学案5：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（二）

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（二）
|目 标 索 引|
1．能借助单位圆中的正切线画出y ＝tan x 的图象．
2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，并掌握其应用.
函数y ＝tanx 的图象与性质
解析式 y ＝tan x
图象
定义域 ⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭⎬⎫
x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z
值域 R 周期 π 奇偶性
单调性
在⎝⎛⎭
⎫－π2＋k π，π
2＋k π(k ∈Z)内都是
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.( )
(4)函数y ＝tan x 为奇函数，故对任意x ∈R 都有tan(－x )＝－tan x .( ) 2．函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点π
12，0，则φ可以是( )
A ．－π6 B.π6
C ．－π12
D.π12
3．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫3x －π
4的最小正周期为________． 题型探究
题型一 求函数的定义域
例1 函数f (x )＝tan x －1＋4－x 2的定义域为________．
【知识点拨】 求定义域时，一定要注意正切函数自身的定义域．另外，这类问题都是由构造三角不等式来确定自变量的范围．解三角不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
变式训练1-1 求下列函数的定义域． (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π
6；(2)y ＝tan x 2sin x －2
.
题型二 函数的性质
例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫
12x －π6的定义域、周期及单调区间．
【知识点拨】 1.正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意． 2．正切函数的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)，而不是(k π，0)(k ∈Z)，它没有对称轴． 3．y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|
.
变式训练2-1 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4的单调递增区间为( ) A.⎝
⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π
2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝
⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π
4，k ∈Z D.⎝
⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π
4，k ∈Z
题型三 正切函数的图像
例3 函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(0<φ<π)的图象与x 轴相交的两邻点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－π2，0，⎝⎛⎭⎫π6，0，且过点(0，－3)，求此函数的表达式．
变式训练3-1 将函数y ＝tan2x 的图象上所有的点向右平移π
8个单位长度，再把所得图象上
各点的横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，则所得函数的图象( )
A ．关于点⎝⎛⎭⎫π16，0中心对称
B ．关于直线x ＝7π
4对称
C ．关于点⎝⎛⎭⎫
π8，0中心对称 D ．关于直线x ＝3π
4
对称
随堂练习
1．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π
2上的交点个数是( ) A ．3 B.4 C ．5
D.6
2．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( ) ①在⎝⎛⎭⎫0，π
2上单调递减；②最小正周期为2π；③是奇函数． A ．y ＝－sin x
B.y ＝cos x
C ．y ＝tan x D.y ＝sin2x 3．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4，则( ) A ．f (－1)>f (0)>f (1) B.f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1)
D.f (1)<f (－1)<f (0)
4．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π
6上单调递增 B ．最小正周期为π
C ．图象关于点⎝⎛⎭⎫
π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π
6
成轴对称
5．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤
π4，π3的值域．
【参考答案】
奇函数 增函数
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
【解析】(1)如x 1＝π4，x 2＝2π3，但tan π4>tan 2π
3.
(2)正切函数在每个单调区间上都为增函数． (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为半周期π
2
.
(4)当x ＝π
2＋k π(k ∈Z )时，tan x 没有意义，此时式子tan(－x )＝－tan x 不成立．
2．答案：A
【解析】∵y ＝tan(2x ＋φ)过⎝⎛⎭⎫π
12，0. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，
∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，当k ＝0时，φ＝－π
6，故选A. 3．答案：π3
题型探究
例1 ⎣
⎡⎭⎫－2，－π2∪⎣⎡⎭⎫π4，π
2 【解析】 由题可得⎩
⎪⎨⎪⎧
tan x －1≥0，
4－x 2≥0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，
－2≤x ≤2，
∴－2≤x <－π2或π4≤x <π2
，
∴f (x )的定义域为⎣
⎡⎭⎫－2，－π2∪⎣⎡⎭⎫π4，π
2. 变式训练1-1 解：(1)要使y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6有意义，则2x －π6≠k π＋π2，∴x ≠k π2＋π
3
(k ∈Z )，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≠k π2＋π
3
，k ∈Z . (2)要使y ＝
tan x 2sin x －2
有意义，则
⎩⎨⎧
x ≠k π＋π2
k ∈Z ，
2sin x －
2>0⇔2k π＋π4<x <2k π＋3π
4
k ∈Z ，
∴2k π＋π4<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋3π
4
(k ∈Z )，
∴函数的定义域为2k π＋π4，2k π＋π2∪2k π＋π2，2k π＋3π
4(k ∈Z )．
例2 【解】 由12x －π6≠k π＋π
2(k ∈Z )，得
定义域为⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎭
⎬⎫x ≠2k π＋4π3，k ∈Z . ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎭
⎬⎫
x ∈R ，且x ≠2k π＋4π3，k ∈Z ； T ＝π|ω|＝π
1
2
＝2π；
由k π－π2<12x －π6<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－2π3<x <2k π＋4π
3，k ∈Z .
∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π
3，k ∈Z . 变式训练2-1 C
【解析】由k π－π2<x ＋π4<k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π4<x <k π＋π
4
，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π
4，k ∈Z ，故选C. 例3 答案：A
【解】 由题意知函数的周期为T ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π2＝23π，所以ω＝πT ＝3
2，故y ＝A tan ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ.又函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，则有32×π6＋φ＝k π，k ∈Z ，故φ＝k π－π4，k ∈Z .故φ＝3
4π.又图象过点(0，－3)，则有－3＝A tan ⎝⎛ 32×0＋
⎭⎫34π，得A ＝3.故函数的表达式为y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫32x ＋3
4π. 变式训练3-1 【解析】y ＝tan2x 的图象上所有的点向右平移π
8个单位长度，得y ＝tan2⎝⎛⎭⎫x －π8＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4， 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，
得y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫4x －π4，
由4x －π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π8＋π
16，k ∈Z ，
当k ＝0时，函数的一个对称中心为⎝⎛⎭
⎫π
16，0.故选A. 随堂练习
1．A
【解析】如图，函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭
⎫－3π2，3π
2上的交点个数是3.
2．A
【解析】y ＝cos x 为偶函数，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π
2为增函数，y ＝sin2x 的最小正周期为π，故A 正确． 3．答案：D
【解析】f (－1)＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－1，f (0)＝tan π
4，f (1)＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋1＝tan ⎝⎛⎭⎫1－3π4， －π2<1－3π4<π4－1<π
4
， ∴tan ⎝⎛⎭⎫1－3π4<tan ⎝⎛⎭⎫π4－1<tan π
4，∴f (1)<f (－1)<f (0)．故选D. 4．B
【解析】由k π－π2<x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，得k π－5π6<x <π
6＋k π，k ∈Z ，
∴函数在⎝⎛⎭⎫－π6，5π
6上不单调，A 错； 函数的周期为π，B 正确，故选B.
5．解：由x ∈⎣⎡⎦⎤
π4，π3，得tan x ∈[1， 3 ]， ∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24.
由于1≤tan x ≤3，∴8≤y ≤103－4，∴函数的值域是[8,103－4]．。