高三文科数学前三大题训练(有详解)

高三文科数学前三题训练
1在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知(1,3)
A-.
（1）若OA OB
⊥,求tanα的值.
（2）若B点横坐标为4
5
,求
AOB
S
∆
.
2．市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，
（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）;
（2）假设从甲到乙方向的道路B和从丙到甲方向的
道路D道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道
相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？
P
A
B
C
D 1
A 1
B 1
C 1
D 第18题图
3． 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 已知底面ABCD 的正方形， 侧棱1D D 垂直于底面ABCD ，且13D D =．
（1）点P 在侧棱1C C 上，若1CP =， 求证：1A P ⊥平面PBD ；
（2）求三棱锥11A BDC -的体积V ．
4已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一系列对应值如下表：
（1）求()f x 的解析式；
（2）若在ABC ∆中，2AC =，3BC =，1
()2
f A =-，求ABC ∆的面积．
5．（本题满分12分）
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示
（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；
（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得
分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：
2222222
981026109466++++++=，236112136472
222222=++++++）
6．（1）求证：EF⊥平面ABC；
（2）求此三棱锥A—BCD的表面积；
（3）若E、F分别是AC、AD上的中点，求点A到平面BEF的距离．
图3
6
2
5
x 06
11y 119
88967乙甲7已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭.
（1）求函数)(x f y =的单调递增区间； （2
）若4
3f ()π
α-=
，求)4
2(π
α+f 的值.
8．（本小题满分12分）
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100
分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生， 求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式：方差()(
)()
2222121n s x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-+⋅⋅⋅+-⎢
⎥⎣⎦，
其中12n
x x x x n
+++=
.
侧视
正视
D C
A
P 图5
图4
222
9 已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. （1）求证：AD PC ⊥；
（2）求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.
高三文科数学前三题训练答案
1．⑴解法1、
由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα， ……1分
(1,3)OA =-，(cos ,sin )OB αα= ……2分
OA OB ⊥，得0OA OB ⋅= ……3分
∴cos 3sin 0αα-+=，1
tan 3
α= ……4分
解法2、
由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα ……1分 3OA k =-， tan OB k α= ……2分 ∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ⋅=- ……3分
3tan 1α-=-， 得1
tan 3
α= ……4分
解法3、 设) , (y x B ，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、
由⑴OA == 记AOx β∠=， (,)2
π
βπ∈
∴sin 10β==
，cos 10β==-
（每式1分） ……6分 ∵1OB = 4cos 5α=
，得3
sin 5α==（列式计算各1分） ……8分
43sin sin()10510510
AOB βα∠=-=+=（列式计算各1分）……10分
∴11sin 122AOB S AO BO AOB ∆=∠=3
2
=（列式计算各1分）…12分
解法2、
由题意得：AO 的直线方程为30x y += ……6分
则3sin 5α== 即43
(,)
B （列式计算各1分）
……8分
则点B 到直线AO
的距离为
d =
=1分）……10分
