2024届辽宁省沈阳市高三下册5月数学仿真模拟试卷(四模)附解析

2024届辽宁省沈阳市高三下学期5月数学仿真模拟试卷
（四模）
说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8小题 ，每小题 5分 ，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）21log ,2A y y x x ⎧
⎫==>⎨⎬⎩
⎭1,02x B y y x ⎧⎫
==>⎨⎬⎩⎭
A. B.()1,1A B =- A B B = C. D.()
[
)R 1,A B =+∞ ðA B B
= 2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.至少有一个黑球与都是黑球
B.至少有一个黑球与都是红球
C.恰有一个黑球与恰有两个黑球
D.至少有一个黑球与至少有一个红球
3.在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投
xOy P 3410x y ++=()3,4a = OP a
影向量为（ ）
A. B. C. D.34,55⎛⎫--
⎪⎝⎭
34,
55⎛⎫
⎪⎝⎭
3
4,2525⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
34,2525⎛⎫
⎪⎝⎭
4.已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的2
2
1x y +=A A 6π
B B 横坐标为（ ）
5.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列()()
*
ln f x nx x n =+∈N
11,f n n ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
n a
的前项和为（ ）11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n n S A.
B.
11
n +()()235212n n n n +++C.
D.
()
41n n +()()
235812n n n n +++6.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是（两组）双曲线.研究发现，函数的图象实际上是双曲线.进一步探究可以发现对勾函数，的1y x x =+
b
y ax x
=+()0,0a b >>图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到y ax =0x =1
y x x
=+焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（ ）
x C
C.
4-7.已知定义在上的函数满足：对任意，恒成立，其中为
R ()f x x ∈R ()()0f x f x '-<()f x '的导函数，则不等式的解集为（ ）
()f x ()()4123x e f x e f x +>-A. B. C. D.()
4,+∞()
1,4-()
,3-∞()
,4-∞8.经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称()()320f x ax bx cx d a =+++≠中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.()()
00,x f x 0x ()0f x ''=()f x '()f x ()f x ''()f x '若函数图象的对称点为，且不等式
()32f x x ax x b =+++()1,2-对任意恒成立，则（ ）
()()e e
32ln 13e x e mx x f x x x x ⎡⎤-+≥--+⎣⎦()1,x ∈+∞A. B.3
a =2
b =C.的值不可能是 D.的值可能是m e
-m 1
e
-
二 、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知，方程有一个虚根为，为虚数单位，另一个虚根为，,a b ∈R 32
30x x ax b -+-=1i +i z 则（ ）
A. B.该方程的实数根为13a =C. D.2i
z =-2024
1012
2z
=10.如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点
1111ABCD A B C D -2AB BC ==14AA =E 1BB 在棱上，则下列结论正确的是（ ）
F 1DD
A.若，C ，E ，F 四点共面，则1A BE DF =
B.存在点，使得平面E BD ∥1A CE
C.若，C ，E ，F 四点共面，则四棱锥的体积为定值1A 11C A ECF -
D.若，C ，E ，F 四点共面，则四边形的面积不为定值
1A 1A ECF 11.已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ()f x ()g x R ()f x x -()21g x +）
A.()00
f =B.
关于点对称()
f x x
()0,1C.()()()()()()()()()()()()
1121213120231202410g g g g g g -⨯++-⨯++⋅⋅⋅+-⨯+=D.()20231
g =三、填空题：本题共三小题，每小题 5分，共15分.
12.若点在圆外，则实数的取值范围为__________.
()0,12
2
2210x y ax y a +--++=a 13.某班成立了A ，B 两个数学兴趣小组，A 组10人，B 组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该测试中，A 组的平均成绩为130分，方差为115，B 组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生方差为__________.
