高中数学 两角和与差的余弦公式教案 新人教A版必修4

两角差的余弦公式教案
【教学三维目标】
1.知识目标： 理解两角差的余弦公式的推导过程，熟记两角差的余弦公式，运用两角差的余弦公式，解决相关数学问题。

2能力目标 ： 培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感目标： 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【教学重点】. 通过探索得到两角差的余弦公式；
【教学难点】 探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。

【教材分析】 这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

【学法设计】 独立思考，生生交流探究，小组合作
一、 产生对公式的需求 引入新课 （3分钟）
直升机对日本福田核电站三号机组喷水降温引出两角差余弦公式
二、自主探究 引发思考 层层深入 得出结论 （15分钟）
独立思考以下问题：
我们知道观察余弦值大小最直观的方式是画出它的三角函数线，我们能否借助借助几何直观，探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.值得注意的是，以上结果是在α，β，α－β均为锐角时成立，对于α，β为任意角的情况，这个公式还成立吗？由特殊到一般，推导 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
在向量运算中
),,11y x （=),22y x （= 则 __________=⋅
=→
1OP ),sin ,cos αα（=),sin ,cos ββ（= βαβαsin sin cos cos +=⋅
（一）两角差的余弦公式 设),sin ,cos αα（=),sin ,cos ββ（=
βαβαsin sin cos cos +=⋅
θ=⋅Θ
βαβαθsin sin cos cos cos +=∴
如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=
故 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
实际上，当βα-为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。

综上所述，βαβαβαsin sin cos cos )-cos(
+= ，对于任意的角βα,都成立。

结论：）
（两角和与差的余弦公式βα±C cos(-)αβ= cos cos -sin sin αβαβ
注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；
2.式子右边同名三角函数相乘积；
3.式子中α、β是任意的。

4 式子的逆用，变形用
正因为α、β的任意性，所以赋予C (α-β)公式的强大生命力
三． 互相交流，小组活动 公式应用闯关 （15分钟）
第一关：小将闯关
请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是30°60°45°等）
(1)；(2) 0cos 75______=；(3) 0
cos105______=；……
问题预测：学生动笔自由尝试、主动探索。

有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。

甚至可能有的同学会说他验证了cos30°=sin60°…….（让同学感受获得公式后的第一份喜悦）由于初学公式的应用，我选择其中之一作示范。

第二关：循序渐进
若β固定，分别用 2
π,π 代替α，你将会发现什么结论呢？
设计意图：引导同学发现余弦的诱导公式可用C (α±β)公式得到证明：
.sin )2cos(,sin )2cos(,cos )cos(ββπ
ββπββπ=--=+-=±初步让学生发现C (α±β)公式是诱导公
式的推广。

（从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦）
第三关：大显身手
倘若让你对C (α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？ (1)cos -__________4（）π
α=；(2)cos -____________（）αα=
(3)[]____)____)sin(______sin(_cos(_____)(_____)cos cos
=-+αβα）（ (4)[]___)___)sin(______sin(__cos(_____)cos(_____)cos
=--+）（）（βαβα ……
问题预测：，有的同学发现： cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β，甚至
有调皮的同学发cos0=cos(α-α)=cos 2α+sin 2α=1，这就无意中证明了平方关系，……， （据此，让同
学感受到C (α±β)公式的强大功能）。

（必要时，教师可适当提示）。

注：按课本编排未必能让同学注意公式中α,β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才赋予C (α+β)公式的强大生命力）。

于是我设计上述三个有层次的A ,B,C 级的问题，留时间先让同学用特殊角自由赋值，逐渐摸索、尝试，不断总结、归纳。

这样更能使同学亲自感受公式的强大功能，并掌握赋值法。

四：小有成就
（1） cos80°cos20°+sin80°sin20°，初步学会逆用公式。

（3）cos80°cos35°+cos10°cos55°
⑴. 2
1 ⑵. 2
2 （3）.22 四．师生共同活动 数学运用 （10分钟）
1.例题：、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭
是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=
由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13
ββ=-是第三象限角，
所以12sin 13β===-
1(2)cos15sin1522
︒+︒
所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-
+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
注意：注意角α、β的象限，也就是符号问题.
2.变式练习 能力提高 的值。

求都是锐角，已知ββααβαcos ,13
5)cos(,54cos ,-=+= 解：由 )20(π
α，∈ ，得535411sin 2
2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=αα 又由)2,0(π
β∈，则),0(πβα∈+得
13121351)(1)sin(2
2cos
=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+βαβα 由余弦得差角公式得 []αβααβααβαβsin sin cos cos cos cos ）（）（）（+++=-+= 5412316()()13513565
=-+⋅=- 六．学习反思
2分钟） 知识网建构：
七． 课时总结1、牢记公式的结构特点，学会逆用公式。

不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。

2、强调公式中α、β的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。

注：逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。

通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察，比较等思维能力，同时渗透了一种化归思想。

八． 作业布置
1. 教材第137页，感受理解第 1，
2. 3 4.5 题
2. 探究：知道了cos(-)αβ，你觉得)sin(βα±也有类似的规律吗？
九． 板书设计。