中考数学试题分类汇编知识点24线段垂直平分线、角平分线、中位线

中考数学试题分类汇编知识点24线段垂直平分线、角平分线、中位线
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线段垂直平分线、角平分线、中位线
一、选择题
1.（2018四川泸州，7题，3分）如图2，ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，E是AB
中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为（）
A.20
B. 16
C. 12
D.8
A D
E
O
B C
第7题图
【答案】 B
【解析】ABCD的对角线AC， BD相交于点 O，所以 O为 AC的中点，又因为 E 是 AB 中点，
所以 EO是△ ABC的中位线，AE=1
AB，EO=
1
BC，因为 AE+EO=4，所以 AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD 2 2
中 AD=BC， AB=CD，所以周长为 2(AB+BC)=16
【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线
2. （2018 四川省南充市，第 8 题， 3 分）如图，在Rt ABC中，ACB 90， A 30 ，
D ，
E ，
F 分别为 AB ，AC， AD 的中点，若BC 2，则 EF 的长度为（）
中考数学试题分类汇编知识点24线段垂直平分线、角平分线、中位线
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A．1
B ． 1
C ．
3
D ． 3
2 2
【答案】 B
【思路分析】 1. 由∠ACB=90°，∠A=30°，BC的长度，可求得AB的长度， 2. 利用直角三角形斜边的中线等于斜边第一半，求得CD的长度；3. 利用中位线定理，即可求得EF的长.
【解题过程】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，，∴AB=4，CD=
1
AB，
2
∴ CD=1
×4=2，∵ E， F 分别为 AC， AD的中点，∴ EF=
1
CD=
1
×2=1，故选 B.
2 2 2
【知识点】 30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线
定理
3.（ 2018 四川省达州市， 8， 3 分）△ABC的周长为 19，点D、E在边BC上，∠ABC的平分
线垂直于AE，垂足为 N，∠ ACB的平分线垂直于AD，垂足为 M．若 BC＝7，则 MN的长为
（）．
A．3
B．2C．
5
D ． 3
2 2
A
M N
B D E C
第 8题图
【答案】 C，
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【解析】∵△ ABC的周长为19， BC＝7，
∴AB＋AC＝12．
∵∠ ABC的平分线垂直于AE，垂足为 N，∴ BA＝ BE，N是 AE的中点．
∵∠ ACB的平分线垂直于AD，垂足为 M，∴ AC＝ DC，M是 AD的中点．
∴DE＝AB＋ AC－BC＝5．
∵ MN是△ ADE的中位线，
∴MN＝1
DE＝
5
．
2 2
故选 C.
【知识点】三角形的中位线
4.（ 2018 浙江杭州， 10 ， 3 分）如图，在△ ABC中，点 D 在 AB 边上， DE//BC ，与边 AC 交
于点 E，连接 BE，记△ ADE，△ BCE的面积分别为S1， S2, （）
A.若2AD>AB，则3S1>2S2
B.若2AD>AB，则3S1<2S2
C.若2AD<AB，则3S1>2S2
D.若2AD<AB，则3S1<2S2
A
D E
B C
【答案】 D
【思路分析】首先考虑极点位置，当 2AD=AB即 AD=BD时 S1， S2的关系，然后再考虑 AD>BD 时S1， S2的变化情况。

【解题过程】当 2AD=AB即 AD=BD时 2 S 1= S 2，则 3S1<2S2。

当 2AD<AB时， AD<BD,AE<EC,S 1变小， S2变大，一定有 3S1<2S2；反之，当 2AD>AB时，不确定。

【知识点】中位线及面积大小比较
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5.（ 2018 浙江湖州， 8，3）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E
在 AC上，将△ CDE沿 DE折叠，使得点 C恰好落在 BA的延长线上的点 F 处，连结 AD，则下列结论不一定正确的是（）
A ．＝
EF B ．＝ 2
AE AB DE
C．△ADF和△ADE的面积相等 D ．△ ADE和△ FDE的面积相等
【答案】 C
【解析】选项 A，∵D为BC的中点，∴所以BD＝CD．∵FD＝CD，∴FD＝BD．∴∠B＝∠BFD．∵∠ C＝∠ DFE，∴∠ B+∠ C＝∠ BFD+∠ DFE．∴∠ FAE＝∠ AFE．∴ AE＝FE．选项A正
确．
选项 B，∵E为AC的中点，D为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线．∴AB＝ 2DE．选项B正确．
选项 C，∵BF∥DE，∴△ADF和△ADE的高相等．但不能证明AF＝DE，∴△ADF和△
ADE的面积不一定相等．选项 C错误．
选项 D，△ADE和△FDE同底等高，面积相等，选项 D 正确．故选 C.