14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Issac
Newton ，1643—1727）在《流
数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数
r 的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切
()y f x =0x r ()()00,x f x ()y f x =线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线
1l 1l x 1x 1x r ()()
11,x f x 的切线，设与x 轴交点的横坐标为，称为r 的2次近似值.一般地，过点
()y f x =2l 2l 2x 2x 作曲线的切线，记与
x 轴交点的横坐标为，并称为
()()()*
,n
n
x f x n ∈N ()y f x =1n l
+1n l
+1n x +1n x +r 的次近似值.若，取作为r 的初始近似值，则的正根的二次近
1n +()23f x x =-02x =()0f x =似值为__________.若，，设，，数列的前()3
32f x x x =+-11x =33
3322
n n n n x x a x +=+*
n ∈N {}n a 项积为.若任意，恒成立，则整数的最小值为__________.
n n T *
n ∈N n T λ<λ四 、解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且.
ABC △222sin sin sin 1cos cos C C B
B A
-=-（1）求角A 的大小；
（2）若为锐角三角形，点F 为的垂心，，求的取值范围.ABC △ABC △6AF =CF BF +16.（15分）如图，三棱柱中，侧面底面，，
111ABC A B C -11ABB A ⊥ABC 14AB BB ==，，点是棱的中点，，
.
AC =160B BA ∠=︒D 11A B 4BC BE =
DE BC ⊥
（1）证明：；
AC AB ⊥（2）求直线与平面所成角的余弦值.
1BB 1DEA 17.（15分）某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进1
2
p 球与否互不影响.（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；3
4
p =
（2）若
，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个13
34
p ≤≤球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
18.（17分）已知抛物线：，过点的直线与抛物线E 交于A ，B 两点，设抛物线
E 2
2x y =()1,1T E 在点A ，B 处的切线分别为和，已知与x 轴交于点M ，与x 轴交于点N ，设与的交1l 2l 1l 2l 1l 2l 点为P.
（1）证明：点P 在定直线上；
（2）若，求点P 的坐标；PMN △（3）若P ，M ，N ，T 四点共圆，求点P 的坐标.
19.记，若存在，满足：对任意，均有
()(){}
,,A l x l x kx m k m ==+∈R ()0l x A ∈()0l x A ∈，则称为函数在上的最佳逼近直线.
[]
()()[]
()()0,,max max x a b x a b f x l x f x l x ∈∈-≥-()0l x ()f x [],x a b ∈已知函数，.
()21f x x =-[]1,1x ∈-
（1）请写出在上的最佳逼近直线，并说明理由；()f x []1,1x ∈-（2）求函数在上的最佳逼近直线.
()223g x x x =+-[]1,1x ∈-
数学答案
1.【正确答案】D 【分析】
本题考查并集运算、交集运算、补集运算、指数函数与对数函数的值域，属于基础题.化简集合，，再对各选项逐项判定，即可求出结果.
A B 解：因为集合，{}21log ,12A y y x x y y ⎧⎫
==>
=>-⎨⎬⎩
⎭
，
{}1,0012x B y y x y y ⎧⎫
==>=<<⎨⎬⎩⎭
所以，故A 错误，D 正确；()0,1A B B == 所以，故B 错误；A B A = 因为，(][
)R ,01,B =-∞+∞ ð所以，故C 错误.()
(][)R 1,01,A B =-+∞ ð故选D.
2.【正确答案】C 【分析】
本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题.
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可得到结果.
解：A.“至少有一个黑球”发生时，“都是黑球”也会发生，故A 不互斥，当然不对立；B.“至少有一个黑球”说明有黑球，黑球的个数可能是1或2，而“都是红球”说明没有黑球，黑球的个数是0，
这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B 是对立的；
C.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”互斥，但不是必有一个发生，故不对立；
D.“至少有一个黑球”，黑球的个数可能是1或2，表明红球个数为0或1，这与“至少有1个红球”不互斥，因此它们不对立.
故选C.
3.【正确答案】C 【分析】
本题投影向量的计算，向量的数量积的计算，属于基础题.
根据题意，设的坐标为，求出的值，进而计算可得答案.
P (),m n OP a ⋅
解：根据题意，设的坐标为，所以，
P (),m n (),OP m n =
所以，
34OP a m n ⋅=+
又由点在直线上，则，
P 3410x y ++=341m n +=-故，
1OP a ⋅=-
故在上的投影向量.
