甘肃高二高中数学期中考试带答案解析

甘肃高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若命题“或”为真，“非p”为真，则（）
A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假
2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是( )
A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1
3.已知命题：，，那么下列结论正确的是( )
A．，B．，
C．，D．，
4.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.的一个必要不充分条件是（）
A．－＜x＜3B．－＜x＜0
C．－3＜x＜D．－1＜x＜6
6.已知方程的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）
A．B．C．或D．
7.抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则的值为（）A．5B．6C．8D．10
8.已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有（）
A．4条B．3条C．2条D．1条
9.双曲线的焦点为、，以为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
10.椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于（）
A．2B．C．D．
11.已知点在抛物线上，为抛物线焦点，若, 则点到抛物线准线的距离等于
（）
A．2B．1C．4D．8
12.圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是若成等比数列，
则此椭圆的离心率为 ( )
A．B．C．D．
二、填空题
1.抛物线上的点到直线的距离的最小值是
2.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 .
3.已知是圆的动弦，且，则中点的轨迹方程是
4.已知直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的取值范围是
三、解答题
1.（10分）给定两个命题, ：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
2.已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为,求此双曲线的方程.
3.（12分）已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围．
4.（12分）已知点的坐标分别为,直线相交于点，且它们的斜率之积是，
试讨论点的轨迹是什么。

5.（12分）已知抛物线, 过点引一弦，使它恰在点被平分，求这条弦所在的直线的方程.
6.（12分）已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线的斜率为1时，坐标原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程
（2）椭圆上是否存在点，使得当直线绕点转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有
满足条件的点的坐标及对应直线方程；若不存在，请说明理由。

甘肃高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.若命题“或”为真，“非p”为真，则（）
A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假
【答案】B
【解析】命题“或”为真，说明与中至少有一个是真命题，“非”为真说明为假命题，所以为真命题.
【考点】本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.
点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.
2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是( )
A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1
【答案】D
【解析】因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以设椭圆标准方程为：，因为长轴长为，所以，又因为离心率为，所以，所以，所以所以椭圆的方程
为+=1.
【考点】本小题主要考查了椭圆标准方程的求法，考查学生对椭圆标准方程基本量的理解和掌握.
点评：解题的关键在于掌握椭圆标准方程和基本量并熟练应用，比如长轴长是，有的同学会误认为是而导致
计算错误.
3.已知命题：，，那么下列结论正确的是( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】命题是特称命题，它的否定是全称命题.
【考点】本小题主要考查了特称命题的否定.
点评：解决此类问题的关键是掌握好全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
4.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】题目中所给方程可以化成：，应为，所以，所以表示焦点在轴上的椭圆；若表示焦点在轴上的椭圆，需要，所以，所以“”是“方程
表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件.
【考点】本小题主要考查了椭圆的标准方程和充要条件的判断.
点评：首先应该把椭圆方程化成标准方程，然后注意两种标准方程的本质区别即可；判别充要条件时要分清哪个是条件，哪个是结论.
5.的一个必要不充分条件是（）
A．－＜x＜3B．－＜x＜0
C．－3＜x＜D．－1＜x＜6
【答案】D
【解析】解不等式，可得：，要求的一个必要不充分条件，则应该是所求的条件的一部分，只有D符合要求.
【考点】本小题主要考查了一元二次不等式的解法和必要不充分条件的求法.
点评：解决此类问题容易出现的错误是弄错所求条件与的关系，应分清谁是条件谁是结论.
6.已知方程的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】因为方程的图象是双曲线，所以，所以或 .
【考点】本小题主要考查了双曲线标准方程的判断和应用.
点评：记准双曲线的标准方程得出是正确解题的基础，然后正确解出也是必不可少的步骤.
7.抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则的值为（）A．5B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】抛物线的准线为，因为两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的焦点，所以两点到准线的距离分别是，所以的值为
【考点】本小题主要考查了过抛物线的焦点的弦的长度问题，考查学生数形结合思想的运用和运算求解能力.
点评：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，这是非常好用也经常用到的一条性质.
8.已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有（）
A．4条B．3条C．2条D．1条
【答案】B
【解析】因为双曲线方程为，所以是双曲线的右顶点，所以过并且和轴垂直的直线是双
曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条.
【考点】本小题主要考查了直线与双曲线的位置关系.
点评：考查双曲线与直线的位置关系时，不要忘记和双曲线的渐近线进行比较,而且还要记住只有一个交点不一定是相切.
9.双曲线的焦点为、，以为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不妨设双曲线的标准方程为，所以，因为是以为边作正三角
形，所以第三个顶点的坐标为，因为双曲线恰好平分另外两边，所以的中点在双曲线上，
代入双曲线标准方程有：，代入整理得：两边同时除以得：
解得
【考点】本小题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了学生数形结合分析问题、解决问题的能力和运算求解能力. 点评：求解圆锥曲线的题目，一定要画图象辅助答题，另外这类题目一般运算量比较大，要仔细计算，准确解答.
10.椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于（）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的另一个焦点为，因为椭圆上点到焦点的距离为2，即,又
，所以.因为是的中点，是的中点，所以
【考点】本小题主要考查了椭圆上的点的性质的应用，和三角形中位线的判断和应用.
点评：椭圆的定义是比较重要的性质，经常用来解题.
11.已知点在抛物线上，为抛物线焦点，若, 则点到抛物线准线的距离等于（）
A．2B．1C．4D．8
【答案】C
【解析】抛物线的准线为，因为为抛物线上的点，所以到焦点的距离等于它到
准线的距离，所以，所以点到抛物线准线的距离等于.
【考点】本小题主要考查了抛物线上点到准线的距离，及学生的分析求解能力.
点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质要灵活应用.
12.圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是若成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为成等比数列，所以.因为，所以，所以，所以
【考点】本小题主要考查了等比数列的性质和椭圆离心率的求法，考查学生综合运用所学知识的能力.
点评：求椭圆的离心率，关键是求出，而不是要把分别求出来.
二、填空题
1.抛物线上的点到直线的距离的最小值是
【答案】
【解析】设与直线平行与抛物线相切的直线方程为：，由
得：由得，所以直线与直线的距离即为
抛物线上的点到直线的距离的最小值.
【考点】本小题主要考查了直线与抛物线相切、两条平行直线间的距离等，考查了学生利用所学知识灵活转化问题的能力.
点评：解决本小题的关键是把问题转化成了求已知直线与和已知直线平行且和抛物线相切的直线之间的距离.
2.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】∪
【解析】命题“”是真命题，即有解，所以，所以或
【考点】本小题主要考查了利用命题的真假求参数的范围.
点评：解决问题的关键在于把问题转化成不等式有实数解，进而用判别式来判断.
3.已知是圆的动弦，且，则中点的轨迹方程是
【答案】
【解析】圆的圆心为坐标原点，半径为，又因为，所以圆心到弦的距离为，设中
点的坐标为，所以，即.
【考点】本小题主要考查了相关点法求轨迹方程.
点评：求轨迹方程，要把握“求谁设谁”的原则，方法主要有“相关点法”和“直接代入法”等.
4.已知直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的取值范围是
【答案】
【解析】由得：（1）
直线与双曲线的右支相交于不同两点，即方程（1）有两个不同的正实数解，所以，解得.
【考点】本小题主要考查了直线与双曲线的位置关系和根与系数的关系的应用，考查了分析问题解决问题的能力和运算求解能力.
点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，运算量一般比较大，要仔细计算，以防出错.
三、解答题
1.（10分）给定两个命题, ：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】若命题为真，则；……2分
若命题为真，则即. ……4分
因为与中有且仅有一个为真命题，
所以若真假，则：，即；……6分
若有假真，则：，即. ……8分
所以实数的取值范围为：. ……10分
【考点】本小题主要考查由复合命题的真假求参数的取值范围，考查了学生分类讨论思想的应用和运算求解能力. 点评：解决此种问题，一般是先求出命题为真时的取值范围，再判断命题的真假，如果命题为假，则取命题为真时的范围的补集即可，这样不大容易出错.
2.已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为,求此双曲线的方程.【答案】或
【解析】设双曲线方程为,
当时，,,，此时焦点为(0,),
由题意得3=,解得，双曲线方程为；……6分
当时，,,,此时焦点为(,0),
由题意得3= ,解得,双曲线方程为,即.
∴所求双曲线方程为或. ……12分
【考点】本小题主要考查了已知双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离求双曲线方程的方法，考查学生的运算求解能力.
点评：已知渐近线方程为，设双曲线方程为，这种设法经常用到，而且比设双曲线标准方程再用待定系数法求双曲线方程运算要简单，值得应用.
3.（12分）已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】
【解析】由命题知；…4分
又有.…8分
因为非是的充分不必要条件，即，
即. …12分
【考点】本小题主要考查由充分、必要条件求参数的范围，考查了学生的逻辑推理能力.
点评：充分、必要条件经常应用于集合、函数、数列、几何等知识，平时学习时要关注在这些知识点上的应用类型和应用方法.
4.（12分）已知点的坐标分别为,直线相交于点，且它们的斜率之积是，试讨论点的轨迹是什么。

