C AC ,
PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,
在PMN ∆中,PMN ∠为直角,tan PNM ∠=
所以PNM ∠=
异面直线PN 与11A C 所成角的大小 【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法等.属于难题. 25．（Ⅰ）1
1,
8
8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
（Ⅱ）9,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】
（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数()f x 的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；
（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得()h x 的解析式，要使()()sin 20f x h x x m ++-<在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，即不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
有解，令
()()sin2y f x h x x =++求出函数的最小值，即可得实数m 的取值范围．
【详解】 解：（1）
()222991
sin cos 1cos cos cos cos 888
f x x x x x x x =+-
=-+-=-+- ()2
11cos 28f x x ⎛
⎫∴=--+ ⎪⎝
⎭，
0,2x π
⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
0cos 1x ∴≤≤
()1188
f x ∴-≤≤ ()f x ∴的值域为11,
88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
（2）函数()2
1cos cos 8f x x x =-+-的图像向左平移2
π个单位长度后得到函数()h x 的图
像，
()2211cos cos sin sin 2288h x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫∴=-+++-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
依题意，不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦有解，
设()()5
sin2cos sin sin24
y f x h x x x x x =++=--+
52sin cos cos sin ,0,42y x x x x x π⎡⎤
=+--∈⎢⎥⎣⎦
，
令[]cos sin ,
0,1,142t x x x x t ππ⎛
⎫⎡⎤
=-=+∈∴∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 则[]2
2
11,1,142y t t t t ⎛⎫
=-+-=--∈- ⎪⎝⎭
∴函数()()sin2y f x h x x =++的值域为9
,04⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
∴ min 9
4
m y >=-
故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题. 26．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析. 【解析】
（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可； （2）根据最小正周期公式进行验证即可；
（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数. 【详解】
（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；
（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；
（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所
以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即
tan 22
k π
ωπ=+
，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以
2(tan1.50,tan1.57)2
k π
π+∈，
因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个， 当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，
所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.
27．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
ππππ（2）5； -2 【解析】 【分析】
（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可
（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可 【详解】
（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝
⎭π， 22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭
； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2； 当2t π
=时，()f x 的最大值为：5
【点睛】
本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题
28．(1)0 (2)32
【解析】
【分析】
（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值.
【详解】
（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，
即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒=
故答案为0.
（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()
cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，
22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，
即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12
-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222
g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；
②当11m m <-≤⇒<-时，
222max 1311()()22222
g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；
③当m m -><max 131()2222g x g m ==-⨯-=-⇒=
故答案为32
m =
【点睛】 当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.
29．(1) T=π，单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
(2) ∅ 【解析】
【分析】
（1）化简函数得到1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，再计算周期和单调区间. （2）分情况n 的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.
【详解】
解：（1）函数21()sin 24f x x x =
11cos 2sin 242x x +=
11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭
故()f x 的最小正周期22T ππ=
=． 由题意可知：222232k x k πππππ-
+≤-≤+，k Z ∈ 解得：51212
k x k π
πππ-+≤≤+，k Z ∈ 因为[0,]x π∈，所以()g x 的单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2）由（1）得1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
和*n N ∈恒成立， 则2()(1)n f x m +-⋅的最小值大于零．
当n 为偶数时，10m -+>，所以，1m
当n 为奇数时，10m -->，所以，1m <-
综上所述，m 的范围为∅.
【点睛】
本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
30．（1）π2,1,6A ωϕ===
；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦；（3）π24或7π24. 【解析】
【分析】
（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=
2T πω，求出ω， 然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．
（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．
（3）令()f α=0α
π，即可求得α的取值． 【详解】
解：（1）由图象知A =2，
34T =512π-（-3π）=912
π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-
3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-
23π+φ）=-1， 即-23π+φ=-2
π+2k π， 即ω=
6
π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2
π， ∴当k =0时，φ=6
π， 即A =2，ω=1，φ=6
π； （2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712
π， b =f （0）=2sin 6
π=2×12=1， ∵f （x ）=2sin （2x +6π），
∴由2k π-
2π≤2x +6π≤2k π+2
π，k ∈Z ， 得k π-3π≤x ≤k π+6
π，k ∈Z ， 即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6
π]，k ∈Z ；
（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）
即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，
∴2α+6π∈[6
π，136π]， ∴2α+6π=4π或34
π， ∴α=24π或α=724π．
【点睛】
关于三角函数图像需记住：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期； 相邻对称轴和对称中心之间的距离为14
个周期． 关于正弦函数单调区间要掌握： 当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣
⎦时，函数单调递增； 当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。