陕西师范大学锦园中学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15,36
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．17,36
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．15,46
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．17,46
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪
⎝
⎭
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2
π
，且该
函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则0x 等于（ ） A ．
512
π B ．
4
π C ．3π
D ．
6
π
3．函数()2sin(2)33
f x x π
=-+的最小正周期为（ ）
A ．2π
B ．π
C ．2π
D ．4π
4．sin 3
π
=（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．
2
D ． 5．已知3
sin 5
α=-，则cos2=α（ ） A ．15-
B ．
15
C ．725
-
D ．
725
6．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移
3
π
个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ）
A ．sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．1
sin 2
3y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
D ．1
2
sin 2
3y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
7．已知α为第二象限角，且π3
cos 25
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．3
4
-
B ．43-
C ．53
-
D ．45
-
8．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ）
A ．2425-
B ．7
25 C ．2425
D ．725-
9．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()
f x 最小值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．2-
D ．3-10．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）. A ．3 B ．12
-
C ．
32
D ．
12
11．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min
3
x x π
-=
，则ϕ=（ ） A ．
512
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 12．在ABC 中，2,6
AB C π
==，则3AC BC 的最大值为（ ）
A ．57
B ．7
C ．37
D ．27二、填空题
13．已知定义在[],a a -上的函数()cos sin f x x x =-是减函数，其中0a >，则当a 取最大值时，()f x 的值域是______. 14．求值tan 2010︒=_______. 15．方程21
sin 3sin cos 2
x x x =
在[0,]4π上的解为___________
16．若3sin 5
αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
__________．
17．已知5
0sin 245
ππαα⎛⎫
⎛⎫
∈-= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝
⎭，，，则tan α=__________. 18．若0,
2x π⎛⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________.
19．若6
x π
=
是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是
___________. 20．若πcos cos 24αα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，则sin 2α=________. 三、解答题
21．已知函数()2
cos 3sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期； （2）函数()f x 的单调递减区间．
22．函数[)()
()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：
（1）求()f x 的解析式； （2）若[]0,x π∈且6
()2
f x ≥
，求x 的取值范围. 23．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈
（1）求56
f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）若0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的取值范围． 24．已知函数23
()3sin()sin()36f x x x x π
π=++
--
（1）求()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若1
()6f α=
，且()123
ππα∈，，求cos2α的值.
25．已知函数()()1cos sin
cos 2
f x x x x =+-． （Ⅰ）若0,2
π
α<<
且1
sin 3
α=
.求()f α； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.
26．如图，设矩形()ABCD AB BC >的周长为m ，把ABC 沿AC 翻折到AB C '，AB '交DC 于点P ，设AB x =.
（1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求ADP △面积的最大值.
参考答案
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 由3222
3
2k x k π
π
ππωπ+
+
+
求得22766k k x ππππ
ωωωω
++，k z ∈．可得函数()f x 的一
个减区间为[6πω，7]6π
ω．再由6276ππωππ
ω
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得ω的范围．
【详解】
函数()sin()3f x x π
ω=+在(,)2
π
π上单调递减， 设函数的周期22
T T πππω⇒
=-，2ω∴． 再由函数()sin()3
f x x π
ω=+满足3222
3
2
k x k π
π
π
πωπ+
+
+
，k z ∈， 求得
22766k k x π
πππ
ω
ωωω
+
+，k z ∈． 取0k =，可得
766x ππ
ωω
， 故函数()f x 的一个减区间为[
6πω，
7]6π
ω
． 再由6276ππ
ωππ
ω
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得17
36ω， 故选：B ． 【点睛】
函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由
22
k x π
πωϕ+≤+≤
()322
k k Z π
π+∈求得函数的减区间，由222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间
2．A
解析：A 【分析】
由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得
()026x k k Z π
π+
=∈，结合00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可求得0x 的值. 【详解】
由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足
22
T π=，T π∴=，22T π
ω∴==， ()sin 26f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026
x k k Z π
π+
=∈，解得
()0212
k x k Z ππ
=
-∈，
由于00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】
结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02
x k k Z π
ωϕπ⇔+=
+∈；
（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.
