福建省福州市重点高中2020-2021学年高二下学期开学考试 数学试题答案

高二数学参考答案第1页
2020-2021学年高二下开学考
数学参考答案
一、单选题
9. AB 10. ABD 11. AC 12. BC 三、填空题 13. 3− 14.②
15.答案不唯一，只需满足20m n =+>，或者0,20m n <+<即可 16. 5 ； 94π 四、解答题
17．解：（1）:26p x −≤≤， ................................................................................ 1分
∵p 是q 的充分条件，
∴[]2,6−是[]2,2m m −+的子集，0
22426m m m m >⎧⎪
−≤−⇒≥⎨⎪+≥⎩
， ...................... 4分
∴m 的取值范围是[)4,+∞． ............................................................................ 5分 （2）由题意可知，当5m =时，,p q 一真一假， .......................................... 6分
p 真q 假时，26,
37,x x x −⎧⎨
<−>⎩
或≤≤ x ∈∅，
高二数学参考答案第2页
p 假q 真时，37,
26,
x x x −⎧⎨
<−>⎩或≤≤得[)
(]3,26,7x ∈−−， .............................. 9分
所以实数x 的取值范围是[)(]3,26,7−． ................................................... 10分
18．解：（1）设圆的方程为，其中2240E F D +−>．
因为圆经过，，，
所以 .................................................................... 2分 解得，，， ................................................................ 5分 所以所求圆的方程为．
..................................... 6分 （2）由（1）可得圆的圆心，半径． ............................... 8分 所以圆心到轴的距离，
所以轴被圆截得的弦长为． ................. 12分 19．解：（1）证明：因为，分别是，的中点，
所以DE PC ∥． .................................................................................................. 2分 因为平面，
PC ⊂平面，
所以DE ∥平面． ..................................................................................... 4分 （2）如图，在△中，过作于，则点为点在底面的
正投影．
................................................................................................................ 5分 M 220x y Dx Ey F ++++=M ()2,3A −()1,6B −()6,7C 49230,13660,
3649670,D E F D E F D E F +−++=⎧⎪
+−++=⎨⎪++++=⎩
6D =−6E =−7F =−M 226670x y x y +−−−=M ()3,3M =5r M x 3M d y ==x
M 28==D E BC PB DE ⊄PAC PAC PAC PAD P PO AD ⊥O O P ABC
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................................................................................... 6分
理由如下：因为，，是的中点， 所以，． 因为PD
AD D =，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，
所以平面． ................................................................................... 8分 因为平面，
所以BC PO ⊥，................................................................................................. 9分 又，BC ⊂平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，BC
AD D =
所以平面， ................................................................................... 11分 故点为点在底面的正投影． .......................................................... 12分
20．解法一：（1）设切点坐标为200(,)2
x x ，因为2
2y x =，y x '=，
所以曲线C 在点2
00(,)2
x x 处的切线方程为2000()2x y x x x −
=−， .............. 2分 又切线过点1,12P ⎛−⎫ ⎪⎝⎭，所以20001
1()22
x x x −−=−，
即2
0020x x −−=，解得0=2x 或0=1x −， ................................................... 4分 所以切点分别为(2,2)A ，1
(1,)2
B −，
PB PC =AB AC =D BC PD BC ⊥AD BC ⊥BC ⊥PAD PO ⊂PAD PO AD ⊥PO ⊥ABC O P ABC
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所以直线AB 的方程为1
222(2)21
y x −
−=
−+，整理得220x y −+=. ........ 6分 （2）由（1）知曲线C 在点2
00(,)2x x 处的切线方程为2000()2x y x x x −
=−， 若切线过点(),1P t −，则有2
0001()2
x x t x −−=−，
整理得2
00220x tx −−=， ................................................................................ 7分
设切点2
11(,)2
x A x ，222(,
)2x B x ，则1x ，2x 为方程2220x tx −−=的两根， 所以有122x x t +=，122x x =−，
..................................................................... 9分 又直线AB 的方程为222
2112
1122()2x x x y x x x x −
−=−−， 即212122
x x x x
y x +=
−， .................................................................................. 10分 所以直线AB ：1y tx =+， ............................................................................ 11分
所以直线AB 过定点(0,1). ............................................................................... 12分