OP a 234,2525OP a a
a ⋅⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭
故选：C.4.【正确答案】C 【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角和与差的余弦公式，属于基础题.记，的终边分别为，，由条件知，
，又αβOA OB
cos α=
sin α=，结合两角和与差的余弦公式计算即可求解.
πcos cos 6βα⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭解：记，的终边分别为，，
αβ
OA OB 由条件知，，
cos α=
sin α=故得
，1cos cos cos cos sin sin 666πππ2βααα⎛⎫=+
=-== ⎪
⎝
⎭
即点
B 故选C.
5.【正确答案】C 【分析】
本题考查数列与函数相结合，数列求和以及函数的导数的应用，裂项相消法求和，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
利用函数的导数，求出切线的斜率，得到，然后利用裂项相消法求解数列的前项和即可.
n a n 解：函数，
()(
)*
ln f x nx x n =+∈N 可得：，()1f x n x
'=+
因为函数的图象在点处的切线的斜率为，
()(
)*
ln f x nx x n =+∈N 11,f n n ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
n
a
可得.1
21n a n n n
=+
=，
()11111122241n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪⋅++⎝⎭
则数列的前项的和为.11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
n ()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪
++⎝⎭故选C.
6.【正确答案】D 【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，考查正切的二倍角公式，属于中档题.
首先确定旋转前双曲线的渐近线，得到该函数对应的双曲线焦点在，夹角（锐角）的y x =0x =角平分线上，根据斜率与倾斜角关系、二倍角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心l 率.
解：由题意得的两条渐近线分别为，，1
y x x
=+
y x =0x =所以该函数对应的双曲线焦点在，夹角（锐角）的角平分线上，y x =0x =l 所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线的倾斜角为
，x C π8
因为，所以（负值舍去），
22tan
8tan 141t π
πan 8
π==
-tan 18π=设此时双曲线方程为，，，
22
221x y a b
-=0a >0b >则
，1b
a
=故
.
e ===故选：D.7.【正确答案】D 【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与构造法的应用，考查了逻辑推理能力与运算
能力，属于中档题.设函数，结合已知条件，利用导数判断的单调性，不等式()()
x f x g x e
=
()g x ，即，得到()()()()
4123
123123x x x f x f x e f x e f x e e +-+-+>-⇔>
()()123g x g x +>-，解之即可.
123x x +>-解：设函数，()()x f x g x e
=
因为对任意，恒成立，所以，
x ∈R ()()0f x f x '-<()()()
0x
f x f x
g x e '-'=>∴在上单调递增.
()g x R ∵不等式，()()()()()()
44
2121123
123123123x x
x x x x e f x e f x f x f x e f x e f x e e e e
+++-+-+-+>-⇔>⇔>即，()()123g x g x +>-∴，解得，
123x x +>-4x <∴不等式的解集为，()()4123x e f x e f x +>-(),4-∞故选D.
8.【正确答案】A 【分析】
本题考查利用导数研究不等式恒成立，利用导数研究函数的最值，属于中档题.由题意可得且，由此列式求得与的值，可判断A ，B ；
()12f -=()10f ''-=a b ，等价于，利用放缩法求得不()()e
3
2
e
e ln 13e x
mx x f x x x x ⎡⎤-+≥--+⎣⎦()
e e 1e ln 1
x x x m x --++≤+等式右侧的最小值，可得的范围，由此判断C 与D.