【知识点】等腰三角形，折叠，中位线，三角形的外角
1. （ 2018 湖北黄冈， 4 题， 3 分）如图，在△ ABC中， DE是 AC的垂直平分线，且分别交 BC，AC 于点 D 和 E，∠ B=60°，∠ C=25°，则∠ BAD为
A.50 °
B.70°
C.75°
D.80°
第4题图
【答案】 B
【解析】在△ ABC中，∠ B=60°，∠ C=25° , 所以∠ BAC=95° , 因为 DE 是 AC 的垂直平分
线，所以 DA=DC,所以∠ DAC=∠C=25°，所以∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=70°，故选 B
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臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
【知识点】三角形内角和，垂直平分线的性质
2. （ 2018 湖南郴州， 7，3）如图，∠ AOB=60°，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧交 OA ， OB 于点 C ，D 两点，分别以 C ，D 为圆心，以大于
1
CD 的长为半径作弧，两弧相交于点
P ，以
2
O 为端点作射线 OP ，在射线 OP 上截取线段 OM=6，则 M 点到 OB 的距离为（ ）
A.6
B.2
C.3
D.
3 3
【答案】 D
【思路分析】 判断出 OP 是∠ AOB 的平分线， 过点 M 作 ME ⊥ OB 于 E ，根据角平分线的性质可得 ∠ MOB=30°，然后根据 “直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边一半” 列式计算即可得解．
【解析】 解：由题意得 OP 是∠ AOB 的平分线，过点 M 作 ME ⊥ OB 于 E ，又∵∠ AOB=60°， ∴∠ MOB=30°，在 Rt △ MOE 中， OM=6，∴ EM=1
OM=3，故选 C ．
2
【知识点】 角平分线的性质，尺规作图
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3.（ 2018 甘肃天水， T6， F4）如图所示，点 O是矩形 ABCD对角线 AC的中点， OE∥AB交 AD
于点 E. 若 OE=3， BC=8，则 OB的长为（）
A.4
B.5
C.
D.
【答案】 B.
【解析】∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠ ABC=90°， AB∥ CD， AB=CD，点 O是 AC的中点 .
∵OE∥AB，
∴ OE∥CD，
∴ OE是△ ACD的中位
线，∴ CD=2OE=6，
∴ AB=6.
在 Rt △ ABC中， AB=6， BC=8，
∴AC=10.
∵ OB是 Rt △ ABC斜边的中线，
∴OB=AC=5.
【知识点】矩形的性质，中位线的性质
4.（ 2018 河北省， 6， 3）尺规作图要求：ⅰ．过直线外一点作这条直线的垂线；ⅱ．作线
段的垂直平分线；
ⅲ．过直线上一点作这条直线的垂线；ⅳ．作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
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则正确的配对是（）
A．①—ⅳ，②—ⅱ，③—ⅰ，④—ⅲB．①—ⅳ，②—ⅲ，③—ⅱ，④—ⅰ
C．①—ⅱ，②—ⅳ，③—ⅲ，④—ⅰD．①—ⅳ，②—ⅰ，③—ⅱ，④—ⅲ
【答案】 D
【解析】根据不同的作图方法可以一一对应．②的已知点在直线外，所以对应ⅰ，④的已知点
在直线上，所以对应ⅲ．
【知识点】尺规作图，角的平分线，垂线，线段的垂直平分线
5.（ 2018 河北省， 8，3）已知，如图，点P在线段AB外，且PA＝PB．求证：点P在线段
AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点 P作 PC⊥ AB于点 C且 AC＝ BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
【答案】 B
【解析】要证明 PA＝ PB需要作出 AB上的中线（或垂线或∠APB的角平分线）．选项 B 中作出
的辅助线同时满足了两个条件，不正确．故选B．
【知识点】线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一
6. （ 2018 贵州安顺， T8，F3）已知△ ABC （ AC＜ BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，
使 PA+PC = BC, 则符合要求的作图痕迹是（）
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【答案】 D
【解析】选项 A，该作图痕迹表示 AB=PB，不符合题意；选项 B，该作图痕迹表示作线段 AC 的垂直平分线交 BC 于点 P，即 PA=PC，不符合题意；选项 C，该作图痕迹表示 AC=PC，不符合题意；选项D，该作图痕迹表示作线段 AB的垂直平分线交 BC于点 P，即 PA=PB，故 PA+PC=BC, 符合题意 . 故选 D.
