2018高考数学文理一轮复习检测：第二章 函数、导数及其应用 第4讲 含答案 精品

第二章 第四讲
A 组基础巩固
一、选择题
1．(教材改编题)若幂函数f (x )的图象经过点(3，3
3
)，则其定义域为导学号 30070279( A )
A ．{x |x ∈R ，且x >0}
B ．{x |x ∈R ，且x <0}
C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}
D ．R
[解析] 设f (x )＝x α
，所以3α
＝33，α＝－1
2
，所以f (x )＝x －1
2，所以其定义域为{x |x >0}．故
选A.
2．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是导学号 30070280( B )
A ．－1
B ．2
C ．3
D ．－1或2
[解析] 因为f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.故选B.
3．(2017·四川省武胜中学高三上学期第一次月考数学试题)不等式ax 2－x ＋c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝ax 2＋x ＋c 的图象大致为导学号 30070281( C )
[解析] 由已知得a <0，且y ＝ax 2＋x ＋c 两零点为－2,1，故选C.
4．(2017·福建省福州市格致中学鼓山校区高三上学期期末数学试题)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为导学号 30070282( B )
A ．9
B ．9
2
C ．3
D ．322
[解析] 令f (a )＝(3－a )(a ＋6)＝－(a ＋32)2＋81
4，而且－6≤a ≤3，利用二次函数的性质求
得函数f (a )的最大值，
即可得到所求式子的最大值．
解：令f (a )＝(3－a )(a ＋6)＝－(a ＋32)2＋81
4
，而且－6≤a ≤3，由此可得函数f (a )的最大值
为814
， 故(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为
814＝9
2
，故选B. [点拨] 本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 5．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是导学号 30070283( B )
A ．①y ＝x 13
，②y ＝x 2
，③y ＝x 12
，④y ＝x －
1
B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2
，③y ＝x 12，④y ＝x －
1
C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3
，③y ＝x 12
，④y ＝x －
1
D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12
，③y ＝x 2，④y ＝x －
1
[解析] 图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A 、D 两项；图象②对应的幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C 项．故选B.
6．(2017·广州市执信中学第一学期期中考试卷数学理试题)已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是导学号 30070284( D )
A ．(0，12
]
B ．[1
2
，3]
C ．(0,3]
D ．[3，＋∞)
[解析] 由已知得f (x )∈[－1,3]，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
2－a ≤－1
2a ＋2≥3，∴a ≥3，故选D.
7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是导学号 30070285( D )
[解析] 由A 、B 、C 、D 四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2.因为a ＝c ，所以x 1x 2＝c
a ＝1，比较四个选项，可知选
项D 的x 1<－1，x 2<－1，所以D 不满足．
8．(2016·上海静安期末)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是导学号 30070286( C )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,2]
C ．[－1,2]
D ．[2,5)
[解析] 二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1,2]．
二、填空题
9．(易错题)已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －2
为奇函数，则m ＝_3_.导学号 30070287
[解析] 因为f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m
－2
为幂函数，所以m 2－5m ＋7＝1，解得m ＝2或m ＝
3.又因为该函数为奇函数，所以m ＝3.
[易错提醒] 此题求出m ＝2或m ＝3后需根据幂函数的定义验证m ＝2不符合题意． 10．(2017·江苏省泰州市泰兴三中高三上学期第一次质检数学试题)已知函数f (x )＝mx 2＋x ＋m ＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m 的取值范围是 [－1
4
，0] .导学号 30070288
[解析] 讨论m ＝0时满足题意；m ≠0时，利用对称轴与区间端点的关系得到关于m 的不等式解之．
解：①m ＝0时，函数为f (x )＝x ＋2，在(－∞，2)是增函数满足题意；
②m ≠0时，要使已知函数在(－∞，2)上是增函数，只要⎩⎪⎨⎪⎧ m <0－12m ≥2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥－14
m <0，
∴实数m 的取值范围是[－1
4，0]；
故答案为：[－1
4
，0]．
[点拨] 本题考查了已知二次函数在某个区间的单调性，求参数问题；主要结合对称轴与区间端点的位置解得．
11．如果函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a ＝_1_. 导学号 30070289
[解析] 因为函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区
间的端点取得．因为f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a >4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧
－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，
解得a ＝1.
