三角形的外角习题及答案

三角形的外角（习题）
➢ 例题示范
例1：已知：如图，点E 是直线AB ，CD 外一点，连接DE 交AB 于点F ，∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．
D C
E
A B F
①读题标注 ②梳理思路
要证AB ∥CD ，需要考虑同位角、内错角、同旁内角． 因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，
∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）
∴∠AFE =∠B+∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和）
∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）
∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）
➢ 巩固练习
1. 如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A =40°，
∠D =35°，则∠2=________．
2
1E F D
C
B
A
D
C E
A B
F
2. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，
BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．
F B
A
E
C D
α
第2题图 第3题图
3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α
的度数为（ ） A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90
4. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°，则∠D 的度数为
_____________．
F
E
D
C
B A
D C
E
A
B
第4题图 第5题图
5. 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°，∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．
6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于
点D ，∠BDC =70°，求∠C 的度数． 解：如图，
∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD
（_____________________） ∵∠A =40°，∠BDC =70° （_____________________）
∴∠ABD =_______-________
=________-________ =________
（_____________________）
第4题图
D
C
A
B
∵BD 平分∠ABC （_____________________）
∴∠ABC =2∠ABD
=_____×______ =__________ （_____________________）
∴∠C =180°-∠A -∠ABC
=180°-________-_______ =________
（_____________________）
7. 已知：如图，CE 是△ABC 的一个外角平分线，且EF ∥BC 交
AB 于点F ，∠A =60°，∠E =55°，求∠B 的度数．
8. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，
DE ∥BC 交AB 于点E ，∠A =45°，∠BDC =60°，求∠AED 的度数．
E
D
C
B
A
F
E
D
C B A
➢思考小结
1.在证明过程中：
（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．
（2）要求一个角的度数：
①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；
②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑
____________；
③若把一个角看作三角形的内角，考虑__________________
_____________；
④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________
________________________．
2.阅读材料
欧几里得公理体系
几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．
欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．
他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．
5条公设是：
（1）从任意点到任意点作直线是可能的．
（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．
（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．
（4）所有直角彼此相等．
（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．
5条公理是：
（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．
（2）等量加等量，总量仍相等．
（3）等量减等量，余量仍相等．
（4）彼此重合的东西是相等的．
（5）整体大于部分．
其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．
欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．
【参考答案】
➢巩固练习
1.40°
2.125°
3.C
4.20°
5.20°，70°
6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）
∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻
的两个内角的和）
∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）
∴∠ABD=∠BDC-∠A
=70°-40°
=30°（等式的性质）
∵BD平分∠ABC（已知）
-40°-60°
=80°（三角形的内角和等于180°）
7.解：如图，
∵EF∥BC（已知）
∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）
∵∠E=55°（已知）
∴∠ECD=55°（等量代换）
∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）
∴∠ACD=2∠ECD
=2×55°
=110°（角平分线的定义）
∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）
∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和）
∵∠A=60°（已知）
∴∠B=∠ACD-∠A
=110°-60°
=50°（等式的性质）
8.解：如图，
∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）
∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两
个内角的和）
∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）
∴∠ABD=∠BDC-∠A
=60°-45°
=15°（等式的性质）
∵BD平分∠ABC（已知）
∴∠ABC=2∠ABD
=2×15°
=30°（角平分线的定义）
∵DE∥BC（已知）
∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∴∠AED=30°（等量代换）
➢思考小结
1.（1）同位、内错、同旁内．
（2）①同位角、内错角、同旁内角；
②互补，对顶角相等；
③三角形的内角和等于180°．
④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。