【知识点】尺规作图.
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7.（ 2018 湖北荆门， 11，3 分）如图，等腰Rt ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点， OQ OP 交BC于点 Q ， M 为 PQ 的中点，当点P 从点 A 运动到点C时，点 M 所经过的路线长为（）
A．
2
B．
2
4
C.1D．2
2
【答案】 C.
【解析】解：连接OM， CM， OC. ∵ OQ⊥ OP，且 M是 PQ的中点，
∴OM=1
PQ.
2
∵△ ABC是等腰直角三角形，∴∠ ACB=90°，
∴CM=1
PQ，
2
∴OM=CM，
∴△ OCM是等腰三角形，
∴ M在 OC的垂直平分线上.
∵当 P 在 A 点时，点M为 AC的中点，当P 在 C点时，点 M为 BC的中点，
∴点 M所经过的路线长为1
AB=1. 2
故选 C.
【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线，等腰三角形的判定与性质
8.（2018湖北省襄阳市，7， 3 分）如图，在△ ABC中，分别以点A 和点 C为圆心，大于24cm长为半径画弧，
两弧相交于点M、N，作直线 MN分别交 BC、AC于点 D、E. 若 AE=3cm，△ ABD的周长为13cm，则△ ABC的周长为(▲)
A.16cm
B.19cm
C.22cm
D.25cm
【答案】 B
【解析】解：由尺规作图可知，MN是线段 AC的垂直平分线，
∴AD=CD， AC=2AE=6cm，
∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13cm，
∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19cm.
故选 B.
【知识点】线段垂直平分线
9.（ 2018 陕西， 8，3 分）如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、
A．AB=2 EF B．AB=2EF C．AB=3 EF D．AB=5 EF
【答案】 D
【思路分析】连接 AC、BD交于点 O．利用中位线性质和菱形的性质证明EF=AO，EH＝BO，结合菱形的对角线互相垂直，用勾股定理求线段AB与 AO的关系，即得出AB与 EF的关系．
【解题过程】连接 AC、BD交于点 O．
∵ E， F 分别为 AB、 BC的中点，
∴EF=1
AC．2
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=1
AC， AC⊥ BD．
2
∴EF=AO．
同理： EH=BO．
∵ EH=2EF．
∴BO=2AO．
在 Rt△ ABO中，设 AO=x，则 BO=2x．
∴ AB=x2(2 x) 25x 5 AO．
∴ AB=5 EF，故选择D．
【知识点】菱形的性质，中位线的性质，勾股定理二、填空题
1.（ 2018 四川泸州，题， 3 分）如图 5，等腰△ ABC的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC上，且 BF=3FC，
EG是腰 AC的垂直平分线，若点 D 在 EG上运动，则△CDF周长的最小值为.
A
G
D
B
C
F
E
第 16题图
【答案】 18
【解析】做△ ABC的高 AH，因为 S=120，BC=20，所以 AH=12，△ CDF的周长 =CF+CD+DF， CF=5，因为 EG是腰 AC 的垂直平分线，连接 AD， AF，可得 DA=DC，所以 AD+DF的最小值为 AF 的长度，在 Rt △ AHF中， HF=5， AH=12，由勾股定理可得 AF=13，因此△ CDF周长的最小值为 18
【知识点】三角形面积，垂直平分线，勾股定理
2.（2018四川内江，23，6）如图，以AB为直径的⊙ O的圆心 O到直线 l 的距离 OE＝3，⊙ O的半径 r ＝2，直
线 AB不垂直于直线l ，过点 A、 B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D、C，则四边形ABCD的面积的最大值为．
【答案】 12
【思路分析】由于四边形ABCD为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形
的中位线，证得两底之和与线段OE的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径AB为梯形的高时，面积最大．
【解题过程】解：连接DO并延长交CB的延长线于F，∵ AD⊥l ， BC⊥ l ，∴ AD∥BC，∴∠ DAO＝∠ FBO，∠ ADO＝
∠F，∵OA＝ OB，∴△ AOD≌△ BOF，∴ AD＝ BF，OD＝OF，∵OE⊥ l ，∴ AD∥BC∥ OE，∴OD
＝
DE
，∴ DE＝CE，∴ OE OFCE
＝1
CF＝
1
( BF＋BC) ＝
1
( AD＋BC) ，∴AD＋BC＝ 2OE＝ 6，∵四边形ABCD的面积＝ 1 ( AD＋BC) ×CD，∴当AB∥l 2 2 2 2
时，即 AB为梯形的高时四边形ABCD的面积最大，最大值为1
×6×4＝12．
2
F
O
A
B
D E C l
【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形；
3. （ 2018 四川广安，题号 14，分值： 3）如图，∠AOE=∠BOE=15°， EF∥ OB，EC⊥ OB于 C，若 EC=1，则 OF=____.