[解法总结] 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型，轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是确定函数的对称轴与区间的位置关系，当含有参
数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，具体解法：二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )和对称轴方程x ＝m ，结合二次函数的图象求解．常见有三种类型：①顶点固定，区间也固定；②顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；③顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值．
三、解答题
12．已知幂函数f (x )＝x (m
2＋m )－1
(m ∈N *).导学号 30070290
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．
[答案] (1)[0，＋∞)，增函数 (2)[1，3
2
)
[解析] (1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m 2＋m 为偶数，
∴函数f (x )＝x (m
2＋m )－1
(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)∵函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2
(m 2＋m )－1
，即212
＝2(m
2＋m )－1
，
∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *
，∴m ＝1，f (x )＝x 1
2
. 又∵f (2－a )＞f (a －1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32
，
故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.
满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32
)．
13．(2016·广东汕头四中月考)已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值为12.导学号 30070291
(1)求f (x )的解析式；
(2)设函数f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式．
[解析] (1)因为f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)，所以可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)． 所以f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a ＝12.
所以a ＝2.
所以f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R )． (2)由(1)知f (x )＝2x 2－10x ＝2(x －52)2－25
2，
开口向上，对称轴为x ＝5
2
.
①当t ＋1≤52，即t ≤3
2时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，所以g (t )＝2(t ＋1)2－10(t ＋1)＝2t 2
－6t －8；
②当t ≥5
2
时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，所以g (t )＝2t 2－10t ；
③当t <52<t ＋1，即32<t <52时，f (x )以对称轴处取得最小值，所以g (t )＝f (52)＝－25
2
.
综上所述，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2t 2－6t －8，t ≤3
2
，
－252，32<t <5
2
，
2t 2
－10t ，t ≥52
.
B 组能力提升
1．(教材改编题)若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则y ＝f (x )的图象是导学号
30070292( C )
[解析] 设幂函数的解析式为y ＝x α.因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，所以2＝4α，解得α＝1
2.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是
增函数．当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方．故选C.
2．(2017·上海市崇明县高考模拟数学试题)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于导学号 30070293( D )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
[解析] 由一元二次方程根与系数的关系得到a ＋b ＝p ，ab ＝q ，再由a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a
，b 的方程组，求得a ，b 后得答案．
解：由题意可得：a ＋b ＝p ，ab ＝q ， ∵p ＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，
又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a －2ab ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝b －2ab ＝4②.
解①得：⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4
b ＝1；解②得：⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝4
. ∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4， 则p ＋q ＝9. 故选D.
[点拨] 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
3．(2016·吉林松原月考)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则导学号 30070294( C )
A ．f (m ＋1)≥0
B ．f (m ＋1)≤0
C ．f (m ＋1)>0
D ．f (m ＋1)<0
[解析] ∵f (x )的对称轴为x ＝－1
2，f (0)＝a >0，∴f (x )的大致图象如图
所示．
由f (m )<0，得－1<m <0， ∴m ＋1>0，∴f (m ＋1)>f (0)>0.
4．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝导学号 30070295( C )
A ．a 2－2a －16
B ．a 2＋2a －16
C ．－16
D ．16
[分析] 本题采用数形结合的方法，在同一坐标系中画出函数的图象，由图象求解． [解析] 令f (x )＝g (x )，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2.f (x )与g (x )的图象如图．
由图象及H 1(x )的定义知H 1(x )的最小值是f (a ＋2)，H 2(x )的最大值为g (a －2)，∴A －B ＝f (a ＋2)－g (a －2)＝(a ＋2)2－2(a ＋2)2＋a 2＋(a －2)2－2(a －2)2＋a 2－8＝－16.
5．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.导学号 30070296
(1)求a ，b 的值；
(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． [答案] (1)a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3 (2)(－∞，2]∪[6，＋∞)
[解析] (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a ＞0时，f (x )在[2,3]上为增函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝0.
当a ＜0时，f (x )在[2,3]上为减函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧
f (3)＝2，f (2)＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧
9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3. (2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0, 即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.
∴m ≤2或m ≥6.
故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．。