m 解：由题意得，()1112f a b -=-+-+=∵，，
()2321f x x ax '=++()62f x x a ''=+∴，解得，，故A 正确，B 错误；()1620f a ''-=-+=3a =1b =此时，
()3231f x x x x =+++∵，∴等价于，1x >()()e
e 32e ln 13e x mx x
f x x x x ⎡⎤-+≥--+⎣⎦()e 1e e ln 1
x
x x m x --++≤+当时，，则（当且仅当时，等号成立）
，0x >e 1x x >+e e ln e
eln 1e x
x x
x x x --+=≥++e x =
从而
，故，故C ，D 错误.()e 1e eln e
e ln 1ln e 1
x x x x x x --++--≥=-++e m ≤故选A.9.9.BD
【详解】由是方程的根，得，
1i +3
2
30x x ax b -+-=()()()3
2
1i 31i 1i 0a b +-+++-=整理得，而，因此，解得，
()()24i 0a b a --+-=,a b ∈R 2040a b a --=⎧⎨-=⎩4
2
a b =⎧⎨=⎩对于A ，，A 错误；
4a =对于BC ，方程，变形为，
3
2
3420x x x -+-=()()
2
1220x x x --+=显然此方程还有一个实根1，另一个虚根，B 正确，C 错误；1i -对于D ，，D 正确.
()()
1012
2
10122024
1012
10121i 2i 2z ⎡⎤=-=-=⎣⎦
10.BCD
【详解】在长方体中，若，C ，E ，F 四点共面，平面平面
1111ABCD A B C D -1A 11ABB A ∥，平面平面，平面平面，则11CDD C 1A ECF 111ABB A A E =1A ECF 11CDD C CF =，同理，
1CF A E ∥1CE A F ∥对于A ，由，C ，E ，F 四点共面，得，则，，
1A 1A ECF □AE CF =11Rt A B E Rt CDF ≌△△于是，若E 不是棱的中点，则有，A 错误；
1B E DF =1BB BE DF ≠对于B ，当E 是棱的中点时，由选项A 知，F 为的中点，四边形是平行四边形，1BB 1DD BEFD 则，而平面，平面，因此平面，B 正确；EF BD ∥EF ⊂1A CE BD ⊂/1A CE BD ∥1A CE 对于C ，由长方体性质知，且平面，平面，
11BB CC ∥1CC ⊂11ACC 1BB ⊂/11ACC 则平面，同理可得平面，即点E ，F 到平面的距离为定值，1BB ∥11ACC 1DD ∥11ACC 11ACC 又的面积为定值，因此三棱锥和三棱锥的体积都为定值，11A CC △11E A CC -11F A CC -四棱锥的体积为定值，C 正确；
11C A ECF -
对于D ，当点E 为中点时，是菱形，，
1BB 1A ECF □EF =1
AC ==
四边形的面积为
，当点与点重合时，F 与D 重合，1A ECF 11
2
EF AC ⋅=E 1B
四边形为矩形，面积为，四边形的面积不为定值，D 1A ECF 11A B CD 2=1A ECF 正确.11.BC
【详解】假设，则，则，与都为偶函()1f x x =+()1g x =()1f x x -=()f x x -()211g x +=数，
则所设函数符合题意，此时，故A 错误；
()1f x x =+()01f =因为为偶函数，所以，即，
()f x x -()()f x x f x x -=-+()()
2f x f x x x
-+=-令，则，所以关于点对称，故B 正确；()()
f x h x x
=
()()2h x h x +-=()h x ()0,1又，，所以，
()()222g g +-=()()22g g =-()()221g g =-=由，得，则，所以，()()2g x g x +-=()()002g g +-=()()401g g ==()()242g g +=由知函数周期为4，则的周期也为4，则
()()4g x g x +=()g x ()()1g x g x ⋅+()()()()()()()()()()()()
112121312023120241g g g g g g -⨯++-⨯++⋅⋅⋅+-⨯+()()()()()()()()122320232024202412023
g g g g g g g g =++⋅⋅⋅+-+-()()()()()()()()50612233445g g g g g g g g =+++⎡⎤⎣⎦
()()()()20242025202412023
g g g g --+-()()()()()()()()()()506241*********
g g g g g g g g ⎡⎤=++--+-⎣⎦，所以C 正确.