又OA ==11
3222
AOB S AO d ∆=⨯==（每式1分）…12分 解法3、
3sin 5α== 即43
(,)55
B （每式1分） ……6分
即：(1,3)
OA =-
，43
(,)55
OB = ， ……7分
OA =1OB =，4313cos OA OB AOB OA OB
-⨯+⨯
⋅∠==
=分
（模长、角的余弦各1分）
∴sin AOB
∠==……10分
则
113
sin1
222
AOB
S AO BO AOB
∆
=∠==（列式计算各1分）…12分解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）
2．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2个1分,3-5个2分,5-7个3分,7-11个4分，）………5分共12种情况……6分
⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC ……7分
共4种情况，……8分所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率
41
123
P==（文字说明1分）…12分3．⑴解法1、
依题意，1
CP=，
1
2
C P=，在Rt BCP
∆
中，PB==……1分
同理可知，
1
A P==
1
A B==（每式1分）……3分
所以222
11
A P P
B A B
+=，……4分
则
1
A P PB
⊥，……5分
同理可证，
1
A P PD
⊥，……6分
由于PB PD P
=，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，……7分
所以，
1
A P⊥平面PBD．……8分
解法2、
由
1
A P PB
⊥（或
1
A P PD
⊥）和BD
P
A⊥
1
证明
1
A P⊥平面PBD（证明任何一个线线垂直关系给5分，第二个线线垂直关系给1分）
⑵解法1、
如图1，易知三棱锥
11
A BDC
-的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即
1111111
4
A BDC ABCD A
B
C
D A ABD
V V V
---
=-（文字说明1分）……11分
()
11
11
4
32
AB AD A A AB AD
A A
⎛⎫
=-⨯⨯ ⎪
⎝⎭
……13分
1
32
3
==……14分
A B
C
D
1
A
1
B
1
C
1
D
（第18题图1）
B
D
1
A
M
1
C
（第18题图2）
N
解法2、
依题意知，三棱锥11A BDC -的各棱长分别是
112AC BD ==
，1111A B A D C B C D ====1分）……10分
如图2，设BD 的中点为M ，连接11A M C M ，，
则1A M BD ⊥，1C M BD ⊥
，且11A M C M ==
于是BD ⊥平面11A C M ， ……12分
设11A C 的中点为N ，连接MN ，则11MN AC ⊥
，且3MN ===， 则三角形11A C M 的面积为111111
23322
A C M S AC MN ∆=
=⨯⨯=， ……13分 所以，三棱锥11A BDC -的体积1111
32233
A C M V S BD ∆==⨯⨯=． ……14分
4（本题满分12分）
已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一系列对应值如下表：
（1）求的解析式；
（2）若在ABC ∆中，2AC =，3BC =，1
()2
f A =-
，求ABC ∆的面积． 解：（1）由题中表格给出的信息可知，函数()f x 的周期为344
T ππ
π=-=，
所以22π
ωπ
==. ……………………………………………2分
注意到
sin(2())04πϕ⨯-+=，也即2()2
k k Z π
ϕπ=+∈，由0ϕπ
<<，所以
2
π
ϕ=
………………………………………………4分
所以函数的解析式为()sin(2)2
f x x π
=+（或者()cos 2f x x =） ……………………5分
（2）∵1()cos
22f A A ==-
，∴3A π=或23
A π
=
……………………………6分
当3A π=时，在ABC
∆中，由正弦定理得，sin
sin BC AC
A B
=，
∴2sin 2sin 3AC A B BC ⨯
⋅=
==， ……………………………………7分 ∵BC AC >，∴3
B A π
<=，∴cos 3B =， ………………………………8分
∴1sin sin()sin cos cos sin 23236
C A B A B A B =+=+=
+⨯=，…9分
1 2 3 2 3 3 7
1 0 1 4 7 5 4
2
3 2 甲 乙
∴11323323sin 2322ABC S AC BC C ∆++=
⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=．…………………10分 同理可求得,当23
A π
=
时, 11323323sin 2322ABC S AC BC C ∆--=
⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= …………………12分 （注：本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和ϕ方法众多，只要言之有理并能正确求出即给分）.
