课时作业1： 章末综合检测

章末综合检测
(时间：90分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有穷数列1,23,26,29，…，23n ＋6的项数是( )
A ．3n ＋7
B ．3n ＋6
C ．n ＋3
D ．n ＋2
2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( )
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32， 则S 10等于( )
A ．18
B ．24
C ．60
D ．90
4．已知数列{a n }为等比数列，a 1＝1，q ＝2，且第m 项至第n (m <n )项的和为112，则m ＋n 的值为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
5．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －
1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )
A ．第5项
B ．第12项
C ．第13项
D ．第6项
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，则使a n >0的最小正整数n 的值是( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )
A ．54钱
B ．43钱
C ．32钱
D ．53
钱 8．设等差数列{a n }的公差为2，前10项和为490，等差数列{b n }的公差为4，前10项和为240.以a k ，b k 为邻边的矩形内的最大圆的面积记为S k ，若k ≤18，则S k ＝( )
A ．π(2k ＋1)2
B ．π(2k ＋3)2
C ．π(k ＋1)2
D ．π(k ＋18)2
9．数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13
，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)， 若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )
A ．唯一存在，且为13
B ．唯一存在，且为3
C ．存在且不唯一
D ．不一定存在
10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
11．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56
是数列中的( ) A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项 D ．第51项
12．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，则S 60＝( )
A ．3 690
B ．1 830
C ．1 845
D ．3 660
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n
＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝ . 14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6
＝________. 15．已知{a n }是等差数列，d 为其公差，S n 是其前n 项和，若只有S 4是{S n }中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．
①d >0 ②a 4<0 ③a 5>0 ④S 7<0 ⑤S 8>0
16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是__ __.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5.
(1)求{a n }的通项公式a n ；
(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n .
18．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.
(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；
(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．
19．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22，
(1)该数列前多少项的和最大？最大和是多少？
(2)求数列{|a n |}的前n 项和．
20．数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＋S 4＝0， b 9＝a 1.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若c n ＝1(b n ＋16)(b n ＋18)
，求数列{c n }的前n 项和W n .
21．已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13
的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若c n ＝⎝
⎛⎭⎫a n －23n ，T n 为c n 的前n 项和，n ∈N *，求T n .
22．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3，a 2＋a 4，a 5成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1＋b 22＋…＋b n n
＝a n (n ∈N *)，{b n }的前n 项和为S n ，求使S n －na n ＋6≥0成立的正整数n 的最大值．
参考答案
(时间：90分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C
【解析】此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0， 公差为d ＝3，设3n ＋6是第x 项，则3n ＋6＝0＋(x －1)×3⇒x ＝n ＋3.
2．A
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，
又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋74
×11＝15.故选A. 3．C
【解析】由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，
即2a 1＋3d ＝0.①
又S 8＝8a 1＋562
d ＝32，则2a 1＋7d ＝8.② 由①②，得d ＝2，a 1＝－3.
所以S 10＝10a 1＋902
d ＝60.故选C ． 4．B
【解析】由已知，得1×(1－2n )1－2－1×(1－2m －1)1－2
＝112，即2m －1·(2n －m ＋1－1)＝24×7，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1＝24，2n －m ＋1－1＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝5，n ＝7，所以m ＋n ＝12，故选B. 5．C
【解析】162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．
6．C
【解析】由S 11－S 8＝3，得a 11＋a 10＋a 9＝3,3a 10＝3，a 10＝1，所以a 1＋9d ＝1， a 11－a 8＝3d ＝3，所以d ＝1，于是a 1＝－8，从而a n ＝－9＋n >0的最小正整数n 的值是10.
7．B
【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 则由题意可知，
a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，
又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，
∴a ＝1，
则a －2d ＝a －2×(－a 6)＝43a ＝43
.故选B ． 8．A
【解析】由10a 1＋10×(10－1)2
×2＝490，得a 1＝40， ∴a n ＝40＋2(n －1)＝2n ＋38.由10b 1＋10×(10－1)2
×4＝240，得b 1＝6， ∴b n ＝6＋4(n －1)＝4n ＋2.∵a k －b k ＝(2k ＋38)－(4k ＋2)＝36－2k ，
∴当k ≤18时，36－2k ≥0，即2k ＋38≥4k ＋2，∴以a k 和b k 为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k ＋1，则该最大圆的面积S k ＝π(2k ＋1)2.
9．B
【解析】依题意，b n ＝b 1·⎝⎛⎭⎫127n －1＝13·⎝⎛⎭⎫133n －3＝⎝⎛⎭⎫133n －2，
∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝⎛⎭⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13
. ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13
＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3. 10．B
【解析】∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ，
∴99－105＝3d .∴d ＝－2.
又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.