()()506411120230g g =⨯--+-=因为为偶函数，所以，
()21g x +()()2121g x g x +=-+
所以函数的图象关于直线对称，即，即，()g x 1x =()()11g x g x +=-()()2g x g x +=-因为，所以，所以，()()f x x f x x -=-+()()11f x f x ''-=--+()()2g x g x +-=则，故，
()()22g x g x ++=()()242g x g x +++=所以，所以，又，，()()4g x g x +=()()20233g g =()()13g g -=()()04g g =所以，所以无法确定的值，所以D 错误；()()()()13112g g g g +=+-=()2023g 12.1a >13.265
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.【详解】依题意，，，，130A x =2
115A s =110B x =2
215B s =∴（分），
1030
13011011510301030
x =
⨯+⨯=++∴全班学生的平均成绩为115分.全班学生成绩的方差为
()()
222
22103010301030A A B B s s x x s x x ⎡⎤⎡⎤
=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++.
()()1030
115225215258518026510301030=
⨯++⨯+=+=++14.
297
56
【详解】，切线方程为，
()2f x x '=()()2n n n y x x x f x =-+故，
()()3
1313
222n n n n n n n n n
f x x x x x x f x x x +'-=-=-=+当时，，.02x =100133712244x x x =
+=+=2111317697
2224756
x x x =+=⨯+=，，切线方程为，
()332n n n f x x x =+-()2
33n n f x x '=+()()()n n n y f x x x f x '=-+
则，，3122233n n n x x x ++=+313
221
33n n n n n n
x x x x x a ++==+故，121111321
1
n n n n n n n n x x x x T a a a x x x x x λ--++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=<函数为增函数，，，故，
()332f x x x =+-13028f ⎛⎫=-<
⎪⎝⎭()110f =>1,12r ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
故
，即，为整数，.11
12
n x +<<1112n x +<<λ
min 2λ=15.【正确答案】（1）3
A π
=（2
）(
⎤
⎦
16.【正确答案】（1）证明见解析；（2解：（1）
由题意得，即.
1DA DA ⊥DA AB ⊥因为平面平面，且交线为，11ABB A ⊥ABC AB 由，平面，得平面.DA AB ⊥DA ⊂11ABB A DA ⊥ABC 由平面，得，.
BC ⊂ABC DA BC ⊥DA AC ⊥因为，，且平面，DE BC ⊥DA DE D = ,DA DE ⊂DAE 所以平面.
BC ⊥DAE 由平面，得.
AE ⊂DAE BC AE ⊥设，，有，解得：即BE t =3CE t =()2
2
2
2
3BA t AC t -=-2t =2
BE =所以，满足，即.
8BC =222
BA AC BC +=AC AB ⊥（2）以为坐标原点，，，分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标
A A
B A
C AD
系.
，，
，(0,0,
D ()
E (12,0,A -设平面的法向量，
1DEA (),,n x y z =
由，得到平面的一个法向量.110
0n DA n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
PBD ()0,2,1n = 又
，
(112,0,BB AA ==-
设直线与平面所成角的大小为，
1BB 1DEA θ则，
.
111
sin cos ,n BB n BB n BB θ⋅====⋅
cos θ=所以直线与平面
.1BB 1DEA 17.【正确答案】（1）153
256
（2）12
【详解】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，
i A i 表示乙在一轮比赛中投进个球，i B i ()
0,1,2,3i =则，，，；
()301128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()311313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()322313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()3
33311C 28
P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，.
