考研数学一(矩阵)模拟试卷9(题后含答案及解析)

考研数学一（矩阵）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是( )
A．AB=0A=0且B=0。

B．A=D｜A｜=0。

C．｜AB｜=0｜A｜=0或｜B｜=0。

D．｜A｜=1A=E。

正确答案：C
解析：取，则AB=O，但A≠O，B≠O，A项不成立。

取，B项不成立。

取，D项不成立。

｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故有｜A｜=0或｜B｜=0，反之亦成立，故选C。

知识模块：矩阵
2．设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是( )
A．A+B是对称矩阵。

B．AB是对称矩阵。

C．A*+B*是对称矩阵。

D．A—2B是对称矩阵。

正确答案：B
解析：由题设条件，则(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，所以有(A —2B)T=AT—(2BT)=A—2B，从而A、D两项是正确的。

首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。

(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。

而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。

从而(A*)T=(AT)*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。

结合选项A可知C项是正确的。

因为(AB)T=BTAT=BA，从而B项不正确，故选B。

注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。

知识模块：矩阵
3．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。

若A3=0，则( )
A．E—A不可逆，E+A不可逆。

B．E—A不可逆，E+A可逆。

C．E—A可逆，E+A可逆。

D．E—A可逆，E+A不可逆。

正确答案：C
解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。

故E —A，E+A均可逆，故选C。

知识模块：矩阵
4．设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )
A．&nbsp
B．&nbsp
C．&nbsp
D．&nbsp
正确答案：B
解析：若矩阵A的行列式｜A｜≠0，则A可逆，且A—1=。

因为分块矩阵的行列式=(—1)2×2｜A｜｜B｜=2×3=6，即分块矩阵可逆，所以故选B。

知识模块：矩阵
5．设，则B=( )
A．P1P3A。

B．P2P3A。

C．AP3P2。

D．AP1P3。

正确答案：B
解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3，描述的是矩阵A作列变换，故应排除。

该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。

而P2P3A正是后者，故选B。

知识模块：矩阵
6．设A=，B是4×2的非零矩阵，且AB=0，则( )
A．a=1时，B的秩必为2。

B．a=1时，B的秩必为1。

C．a≠1时，B的秩必为1。

D．a≠1时，B的秩必为2。

正确答案：C
解析：当a=1时，易见r(A)=1；当a≠1时，则即r(A)=3。

由于AB=0，A 是3×4矩阵，所以r(A)+r(B)≤4。

当a=1时，r(A)=1，1≤r(B)≤3。

而B是4×2矩阵，所以B的秩可能为1也可能为2，因此A、B两项均不正确。

当a≠1时，r(A)=3，必有r(B)=1，D项不正确。

故选C。

知识模块：矩阵
7．设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC 的秩为r1，则( )
A．r＞r1。

B．r＜r1。

C．r=r1。

D．r与r1的关系依C而定。

正确答案：C
解析：因为B=AC=EAC，其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵B与A等价，从而r(B)=r(A)，故选C。

知识模块：矩阵
填空题
8．如果A=，且B2=E，则A2= ________。

正确答案：A
解析：已知A=且B2=E，则A2==A。

即A2=A。

知识模块：矩阵
9．与矩阵A=可交换的矩阵为________。

正确答案：，其中x2和x4为任意实数
解析：设矩阵B=与A可交换，则由AB=BA可得即x3= —2x2，x1=4x2+x4，所以B=，其中x2和x4为任意实数。

知识模块：矩阵
10．设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=，则(B—2E)—1= ________。

正确答案：
解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B—2E，于是有AB—2A—3B+6E=6E，则有(A—3E)(B—2E)=6E。

从而知识模块：矩阵
11．设= ________。

正确答案：
解析：｜A｜=1，｜B｜=(2—1)(3—1)(3—2)=2，所以A，B均可逆，则也可逆。

由A*A=AA*=｜A｜E可得｜A*｜=｜A｜2—1=1，同理可得｜B*｜=｜B｜3—1=4，且知识模块：矩阵
12．已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，—1)T，α3=(—1，1，0)T，且A α1=(2，1)T，Aα2=(—1，1)T，Aα3=(3，—4)T，则A= ________。

正确答案：
解析：利用分块矩阵，得A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=，那么知识模块：矩阵
13．设A=，r(A)=2，则a= ________。

正确答案：0
解析：对A作初等行变换，则有当a=0时，r(A)=2。

知识模块：矩阵
14．已知n阶矩阵A=，则r(A2—A)= ________。

正确答案：1
解析：因为A2—A=A(A—E)，且矩阵A=可逆，所以(A2—A)=r(A—E)，而r(A—E)=1，所以r(A2—A)=1。

知识模块：矩阵
15．已知A=，B是三阶非零矩阵，且BAT=0，则a= ________。

正确答案：
解析：根据BAT=0可知，r(B)+r(AT)≤3，即r(A)+r(B)≤3。

又因为B≠0，因此r(B)≥1，从而有r(A)＜3，即｜A｜=0，因此于是可得a=。

知识模块：矩阵
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．已知A=，求An。

正确答案：将矩阵A分块，即将B改写成B=3E+P，于是Bn=(3E+P)n=3nE+Cn13n—1P+Cn23n—2P2，将C改写成C=，则C2=6C，…，Cn=6n—1C，所以涉及知识点：矩阵
设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。

17．计算并化简PQ。

正确答案：由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A—1有涉及知识点：矩阵
18．证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA—1α≠b。

正确答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b—αTA—1α)。

由此可知，Q可逆的充分必要条件是b—αTA—1α≠0，即αTA—1α≠b。

涉及知识点：矩阵
19．已知AB=A—B，证明：A，B满足乘法交换律。

正确答案：由AB=A—B可得E+A—B—AB=E，即(E+A)(E—B)=E，这说明E+A与E—B互为逆矩阵，所以(E—B)(E+A)=E，将括号展开得BA=A—B，从而可得AB=BA，即A，B满足乘法交换律。

涉及知识点：矩阵
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。

20．证明B可逆。

正确答案：设E(i，j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i，j)A，因此有｜B｜=｜E(i，j)｜｜A｜= —｜A｜≠0，所以矩阵B可逆。

涉及知识点：矩阵
21．求AB—1。

正确答案：AB—1=A[E(i，j)A]—1=AA—1E—1(i，j)=E—1(i，j)=E(i，j)。

涉及知识点：矩阵
22．设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。

证明：r(A)≤2。

正确答案：r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2。

涉及知识点：矩阵。