∴S n ＝na 1＋n (n －1)2
d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值．
11．C
【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，
…，⎝⎛⎭⎫1n ，2n －1
，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1.则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.
12．B
【解析】因为a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，
所以a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，
所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10.
同理a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，
所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝26，
同理可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝42.
由此可知，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…成等差数列，
首项为10，公差为16，
所以S 60＝15×10＋15×142
×16＝1 830.故选B ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13． 1 022
【解析】由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，
即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，
所以a n ＋1＝2a n ，
所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，
故S 9＝2×(1－29)1－2
＝210－2＝1 022. 14． 73
【解析】因S 6S 3＝3，故q ≠1，∴a 1(1－q 6)1－q ×1－q a 1(1－q 3)
＝1＋q 3＝3，即q 3＝2. 所以S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q ×1－q a 1(1－q 6)＝1－231－22＝73
. 15．①②③④
【解析】由已知条件得a 5>0，a 4<0，则d >0，故①②③正确．
因为S 7＝7(a 1＋a 7)2
＝7a 4<0，故④正确． S 8＝8(a 1＋a 8)2
＝4(a 4＋a 5)无法判断其正负，故⑤错误． 综上可得结论正确的有①②③④.
16． n 2＋n
【解析】由题中数表，知第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，
即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．解：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得， ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－20，d ＝5. ∴a n ＝5n －25(n ∈N ＋)．
(2)由(1)知，a n ＝5n －25，
∴b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30， ∴b n ＝10n －30(n ∈N ＋)．
18．解：(1)设{a n }的公差为d .
由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0.
由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.
于是a 1＝8，d ＝－2.
因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .
(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d 2
. 由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．
19． 解： (1)设数列{a n }的公差为d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝50，d ＝－3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53，令a n >0，得n <533
， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }前17项的和最大．
S max ＝S 17＝17×50＋17×8×(－3)＝442.
(2)当n ≤17，n ∈N *时，
|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032
n ， ∴当n ≤17，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为－32n 2＋1032
n ， 当n ≥18，n ∈N *时，
|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n
＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝32n 2－1032
n ＋884， 当n ≥18，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为32n 2－1032
n ＋884. 20．解：(1)∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1.
∴a 1＝1且a n ≠0，∴a n a n －1
＝2，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－2n 1－2＝2n －1. 设{b n }的公差为d ，b 1＝－S 4＝－15，b 9＝－15＋8d ＝1，∴d ＝2， ∴b n ＝－15＋(n －1)×2＝2n －17.
(2)c n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭
⎫12n －1－12n ＋1， ∴W n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12－14n ＋2＝n 2n ＋1.
21．解： (1)∵点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，∴S n ＋1＝12×(2S n ＋a n )＋13
， ∴a n ＋1＝12a n ＋13
. ∵a n ＋1－23＝12⎝
⎛⎭⎫a n －23， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n －23是以a 1－23＝76－23＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴a n －23＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝23＋12n . (2)∵c n ＝⎝
⎛⎭⎫a n －23n ＝n 2n ， ∴T n ＝12＋2×122＋3×123＋…＋n 2n ，① ∴12T n ＝122＋2×123＋3×124＋…＋n 2
n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2
n ＋1， ∴T n ＝2－2＋n 2n . 22．解：(1)设数列{a n }的公比为q ， ∵a 3，a 2＋a 4，a 5成等差数列．∴2(a 2＋a 4)＝a 3＋a 5， ∴2(a 1q ＋a 1q 3)＝a 1q 2＋a 1q 4，∴2q (1＋q 2)＝q 2(1＋q 2)，∴q ＝2，
∴a n ＝a 1q n －1＝2×2n －1＝2n .
(2)由题意，得b 1＋b 22＋…＋b n n
＝a n ，① b 1＋b 22＋…＋b n －1n －1＝a n －1
(n ≥2)，② ①－②得b n n
＝a n －a n －1＝2n －2n －1＝2n －1， ∴b n ＝n ·2n －1(n ≥2)．
当n ＝1时，b 1＝a 1＝2不符合上式．∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2，n ＝1，n ·2n －1，n ≥2， ∴当n ≥2时，S n ＝2＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，③ 2S n ＝4＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，④
③－④得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n ＝2(2n －
1－1)2－1－n ·2n ＝2n －2－n ·2n ， ∴S n ＝(n －1)2n ＋2. 当n ＝1时，S 1＝b 1＝2，符合上式， ∴S n ＝(n －1)2n ＋2(n ∈N *)． S n －na n ＋6＝(n －1)2n ＋2－n ·2n ＋6＝－2n ＋8， ∴－2n ＋8≥0，即2n ≤8，∴n ≤3，∴n 的最大值为3.。