【答案】（1）当时，的轨迹是圆；
（2）当时，的轨迹是椭圆；
（3）当时,的轨迹是双曲线
【解析】设的坐标为，
由直线的斜率之积是，得：，…6分
所以当时，方程变为，为圆；…8分
当时，的轨迹是椭圆；…10分
当时,的轨迹是双曲线. …12分
【考点】本小题主要考查了直接法求轨迹方程，并根据参数的范围判断轨迹是什么图形.
点评：掌握好圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的标准方程的特点，是解决此类问题的关键.
5.（12分）已知抛物线, 过点引一弦，使它恰在点被平分，求这条弦所在的直线的方程.
【答案】
【解析】设交抛物线于两点，
由两式相减得：得，…6分
又是的中点，∴，
∴直线l的斜率＝3，∴直线的方程为. …12分
【考点】本小题主要考查了利用“点差法”求斜率，考查了学生的运算求解能力.
点评：“点差法”是解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的比较好用的一种方法，其中蕴含了“设而不求”的思想方法.
6.（12分）已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线的斜率为1时，坐标原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程
（2）椭圆上是否存在点，使得当直线绕点转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有
满足条件的点的坐标及对应直线方程；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）（2）存在，坐标为或.
【解析】(1)因为直线过右焦点，斜率为1，
所以直线的方程为：即.
坐标原点到直线的距离为，所以，所以. …2分
因为离心率为，所以所以，
所以椭圆C的方程为. …4分
(2)因为直线过右焦点，所以当直线斜率不存在时，直线方程为：
所以所以,为右端点时，，
所以此时没有符合要求的点.
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
由得：. …7分
设点的坐标分别为，，
则，因为，，
所以，
所以，
所以点的坐标为，且符合椭圆方程，
所以，解得
所以点的坐标为或. …12分
【考点】本小题主要考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系和平面向量的坐标运算，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.
点评：设直线方程时要注意斜率存在与不存在两种情况，求解直线与椭圆位置关系问题时，通常要联立方程组，运算量比较大，应该仔细计算，并且要注意通性通法的应用，加强解题的规范性.。