3．B
解析：B 【分析】
利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ω
π
=即可求解.
【详解】
22
T π
π=
=， 故函数()2sin(2)33
f x x π
=-+的最小正周期为π，
故选：B
4．C
解析：C 【分析】
根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】
sin
3
π
=
. 故选：C.
5．D
解析：D 【分析】
由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】 因为3sin 5
α=-
， 所以2
97cos 212sin 122525
αα=-=-⨯=. 故选：D.
6．C
解析：C 【分析】
根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移
3
π个单位，得到函数sin()3y x π
=+的图
象； 将sin()3
y x π
=+
的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到
1sin()23
y x π
=+的图象．
∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得
1
()sin 2
3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．
故选：C ．
7．A
解析：A 【分析】 由已知求出3
sin 5
α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3
cos 25
α⎛⎫-=
⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，
∵α为第二象限角，∴4
cos 5
α==-
， ∴sin 3
tan cos 4
ααα=
=-． 故选：A ．
8．D
解析：D 【分析】
先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】
由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5
α
，3
cos 5α=-，故
229167
cos 2cos sin 252525
ααα=-=
-=-. 故选：D.
9．D
解析：D 【分析】
首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间
[],2ππ-上的最小值.
【详解】
由已知()()sin 04f x x πωθω⎛
⎫=
⋅++> ⎪⎝
⎭，
由图象可知取A =
，
52433
T ππ
π=-=， 故最小正周期4T π=，所以21
2
T πω==， 所以()1
2sin 2
4f x x πθ⎛⎫=++
⎪⎝⎭，
由55152sin 2sin 033246
4f π
πππ
πθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
及图象单调性知，取564
ππ
θπ++=，则46ππθ+=
所以()1
2sin 26x f x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
， ()
f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫
-=-= ⎪⎝⎭
故选：D
10．C
解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】
解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.
11．D
解析：D 【分析】
利用三角函数的最值，取自变量1x 、2x 的特值，然后判断选项即可. 【详解】
因为函数()sin 2g x x =的周期为π，由题意可得：()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦，
若()()122f x g x -=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有12min
3
x x π
-=
，
所以不妨取24
x π=，则1712x π=，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在1712x π
=取得最小值， 所以77121s 12
in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫
⎪⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z π
ϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意，
取24
x π=
，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π
=-取得最小值， 所以12
sin 21ϕπ⎡⎤
⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-
，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意，
故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．
12．B
解析：B 【分析】
将AC +
表示为角的形式，结合三角函数最值的求法，求得AC 的最大值. 【详解】
有正弦定理得2
4
sin sin sin sin 6
a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin a A b B ==，
所以AC
+4sin b B A =+=+
(
)4sin 4sin 6B B C B B π⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭
4sin sin cos cos sin 66B B B ππ⎫=++⎪⎭
1
4sin sin cos 22B B B ⎫=++⎪⎪⎭
(
)()10sin B B B B ϕϕ=+=+=+.
其中tan 010536
πϕϕ==<⇒<<， 由于
56
6
B π
π<<
，所以3B π
ϕπ<+<，
故当2
B π
ϕ+=
时，AC +
的最大值为
故选：B 【点睛】
要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来求最值.