第 14题图
【答案】 2.
【解析】过点 E 作 ED⊥ OA，于点 D.
∵EF∥ CO，
∴∠ EFA=∠AOC=∠ AOE+∠BOE=30°.
∵∠ AFE是△ OEF的外角，
∴∠ OEF=∠AEF-∠AOE=15°=∠ AOE，
∴OF=EF.
∵ OE是∠ AOC的平分线， CE⊥ OB， EG⊥ OA，
∴EG=CE=1.
在 Rt △ EFG中，∠ EFA=30°EG=1，
∴ EF=2EG=2，
即 OF=2.
【知识点】角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质
4. （ 2018 四川省南充市，第 13 题， 3 分）如图，在△ABC中，AF平分BAC ， AC 的垂直平分线交BC 于
点E， B 70， FAE 19，则 C 度．
【答案】 24
【解析】解：设∠ C的度数为 x
∵DE垂直平分 AC，∴ EA=EC，∴∠ EAC=∠ C=x，∵∠ FAE=19°，∴∠ AFB=∠ FAC+∠ C=( x +19°)+ x=2x+19°，
∵AF平分∠ ABC，∴∠ BAF=∠ FAC= x+19°，∵∠ BAF+∠ AFB+∠ B=180°，即70°+（2x+19°）
+( x+19°)=180°，解得： x=24°.故答案为：24.
【知识点】角平分线的定义；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
5.（2018湖南衡阳，17，3分）如图，?ABCD的对角线相交于点O，且 AD≠CD，过点 O作 OM⊥AC，交 AD于点
【答案】 16
【解析】解：在 ?ABCD中， AD=BC， AB=CD，
∵点 O为 AC的中点， OM⊥ AC，
∴MO为 AC的垂直平分线，
∴MC=MA，
∴△ CDM的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长 =2（ AD+CD） =16．
【知识点】
6.（ 2018 江苏泰州， 14， 3 分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为
AC、
BD的中点，∠ D=α，则∠ BEF的度数为.（用含α 的式子表示）
【答案】 270° 3
【解析】∵∠ACD=90°，∴∠CAD=90°－∠D=90°－α，∵E、F分别为AC、BD的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠ CAD=90°－α，∵ AC平分∠ BAD，∴∠ BAC=∠ CAD=90°－α，∵∠ ABC=90°，E为 AC的中点，∴AE=BE，∴∠ EBA=∠ BAC=90°－α，∴∠ BEC=180°－2α，∴∠ BEF=270°－3α.
【知识点】三角形中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质
7.（ 2018 山东省济宁市， 13，3）在△ ABC中，点 E，F 分别是边 AB，AC的中点，点 D 在 BC边上，连接 DE，
DF，
EF. 请你添加一个条件_______，使△ BED与△ FDE全等 .
A
E F
B D C
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【答案】答案不唯一，如：点
D 是 BC 的中点或者 DF ∥ AB.
【解析】 当 D 是 BC 的中点时，△ BED ≌△ FDE.∵ E ，F 分别是边 AB ，AC 的中点，∴ EF ∥ BC ，当 E ，D 分别是边
AB ，
BC 的中点时， ED ∥ AC ，∴四边形 BEFD 是平行四边形，∴△ BED ≌△ FDE ，因此，答案为： D 是 BC 的中点．
【知识点】 全等三角形的判定，三角形中位线性质，平行线性质 1. （ 2018 武汉市， 16， 3 分） 如图，在△ ABC
中，∠ ACB ＝60°，AC ＝ 1，D 是边 AB 的中点，E 是边 BC 上一点．若 DE 平分△ ABC 的周长，则 DE 的长是 ___________
3 【答案】
2
【思路分析】 延长 BC 至点 F ，使 CF =AC ，由题意得 DE 是△ ABF 的中位线，△ ACF 是底角为 30°的等腰三角形，作 CG ⊥ AF ，垂足为 G ，可求得 AF 的长，从而求出 DE 的长 .
