高中数学 第一章 计数原理滚动训练二 新人教A版选修23

第一章 计数原理
滚动训练二(§1.1～§1.3)
一、选择题
1．设二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫3x ＋3x n
的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b ＝80，
则n 的值为( ) A ．8 B ．4 C ．3 D ．2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C
解析 由题意a ＝4n ，b ＝2n
，∵a ＋2b ＝80， ∴4n ＋2×2n
－80＝0，
即(2n )2＋2×2n
－80＝0，解得n ＝3.
2．已知甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A ．150种 B ．180种 C ．300种 D ．345种 考点 排列的应用
题点 元素“在”与“不在”问题 答案 D
解析 由题知共有C 25C 16C 1
2＋C 15C 13C 2
6＝345(种)选法．
3．3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则不同的坐法种数为( )
A ．54
B ．60
C ．66
D ．72 考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 B
解析 记3位女性为a ，b ，c ，其丈夫依次为A ，B ，C,3位女性都相邻的可能情形有两类：第一类，男性在两端(如BAabcC )，有2A 3
3种坐法；第二类，男性在一端(如BCAabc )，有2A 22A 3
3种坐法，故共有A 3
3(2A 2
2＋2)＝36(种)坐法．仅有两位女性相邻的可能情形也有两类：第一类，这两人在一端(如abBACc )；第二类，这两人两端都有其他人(如AabBCc )，共有2A 2
3(1＋1)＝24(种)坐法．综上，满足题意的坐法共有36＋24＝60(种)．
4．9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组参加研究性学习活动，每组3人，则不同的分配方案种数为( ) A ．C 39C 36A 3
3
B.C 39C 36C 3
3A 33
C ．C 39C 36C 33
D ．以上都不对
考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 C
解析 分配方案分三步完成：第一步，从9名同学中选3人到数学学习小组，有C 3
9种方法；第二步，从其余的6名同学中选3人到物理学习小组，有C 3
6种方法；第三步，剩余的3名同学到化学学习小组，有C 3
3种方法．根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有C 39C 36C 3
3种．
5.⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1x (1＋x )4的展开式中，含x 2
的项的系数为( ) A ．10 B ．6 C ．4 D ．12 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 A
解析 根据乘法公式，得因式1＋1x
中的1和(1＋x )4展开式中含x 2的项相乘可得含x 2
的项；
因式1＋1x 中的1x
和(1＋x )4展开式中含x 3的项相乘可得含x 2的项．(1＋x )4
展开式的通项为T k
＋1
＝C k 4x k (k ＝0,1，…，4)，故⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1x (1＋x )4展开式中含x 2的项为1·C 24x 2＋1x
·C 34x 3＝10x 2
，即
含x 2
的项的系数为10.
6．从集合{1,2,3，…，10}中选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有( ) A ．10个 B ．16个 C ．20个 D ．32个 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题 答案 D
解析 因为这10个数中两数之和为11的共有5组，即(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以从10个数中任取5个数组成一个子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11的子集个数共有C 12C 12C 12C 12C 1
2＝32(个)．
7．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图1,2,3,4,5,6,7，所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有( )
A ．2 680种
B ．4 320种
C ．4 920种
D ．5 140种
考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 B
解析 先将7盆花全排列，共有A 7
7种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5A 33A 4
4(种)，故所求摆放方法有A 7
7－5A 33A 4
4＝4 320(种)．
8．在(ax ＋1)7
的展开式中，x 3
的系数是x 2
的系数和x 5
的系数的等比中项，则实数a 的值为( )
A.259
B.45
C.253
D.53 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案 A
解析 ∵(ax ＋1)7的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 7(ax )
7－k
，∴x 3的系数是C 47a 3，x 2的系数是C 5
7
a 2，x 5的系数是C 27a 5.∵x 3的系数是x 2的系数与x 5的系数的等比中项，∴(C 47a 3)2＝C 57a 2×C 27a 5，
∴a ＝259.
二、填空题
9．不等式A 2
n －1－n <7的解集为________． 考点 排列数公式
题点 解含有排列数的方程或不等式 答案 {3,4}
解析 由不等式A 2
n －1－n <7，得(n －1)(n －2)－n <7，整理得n 2
－4n －5<0，解得－1<n <5.又因为n －1≥2且n ∈N *
，即n ≥3且n ∈N *
，所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2
n －1－n <7的解集为{3,4}． 10．若(x －m )8
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 8x 8
，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 128
解析 由已知条件可得a 5＝C 3
8·(－m )3
＝－56m 3
＝56，∴m ＝－1， 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝28
，①
令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝0，② 由①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝28
＋0
2＝128.
11．若(1－2x )
2 017
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x
2 017
(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 017
2
2 017的值为________．
考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －1 解析 (1－2x )2 017
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x
2 017
，令x ＝12，则⎝
⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017
＝0，
其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017
2
2 017＝－1.
12．将A ，B ，C ，D ，E ，F 6个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答) 考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 480
解析 按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘2即可．当C 在左边第1个位置时，有A 5
5种排法，当C 在左边第2个位置时有A 24A 3
3种排法，当C 在左边第3个位置时，有A 23A 3
3＋A 22A 3
3(种)排法．所以不同的排法共有2(A 5
5＋A 24A 3
3＋A 23A 3
3＋A 22A 3
3)＝480(种)． 三、解答题
13．学校选派5名同学参加“华约”“北约”“卓越联盟”自主招生考试，每项考试至少选派1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题
解 可先分组，再分配，分两个步骤完成．先把5名同学分成三组：①一组3人，另两组各1人，有C 35C 12C 1
1A 22种方法；②一组1人，另两组各2人，有C 15C 24C 2
2
A 22
种方法．再把三组学生分配到“华
约”“北约”“卓越联盟”参加考试，有A 3
3
种方法．故不同的的选派方法共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12C 11A 22
＋C 15C 24C 2
2A 22A 3
3＝150(种)． 四、探究与拓展
14．若n ∈N *
，n <100，且⎝
⎛⎭
⎪⎫x 3＋1x
2n 的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n 的值的和是
________．
考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 答案 950
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k n (x 3)n －k
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2k ＝C k n x
3n －5k ，令3n －5k ＝0，得n ＝53k .当k ＝3,6，...，57时，n ＝5,10，...，95，故所有满足条件的n 的值的和是5＋10＋ (95)
19×(5＋95)
2
＝950. 15．已知(1－2x )n
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n (n ∈N *
)，且a 2＝60，求： (1)n 的值；
(2)－a 12＋a 222－a 3
23＋…＋(－1)n a
n
2n 的值．
考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 解 (1)因为T 3＝C 2
n (－2x )2
＝a 2x 2
， 所以a 2＝C 2
n (－2)2＝60，
化简可得n (n －1)＝30，且n ∈N *
， 解得n ＝6.
(2)T k ＋1＝C k
6(－2x )k
＝a k x k
，所以a k ＝C k
6(－2)k
， 所以(－1)
k a
k
2
k ＝C k
6，
－a 12＋a 222－a 323＋…＋(－1)n a
n
2n ＝C 1
6＋C 2
6＋…＋C 6
6＝26
－1＝63.。