解法二：（1）依题意过点1,12P ⎛−⎫
⎪⎝⎭
与抛物线C 相切的直线斜率一定存在， 设其方程为：11()2
y k x +=−，
高二数学参考答案第5页
由211(2)2y k x x y ⎧
⎪⎪⎨+⎪⎪=−=⎩
，，得222+0x x k k −+=， ................................................. 2分 由24(2)40k k −+∆==可得2k =或1k =−， ........................................... 3分
代回方程222+0x x k k −+=可解得2x =或1x =−， .................................. 4分 故(2,2)A ，1
(1,)2
B −，
所以直线AB 的方程为1
222(2)21
y x −
−=
−+，整理得220x y −+=. ........ 6分 （2）依题意过点(),1P t −与抛物线C 相切的直线斜率一定存在，
设PA ：11()y k x t +=−，PB ：21()y k x t +=−，
由12
)21(y k x t y x +==−⎧⎨
⎩
，得2
1122+20k k x x t −+=，① 2114(22)40k k t −=+=∆得211=22k k t +，
方程①即为22
1120x k x k −+=，解得1x k =， ............................................... 7分
即切点A 的横坐标为1k ，故2
1
1(,)2
k A k ，
同理可得2
22(,)2
k B k ， ........................................................................................ 8分
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故直线AB 的方程为222
2112
1122()2k k k y x k k k −−=−−，即212
122k k k k y x +=−，9分 因为2
11=22k k t +，同理222
=2+2k k t ，
即12,k k 满足方程2220x tx −−=，由韦达定理得：1212
22k k t
k k +=⎧⎨
=−⎩， ........ 10分
所以直线AB ：1y tx =+， ............................................................................ 11分
所以直线AB 过定点(0,1). ............................................................................... 12分
21．解：（1）由1B C ⊥平面ABC ，AB
平面ABC ，得1AB B C ⊥， ......... 1分
又AB AC ⊥，1
CB AC C =，故AB ⊥平面1AB C ， ............................... 3分
因为AB
平面11ABB A ，故平面11ABB A ⊥平面1AB C . .............................. 4分
（2）以C 为原点，CA 为x 轴，1CB 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B ， ...........................
5分
又BC =
11BB AA == 故11CB =，
()10,0,1B ，10,0,2E ⎛
⎫ ⎪⎝⎭， ................................................ 6分
所以11,0,2AE ⎛
⎫=− ⎪⎝
⎭，()111,1,1AA BB ==−−，
()1,0,0CA =， ................................................................................................... 8分
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设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =，则
10
n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x x y z =⎧⎨
−−+=⎩，令1y =，则1z =， 所以()0,1,1n =，
.............................................................................................. 10分 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ，
则1
sin 10
2n AE n AE
θ⋅=
=
=
， 即直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值为
10
. ..................................... 12分 22．解：（1）因为与关于轴对称， 由题意知在上， .......................................................................... 1分 当在上时，， .............................................................................. 2分
，， ...................................................................................... 3分
当在上时，
，，
∴与矛盾， ............................................................................. 5分
2⎫⎪⎪⎭
2
⎫
−⎪⎪⎭x 2⎭
M ()2,0C 2a =
233
1
44b
+=23b =(M 22231a b +=223314a b
+=2249b a =a b >
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故椭圆的方程为．.................................................................... 6分
（2）由22414
3x my x y =++=⎧⎪
⎨⎪⎩，
，得：22(34)24360m y my +++=，........................ 7分
2220(24)436(34)04m m m ∆>⇒−⨯+>⇒>由， ................................. 8分
设11)(,A x y ，22)(,B x y ，则1212
222436
,3434
m y y y y m m +=−
=++， 2121221144OA OB x x y y my my y y ⋅=+=+++（（））
()
()2
1212=1416m y y m y y ++++
22222
36+369616343434
m m m m m −+=+++（）
22
12100
=34
m m −++ ................................................................ 10分 2116
434
m =−+
+，
.......................................................... 11分 ∵24m >∴23416m +>， ∴134,
4OA OB ⎛⎫⋅∈− ⎪⎝
⎭
， ∴⋅OA C 的取值范围是134,
4⎛⎫
− ⎪⎝⎭
． ................................................................ 12分
M 22
143
x y +=。