5（本题满分12分）
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示 （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：2222222
981026109466++++++=，236112136472
222222=++++++）
解：（1）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23……………………2分
（2） 217
32
232224151714=++++++=甲x ……………………3分
12131123273130
217
x ++++++==乙 ………………………4分
()()()()()()()2222222
221-1421-1721-1521-2421-2221-2321-32236
7
7
S ++++++=
=
甲
…………………………………………………………………5分
()()()()()()()2222222
221-1221-1321-1121-2321-2721-3121-30466
7
7
S ++++++=
=
乙
……………………………………………………………6分
22S 乙甲<∴S ，从而甲运动员的成绩更稳定 ………………………………7分
（3）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49 …8分
其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲得17分有3场，甲得15分有3场，甲得24分有4场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得32分有7场，共计26场 ……10分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为26
49
P =
………………………………12分 6. （本题满分14分）
如图，己知∆BCD 中，∠BCD = 900，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=450，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且EF//CD
（1）求证： EF ⊥平面ABC ；
（2）求此三棱锥A —BCD 的表面积；
（3）若E 、F 分别是AC 、AD 上的中点，求点A 到平面BEF 的
距离．
（1）证明：因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，
又在△BCD 中，∠BCD = 900，所以，BC ⊥CD ，又AB∩BC ＝B ，
所以，CD ⊥平面ABC ， ………………………………………………3分
又因//EF CD ，所以EF ⊥平面ABC ………………………4分
（2）因CD ⊥平面ABC ，所以CD ⊥AC ，CD ⊥BC ；又因AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥BC 、AB ⊥BD ； 所以三棱锥A-BCD 的四个面都是直角三角形。

因BC=CD=2，故
BD=；
又∠ADB = 450，故
BD=AB=
==
，所以：
1111222211112222682222ACD ABC BCD ABD S S S S S AB BC BC CD AB BD AC CD ∆∆∆∆=+++=
⋅+⋅+⋅+⋅=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+表分 （3）解：因EF ⊥平面ABC ，BE 在面BCD 内，所以，EF ⊥BE ，
又因E ，F 分别是AC ，CD 的中点，所以112EF CD =
=，又AB ⊥BC ，因此BE 是△ABC 的中线，
所以1122ABE ABC S S ∆∆==⨯=
12
BE AC ==
11122BEF S EF BE ∆=⋅=⨯=A 到面BEF 的距离为h, 因EF ⊥平面ABC ， 根据A BEF F ABE V V --=，所以1
133BEF ABE S h S EF ∆∆⋅=⋅
，32
ABE BEF S EF h S ∆∆⋅=== 所以，A 到面BEF
……………………………14分 7．（本小题满分12分）
(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)
（1） 解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
x x cos sin =+ …………… 1分
22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭. …………… 3分 由22242k x k ,π
π
π
ππ-+≤+≤+ …………… 4分
解得32244
k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z . …………… 5分 ∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-
++∈Z . ………… 6分 （2）解：由（1）可知)4sin(2 )(π
+=x x f ，
∴43f ()sin π
αα-==，得13
sin α=. …………… 8分
∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ …………… 9分
2cos α=
…………… 10分
()212sin α=- …………… 11分
9=
. …………… 12分 8．（本小题满分12分）
(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
（1）解：∵甲班学生的平均分是85，
∴
92968080857978857
x +++++++=. …………… 1分 ∴5x =. …………… 2分 ∵乙班学生成绩的中位数是83，
∴3y =. …………… 3分
（2）解：甲班7位学生成绩的方差为
2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣
⎦40=. …… 5分 （3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D
()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D
F E D C B A P
()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件M ，则()710
P M =. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为
710. ……………12分
9．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ，
则PE ⊥平面ABCD . …………… 2分
∵AD ⊂平面ABCD ，
∴AD PE ⊥. …………… 3分
∵AD CD ⊥，CD PE E CD ,=⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ，
∴AD ⊥平面PCD . …………… 5分
∵PC ⊂平面PCD ，
∴AD PC ⊥. …………… 6分
（2）解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==，
在R t △PED
中，PE ==，…………… 7分 过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，
∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，
∴AB PE ⊥. …………… 8分
∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF
PE E =， ∴AB ⊥平面PEF . …………… 9分
∵PF ⊂平面PEF ，
∴AB PF ⊥. …………… 10分
依题意得2EF AD ==. …………… 11分
在R t △PEF 中，
3PF =
=， …………… 12分 ∴△PAB 的面积为162
S AB PF ==. ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6.。