【解题过程】 延长 BC 至点 F ，使 CF =AC ，∵ DE 平分△ ABC 的周长， AD =BC ，∴ AC +CE =BE ，∴ BE =CF +CE =EF ，∴
DE
AF DE 1 AF
CAF 1 ∠ ACB CG AF G AGC AF AG AC cos CAF
∥ ，
= ，∠ ＝ ＝30° . 作 ⊥ ，垂足为 ，则∠ =90°， ＝ 2 ＝ 2 × ∠＝2
2
2
× 1× cos 30°＝ 3 ，∴ DE
3
.
2
F
C
E
G
A D B
【知识点】 三角形的中位线
等腰三角形的性质 直角三角形中的边角关系
2. （ 2018 河南， 15， 3 分） 如图 , ∠
= 90°, 点 C 在边
上 , =4,点 B 为边 上一动点 , 连接 ,
MAN AM AC
AN BC ABC 与 ABC 关于 BC 所在直线对称． 点 D , E 分别为 AC , BC 的中点 , 连接 DE 并延长交 A'B 所在直线于点 F , 连接 A'E ．当
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【答案】 4或4
3
【思路分析】 根据题意，易得 EF ∥AB ，∠ CA B ＝∠ CAB ＝90°，∠ 1＝∠ 2＝∠ 3．
当 A EF 为直角三角形时，分两种情况讨论：①∠
A EF ＝90°时，∠ A FE ＝2∠2，所以∠ A FE +∠3＝90°，
即 3∠2＝90°，∠ 2＝30°，从而
AB ＝ AC tan60 ＝ 4 3 ．②∠ A FE ＝90°时，∠
A BA ＝90°．根据对称，
∠ A BC ＝∠ CBA ＝45°，进而判断出
ABC 是等腰直角三角形，从而求出
AB ＝ AC ＝ 4．
【解题过程】
图 1
图 2
解：∵∠ MAN = 90 °， ABC 与 ABC 关于 BC 所在直线对称．
∴∠ CA B ＝∠ CAB ＝90°，∠ A BC ＝∠ CBA
又∵点 ,
分别为 , 的中点，连接
并延长交 A'B 所在直线于点
F
D E
AC BC
DE
∴ A E
1
BC EB ， EF ∥ AB.
2
当 A EF 为直角三角形时，由题意得，∠ EA F 不能为直角，则
①如图 1，∠ A EF ＝90°时，∠ A FE +∠3＝90°
∵ EF ∥AB ，∴∠ A FE ＝∠ A BA ＝∠ 1+∠2＝2∠1.
又∵ A E=EB , ∴ ∠1＝∠ 3, ∴2∠1+∠1＝90°, ∴∠ 1＝30°＝∠ 2,
∴ AB ＝ AC tan60 ＝ 4 3 .
②如图 2，∠A FE＝90°时，
∵EF∥ AB,∴∠ A BA ＝∠ A FE ＝90°．
由对称可得，∠ A BC ＝∠ CBA＝45°，
∴ABC 是等腰直角三角形∴AB＝AC＝4.
综上所述，AB 的长为4或4 3
故答案为： 4或4 3
【知识点】对称的性质，三角形中位线，直角三角形性质，三角形内角和，三角函数
三、解答题
1. (2018山东青岛中考，15，4 分 ) 已知：如图，ABC ，射线 BC 上一点D .
求作：等腰PBD ，使线段 BD 为等腰PBD 的底边，点 P 在ABC 内部，且点P到ABC 两边的距离相等. （请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【思路分析】作线段BD的垂直平分线与∠ ABC的平分线，交于点P，连接 BP， PD，则△ PBD就是求作的三角形．【解题过程】解：作图如下：
【知识点】尺规作图——角平分线、垂直平分线
1. （ 2018 湖北鄂州， 18， 8 分） 如图，在四边形
中，∠ ＝ 90°， ＝ ，点 、 F 分别为
、 的中
ABCD DAB DB DC E DB BC
点，连接 AE 、 EF 、 AF ．
（ 1）求证： AE ＝ EF ； （ 2）当 AF ＝ AE 时，设∠ ADB ＝ α ，∠ CDB ＝ β，求 α ，β 之间的数量关系．
【思路分析】
【解析】解： （ 1）证明：∵点 E 、 F 分别为 DB 、 BC 的中点，∴ EF 是△ BCD 的中位线，∴ EF ＝ 1
CD ，又∵ DB ＝ DC ，
2
∴ EF ＝ 1
DB ，在 Rt △ABD 中，∵点 E 为 DB 的中点，∴ AE 是斜边 BD 上的中线，∴ AE ＝
1
DB ，∴ AE ＝
2 2
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（ 2）如下图（ 1），∵AE＝EF，AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠ EAF＝60°，
又∵∠ DAB＝90°，∴∠1＋∠ BAF＝90°－60°＝30°，∴∠ BAF＝30°－∠1，∵EF是△ BCD的中位线，∴
EF∥
CD，∴∠ BEF＝∠ CDB＝β，∴ β＋∠2＝60°，又∵∠2＝∠1＋∠ ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α ＋β＝60°，∴
∠1＝ 60°－α －β，∵AE是斜边BD上的中线，∴AE＝DE，∴∠ 1＝∠ADB＝α ，∴α＝60°－α－β，∴ 2α＋β＝ 60°．
【知识点】中位线定理；直角三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的外角性质；平行线的性质
2.（ 2018 四川攀枝花， 20， 8） ( 本小题满分 8 分 ) 已知△ABC中，∠A=90° .
