高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.3 微积分基本定理学

1.5.3 微积分基本定理
学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2
＋x ，则ʃ1
0(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？
思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?
1．微积分基本定理
对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么ʃb
a f (x )d x ＝
，即ʃb
a F ′(x )d x ＝
．
2．常见的原函数与被积函数关系 (1)ʃb
a C d x ＝Cx |b
a (C 为常数)． (2)ʃ
b a x n d x ＝
⎪
⎪⎪1n ＋1x n ＋1b
a (n ≠－1)． (3)ʃ
b a sin x d x ＝－cos x |b
a . (4)ʃb
a cos x d x ＝sin x |b
a .
(5)ʃb a 1x
d x ＝ln |x ||b
a (
b >a >0)．
(6)ʃb a e x d x ＝e x |b
a . (7)ʃ
b a
a x
d x ＝
⎪
⎪⎪a x ln a b
a (a >0且a ≠1)． (8)ʃ
b a
x d x ＝
⎪
⎪⎪23x 3
2b
a (
b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系 思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？
设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃb
a f (x )d x ＝ ． (2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb
a f (x )d x ＝
．
(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则ʃb
a f (x )d x ＝ ．特别
地，若S 上＝S 下，则ʃb
a f (x )d x ＝ .
类型一 定积分的求法
例1 (1)定积分ʃ1
0(2x ＋e x
)d x 的值为________． (2)ʃ2
0|1－x 2
|d x ＝________.
(3)ʃ2
1
[2x 2
＋x ＋1x
－cos x ]d x ＝________.
反思与感悟 (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解． 跟踪训练1 (1)计算定积分ʃ1
－1(x 2
＋sin x )d x ＝______.
(2)已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋2x ，0≤x ≤1，x 2
，1<x ≤2，求ʃ2
0f (x )d x .
类型二 利用定积分求参数
例2 (1)已知2≤ʃ2
1(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．
(2)设函数f (x )＝ax 2
＋c (a ≠0)．若ʃ1
0f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
跟踪训练2 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ1
0(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________． (2)已知ʃ1
0[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．
类型三 利用微积分基本定理求面积
例3 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1
3
x 所围成图形的面积．
反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练3 (1)如图，阴影部分由曲线y ＝1x
，y 2
＝x 与直线x ＝2，y ＝0所围成，则其面积
为________．
(2)求由曲线y ＝x 2
，直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积．
1．若ʃa
1(2x ＋1x
)d x ＝3＋ln 2，则a ＝________.
2．ʃ20(x 2－23
x )d x ＝________.
3．已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ1
0f (x )d x ＝－2.求a ，b ，c
的值．
4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4x －2π，0≤x ≤π
2
，cos x ，π
2<x ≤π，计算ʃπ
0f (x )d x .
5．求由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积．
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
提醒：完成作业 1.5.3
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ1
0(2x
＋1)d x ＝F (1)－F (0)．
思考2 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数C ，都有[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＋C ′＝f (x )． 1．F (b )－F (a ) F (b )－F (a ) 知识点二
思考 当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等． (1)S 上 (2)－S 下 (3)S 上－S 下 0 题型探究
例1 (1)e (2)2 (3)4＋ln 2－sin 2＋sin 1 解析 (1)ʃ1
0(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|1
0＝(1＋e)－1＝e.
(2)|1－x 2
|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
，0≤x ≤1，x 2
－1，1<x ≤2.
ʃ2
0|1－x 2
|d x ＝ʃ1
0(1－x 2
)d x ＋ʃ2
1(x 2
－1)d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 310＋
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 21
＝23＋7
3
－1＝2. (3)ʃ2
1
[2x 2
＋x ＋1x
－cos x ]d x
＝ʃ21(2x ＋1＋1x
－cos x )d x
＝(x 2＋x ＋ln x －sin x )|2
1 ＝6＋ln 2－sin 2－(2－sin 1) ＝4＋ln 2－sin 2＋sin 1. 跟踪训练1 (1)23
(2)解 ʃ2
0f (x )d x ＝ʃ1
0(1＋2x )d x ＋ʃ21x 2
d x
＝(x ＋x 2)|1
0＋
⎪
⎪⎪13x 321 ＝2＋73＝133
.
例2 (1)[23，2] (2)3
3
解析 (1)ʃ2
1(kx ＋1)d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1.
由2≤32k ＋1≤4得2
3≤k ≤2.
(2)ʃ1
0f (x )d x ＝ʃ1
0(ax 2
＋c )d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . f (x 0)＝ax 20＋c ，
∴a 3＝ax 2
0，即x 0＝33或－33
. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝
3
3
. 跟踪训练2 (1)[0,2) (2)解 ʃ1
0[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝ʃ1
0[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x ＝
⎪
⎪⎪⎣
⎢⎡⎦⎥⎤ax 3＋1
2ab ＋
x 2＋bx 10
＝a ＋1
2(3ab ＋1)＋b ＝0，
即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.
由于(a ＋b )2
＝a 2
＋b 2
＋2ab ≥4ab ，
所以(－3ab ＋12)2≥4ab ，即9(ab )2
－10ab ＋1≥0，
得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤1
9或ab ≥1.
所以ab 的取值范围是(－∞，1
9]∪[1，＋∞)．
例3 解 画出图形，如图所示．
解方程组⎩⎨
⎧
y ＝x ，
x ＋y ＝2，
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，
y ＝－13x ，
及⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2，y ＝－1
3x ，
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ3
1[(2－x )－(－13x )]d x
＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ3
1(2－x ＋13x )d x
＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|3
1 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 跟踪训练3 (1)2
3
＋ln 2
(2)解 由题意，三条曲线围成的面积如图阴影所示．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
，y ＝x ，和⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
，
y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.
故所求的面积S ＝ʃ1
0(2x －x )d x ＋ʃ2
1(2x －x 2
)d x ＝
⎪⎪⎪x 22
1
＋
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 3
321
＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76. 达标检测 1．2 2.43
3．解 ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2，①
f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b ＝0，②
ʃ1
0f (x )d x ＝ʃ1
0(ax 2
＋c )d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx 10 ＝1
3
a ＋c ＝－2，③ 由①②③可得a ＝6，
b ＝0，
c ＝－4. 4．解 ʃπ
f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π
2f (x )d x ＋⎠⎜⎛π
2
π
f (x )d x
＝⎠⎜⎛0π2 (4x －2π)d x ＋ ⎠⎜⎛π
2
π
ʃ
cos x d x ， 取F 1(x )＝2x 2
－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以⎠⎜⎛0
π
2 (4x －2π)d x ＋⎠⎜⎛π
2
π
cos x d x ＝(2x 2
－2πx
)|π20
＋sin x |ππ2
＝－12
π2
－1， 即ʃπ0f (x )d x ＝－12
π2－1.
5．解 如图所示的阴影部分面积即为所求面积，
可求得曲线y ＝x 与直线y ＝x －2的交点为A (4,2)． ∴S 阴＝ʃ40
(x －x ＋2)d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－1
2x 2＋2x 40＝163.。