()3
011464
P B ⎛⎫
== ⎪⎝⎭()1964P B =()22764P B =()32764P B =若乙在一轮比赛中获得一个积分，则乙胜利1次，
故其概率
()()()()()()
102021303132P P B A P B A P B A P B A P B A P B A =+++++()()()()()()()()()()()()
102021303132P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A =+++++.153
256
=
（2）设事件C 表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则
()()()()()()
203031P C P B A P B P A P B P A =++；
()22
332311313C 18888
8p p p p p ⎛⎫=-⨯++=+ ⎪⎝⎭设随机变量X 表示n 轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，显然，故，3213~,
88X B n p p ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭()321
38
8E X n p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭要满足题意，则，即，
()3E X ≥321338
8n p p ⎛⎫
+≥
⎪⎝⎭又，故，
13,34p ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
3
23
1388
n p p ≥
+令，，()321388f x x x =
+13,34x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
则在恒成立，()()3208f x x x '=
+>13,34x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦故在上单调递增，()f x 13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦
又的最大值为()f x 31354512
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭则
的最大值为，321388p p +135512
的最小值为
，3231388
p p +512
45
而512
111245
<
<故理论上至少要进行12轮比赛.18.【正确答案】（1）1y x =-（2）或()0,1-()2,1（3）()
3,2P 解：（1）由，得，，设，，，
2
2x y =22x y =y x '=211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2
2
2,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭(),P P P x y 所以方程为：，整理得.1l ()21112x y x x x =-+2
112
x y x x =-
同理可得，方程为：2l 22
22
x y x x =-
联立方程方程解得，1l 2l 122P x x x +=
12
2
P x x
y =因为点T 在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交，
AB 设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，
AB ()11y k x =-+2
2220x kx k -+-=故，所以，122x x k +=1222x x k =-所以，，可知P x k =1P y k =-1P P y x =-所以点在定直线上.
P 1y x =-（2）在，的方程中，令，得，，1l 2l 0y =1,02x M ⎛⎫
⎪⎝⎭2,02x N ⎛⎫
⎪⎝⎭
所以面积PMN
△()12121128P S MN y x x x x ==-=故或0k =2
k =
所以点P 的坐标为或()0,1-()2,1（3）若，则，重合，与题设矛盾.10x =P N 抛物线焦点，由得直线斜率，
10,2F ⎛⎫ ⎪⎝
⎭1,02x M ⎛⎫
⎪⎝⎭MF 111MF MP
k x k =-=-可知，同理，所以是外接圆的直径.MF MP ⊥NF NP ⊥PF PMN △若点T 也在该圆上，则.TF TP ⊥由，得直线的方程为.1
2
TF k =
TP ()211y x =--+又点在定直线上，P 1y x =-联立两直线方程得41,33P ⎛⎫
⎪⎝⎭
19.解：（1）在上的最佳逼近直线为.()f x []1,1x ∈-()012
l x =-易知在上单调递减，在上单调递增，()f x [)1,0-(]0,1且，，()()()max 110f x f f =-==()()min 01f f x ==-进而有（*）[]
()[][]22
1,11,11,11111max max 1max 2222x x x f x x x ∈-∈-∈-⎛⎫⎛⎫--
=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由的图象特点可知，对任意，均有
()f x ()l x A ∈[]
()()[]
()()()()(){}
1,11,1max max
1(1),11,00x x f x l x f l f l f l ∈-∈--≥-----[]
{}
1,1max ,,1x k m k m m ∈-=+---下面讨论，的大小：
k m +k m -①若，至少有一个大于等于
，则，
k m +k m -12[]()()1,11
max 2
x f x l x ∈--≥②若，两个都小于
，则，，k m +k m -121122k m -<+<11
22
m k -<-<
所以，进而，所以1122m -
<<31122m -<--<-112
m -->即[]
()()1,11
max 2
x f x l x ∈-->
由①②以及（*）式可知成立[]
()()[]
()()01,11,11max max 2
x x f x l x f x l x ∈-∈--≥-=
且当时等号成立.()01
2
l x =-
进而在上的最佳逼近直线为()f x []1,1x ∈-()012
l x =-（2）易知点，在函数的图象上，
()1,4--()1,0()g x 设，再令，则()()21h x x =-()()()x g x h x ϕ=-()21x x ϕ=-由（1）问可知在上的最佳逼近直线为()21x x ϕ=-[]1,1x ∈-()12
l x =-所以[]
()()[]
()()()
1,11,1max max x x x l x g x h x l x ϕ∈-∈--=--[]
()()()01,11max 2
x g x h x l x ∈-≥--≥
进而在上的最佳逼近直线为.()g x []1,1x ∈-()()0522
y h x l x x =+=-。