（ 1）请在图8 中作出BC边上的中线 ( 保留作图痕迹，不写作法) ；
(2)如图 9，设BC边上的中线为AD.
求证 : BC=2AD.
【思路分析】（ 1）用尺规作图作出线段BC的中垂线，目的是作出线段BC的中点 D，然后连接线段AD即为所求。

【解题过程】
马明风整理
(1)如图 (1) 所示：
(2)如图 (2), 作AB边的中点E, 连接ED，∵BE=EA, BD=DC, ∴ED∥AC,
∵∠BAC=90°,∴ ∠ BED=90°，∴ DE⊥ AB，∴ DE是线段 AB 的垂直平分线，
∴AD= BD，∴ AD=BD=DC，∴ BC=2 AD。

【知识点】尺规作图，三角形的中位线，线段的垂直平分线。

3.（2018湖北省孝感市，20，7分）如图，ABC 中， AB AC ，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作BAC 的平分线AM交 BC 于点D；
②作边 AB 的垂直平分线EF ， EF 与 AM 相交于点 P ；
③连接 PB，PC.
请你观察图形解答下列问题：
（ 1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是________；（ 2）若ABC 70 ，求BPC 的度数.
【思路分析】（ 1）根据从垂直平分线的性质可得PA=PB=PC.
(2) 根据等腰三角形的性质可得∠ACB ABC 70
，再有三角形的内角和定理可得∠
BAC=
= 40°，再由角平分线
的性质和等腰三角形的性质可得∠∠∠∠20° , 最后由三角形外角的性质可得
BPC =∠
BAP = CAP= ABP = ACP= BPD+∠ CPD=∠ BAP +∠ ABP +∠ CAP +∠ACP=80°.
1 PA
，PB
， PC 之间的数量关系是
:
PA PB PC （或相等）
.
【解题过程】解：（）线段
（2）∵AM平分BAC ， AB AC ，ABC 70 ，∴ AD BC ，BAD CAD 90ABC 20 . ∵ EF 是线段 AB 的垂直平分线，
∴ PA PB ，∴PBA PAB 20 .
∵BPD 是 PAB 的外角，
∴BPD PAB PBA 40 .
∴BPD CPD 40 .
BPC BPD CPD 80
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图 .
4.（ 2018·北京， 17， 5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过
程．已知：直线 l 及直线 l 外一点 P．
P
l
求作：直线PQ，使得 PQ∥ l ．
作法：如图：
P
A
l
C
B
①在直线 l 上取一点 A，作射线 PA，以点 A为圆心， AP长为半径画弧，交PA的延
长线于点 B；
②直线 l 上取一点 C（不与点 A 重合），作射线 BC，以点 C为圆心， CB长为半径画弧，交BC的延长线于点
Q；
③作直线 PQ．
所以直线 PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（ 1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（ 2）完成下面的证明．
证明：∵ AB＝_______， CB＝_______，
∴PQ∥ l （________________）（填推理的依据）．
【思路分析】（ 1）利用尺规作图，先作射线BC，再在射线BC上截取线段CQ＝ CB；最后过点P、 Q 作直线即可；（2）由作图易知PA＝AB，CQ＝CB，依据是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直
线．【解题过程】
17．解：（ 1）如下图所示：
P Q
l
A C
B
（ 2）PA，CQ；依据：①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形的中位线平行于第三边；
③两点确定一条直线．
【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理。