用向量方法求空间中的角 课件

求空间距离
●
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是
A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离．
思路点拨： AB是平面AEC1F的斜线段，AB在平面AEC1F的法向量 方向上的投影长即为点B到平面AEC1F的距离，所以应先求出平面 AEC1F的一个法向量，再利用向量的数量积求解．
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
图形
1．对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： (1)斜线与平面的夹角范围是0，π2；而直线与平面的夹 角范围是0，π2. (2)设A→B在平面 α 内的射影为A′→B′，且直线 AB 与平面 α 的夹角为 θ，则|A′→B′|＝|A→B|·cos θ.
解析： 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，F0，12，0， E1，12，1，B(1,1,0)． ∴A→E＝0，12，1， A→F＝－1，12，0.
设平面 AEC1F 的法向量为 n＝(1，λ，μ)， 则 n·A→E＝0，n·A→F＝0.
∴12－λ＋1＋μ＝12λ0＝，0，
用向量方法求空间中的角
空间角的向量求法
角的 分类
向量求法
图形
异面 设两异面直线所成的角为
直线 θ，它们的方向向量为 a，b，
所成 则 cos θ＝_|c_o_s_〈__a_·_b_〉__| ＝ |a·b|
的角 __|a_||_b_| ___
角的 分类
向量求法
直线 与平 面所 成的 角
设直线 l 与平面 α 所成的角
→
求平面的法向量
n；(4)计算：设线面角为
θ，则
sin
θ＝
|n·AB| →
.
|n|·|AB|
求二面角
如图，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1， BC＝ 2，求平面 PAB 与平面 PBC 的夹角的余弦值．
思路点拨： 建立坐标系
→ 求点坐标及相关向量量n1，n2
4分
∴xx，，yy，，zz··0，2，0，1，10＝＝0，0.
∴zy＝＝0－. 2x，
6分
令 x＝1，得 m＝(1，－ 2，0)，
7分
设平面 PBC 的法向量为 n＝(x′，y′，z′)，
则nn⊥⊥CC→→BP，， 即nn··CC→→BP＝＝00，，
8分
∴xx′′，，yy′′，，zz′′··0，2，－01，，01＝＝00，.
为 θ，l 的方向向量为 a，平
面 α 的法向量为 n，则 sin φ |a·n|
＝|co〈s__a_，__n_〉_|＝__|a_|_|n_|__
图形
角的 分类
向量求法
图形
若 AB，CD 分别是二面角 α
－l－β 的两个面内与棱 l 垂
二面 角
直的异面直线(垂足分别为 A，C)，则二面角的大小就
是 A→B 与C→D的夹角 cos θ＝
● 求直线与平面的夹角的方法与步骤
● 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及 解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角
公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤
为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量A→B；(3)
方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的 棱长为 1，则有 A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，
∴A→1B＝(0,1，－1)，A→1D＝(－1,0，－1)，A→1B1＝(0,1,0)． 设平面 A1B1CD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)．
由nn⊥ ⊥AA→→11DB1，
⇔nn··AA→→11DB1＝＝00，
⇒xy＋ ＝z0＝. 0，
令 x＝1，则有 y＝0，z＝－1，可取 n＝(1,0，－1)．
设 A1B 与平面 A1B1CD 的夹角是 θ，
所以
sin
θ＝|cos〈A→1B，n〉|＝
→ A1B·n →
＝12，
|A1B||n|
则 A1B 与平面 A1B1CD 的夹角是 30°.
(3)平面 α 的法向量 n 与 AB 所成的锐角 θ1 的余角 θ 就是 直线 AB 与平面 α 所成的角．
(4)斜线和它在平面内的射影所成的角(即斜线与平面所 成的角)是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．
2．用向量法求二面角的步骤 (1)寻求平面 α，β 的法向量 u，v. (2)利用公式 cos〈u，v〉＝|uu|·|vv|，求出法向量 u，v 的夹 角 φ.
[思路点拨] 建系 → 求点B，C，E坐标
→
求A→E，B→C的坐标
→
cos
θ＝
→→ AE·BC →→
|AE||BC|
→ 求θ
求直线与平面的夹角
●
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平
面A1B1CD的夹角．
● 思路点拨： 方法一：几何法，作出A1B在平面A1B1CD内的射影， 直接求解．
∴yx′′＝＝z0′，.
9分
令 y′＝1，∴n＝(0,1,1).
10 分
∴cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝－
3 3.
11 分
而平面 PAB 与平面 PBC 夹角∈0，π2，
∴平面
PAB
与平面
PBC
夹角的余弦值为
3 3.
12 分
(1)求二面角的方法
(2)向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤
，
1
●
∴
B
C
⊥
1
平
面
A
1
B
1
C
D
.
故
A
1O
为
A
1B
在
平
面
A1B1CD内的投影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1C
的夹角，
设正方体的棱长为 1，那么在 Rt△A1OB 中，A1B＝ 2， BO＝ 22，所以 sin∠BA1O＝AB1OB＝12，∴∠BA1O＝30°.
A1B 与平面 A1B1CD 的夹角是 30°.
方法二：向量法．
建系
→
求出相关 点坐标
→
A→1B及平面A1B1CD的法向量n的坐标 → sin θ＝|cos〈A→1B，n〉| → θ
● 解析： 方法一：连接BC1，与B1C交于点O， 连接A1O，
●
在
正
方
体
A
B
C
D
－
A
1B
1C
1D
中
1
，
●
∵
B
1
C
⊥
B
C
1
，
B
C
⊥
1
A
1
B
，
1
B
1C
∩
A
1
B
1
＝
B
→
求|cos〈n1，n2〉|
→
cos
θ
如图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B( 2，1,0)，
C(0,1,0)，P(0,0,1)，A→P＝(0,0,1)，A→B＝( 2，1,0)，C→B＝( 2，
0,0)，C→P＝(0，－1,1).
3分
设平面 PAB 的法向量为 m＝(x，y，z)，
则mm⊥ ⊥AA→ →PB， ， 即mm··AA→ →PB＝ ＝00， ，
∴μλ＝＝2－，1，
∴n＝(1,2，－1)．又∵A→B＝(0,1,0)，
→
∴点
B
到平面
AEC1F
的距离
d＝|A|Bn·|n|＝
2＝ 6
36.
求点到平面的距离的步骤可简化为： ● (1)求平面的法向量； ● (2)求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到 平面的距离． ● 空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．
(3)根据 u，v 的方向，确定平面 α，β 所构成的二面角的 大小 θ：
①当 u，v 的方向如图①所示时，θ＝φ； ②当 u，v 的方向如图②所示时，θ＝π－φ.
求异面直线所成的角
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩 形，PA⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．已知 AB＝2，AD＝ 2 2，PA＝2.求：异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．