二、填空题
13．【分析】先求出函数单调减区间的一般形式根据函数在的单调性可得利用整体法可求当取最大值时的值域【详解】令则故的减区间为由题设可得为的子集故且故故当时故故的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：正弦型函数
解析：⎡⎣
【分析】
先求出函数单调减区间的一般形式，根据函数在[],a a -的单调性可得max 4
a π
=，利用整
体法可求当a 取最大值时，()f x 的值域． 【详解】
(
)cos sin 4f x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
令22,2
4
2k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+∈，则322,4
4
k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈， 故()f x 的减区间为32,2,4
4k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦， 由题设可得[],a a -为32,2,4
4k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
的子集， 故0k =且4340a a a ππ⎧-≥-⎪⎪
⎪≤⎨⎪
>⎪⎪⎩
，故04a π<≤，故max 4a π=，
当44x ππ-
≤≤时，024x ππ-≤-≤
，故0sin 4x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭
故()f x
的值域为⎡⎣．
故答案为：⎡⎣．
【点睛】
关键点点睛：正弦型函数在给定范围（含参数）上的单调性可由单调区间的一般形式得到参数满足的条件，这是解决此类问题的通法．
14．【分析】根据诱导公式化为锐角后可求得结果【详解】故答案为：
【分析】
根据诱导公式化为锐角后可求得结果. 【详解】
tan 2010tan(5360210)=⨯+tan 210=3tan(18030)tan 30=+==。

故答案为：
3
15．【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论【详解】由得得∴又∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为的形式然后
解析：
12
π 【分析】 由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论． 【详解】
由2
1sin cos 2x x x =得1cos 212222
x x -+=，得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴26
x k π
π-
=，,212
k x k Z ππ
=
+∈， 又0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴12x π=． 故答案为：12
π
．
【点睛】
方法点睛：本题考查求解三角方程，解题方法：
（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为sin()x k ωϕ+=的形式，然后由正弦函数的定义得出结论．
（2）用换元法，如设sin x t =，先求得方程()0f t =的解0t ，然后再解方程0sin x t =．
16．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：
解析：50
-
【分析】
根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦 【详解】
3
sin 5α=
，且α是第二象限角，4cos 5
α∴==- 2
7
cos 22cos 125
αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪
⎝⎭，
)
sin 2sin 2cos 24πααα⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭.
故答案为： 17．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象
解析：3 【分析】
由平方关系求出cos 4πα⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，用两角和的正弦公式求得sin α，再得cos α，然后可得tan α．
【详解】 ∵0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴,444π
ππα⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭
，
cos 45πα⎛⎫-==
⎪⎝⎭， ∴
sin sin sin cos cos sin 444444525220ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+-=+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
∴cos α==
， sin tan 3cos α
αα
=
=． 故答案为：3． 【点睛】 关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角
和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到44ππαα⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，需要用用两角和
的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得cos 4πα⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，这就要确定4π
α-的范围．以确定余弦值的正负．
18．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：
解析：)
+∞
【分析】
根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】
因为sin cos 4x x x π⎛
⎫+=
+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
可得3,
444x πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
所以sin 42x π⎛⎤⎛
⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
，则(
sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，
因为0,
2x π⎛
⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，sin cos m x x ≥+恒成立，所以只需m ≥
故答案为：)
+∞.
19．【分析】利用对称关系得代入即可求解值再结合辅助角公式化简可求最值【详解】由对称轴关系得令得求得从而当时取到最大值故答案为：
解析：【分析】
利用对称关系，得()03f f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值
【详解】
由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求得a =
从而()3sin 2226f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当22,62
x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取
到最大值
故答案为：
20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或
解析：1-或
1
2
【分析】
根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得． 【详解】
由πcos cos 24αα⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，得
)22cos +sin cos sin 2
αααα=-，即
)()()cos +sin cos sin cos +sin 2
αααααα=-，
所以cos sin =2
αα-或cos +sin 0αα=，
当cos sin =2
αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得
sin 2α=
1
2
； 当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4
k k Z π
απ=-
∈所以
()2+2,2
k k Z π
απ=-
∈所以sin 21α=-，
故答案为：1-或
12
. 三、解答题
21．（1）π；（2）2,,6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
【分析】
（1）利用二倍角的正弦、余弦公式将函数化为()1
sin 262
f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，由周期公式即可求解.
（2）由正弦函数的单调递减区间32,2,2
2k k k Z π
πππ⎡⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
，整体代入即可求解. 【详解】
（1）()21cos 21cos cos sin 2262x f x x x x x π+⎛⎫===++ ⎪⎝
⎭， 所以函数的最小正周期222
T π
π
πω
==
=， （2）3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈，
解不等式可得2,6
3k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为2,,6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
22．（1）()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）由图可得：A =
724123T πππω
=-=可求ω的值，再令2(21)3
k π
ϕπ
⨯
+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；
（2232x π⎛⎫
+
≥ ⎪⎝
⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪
⎝
⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.
【详解】
（1）由题意知：A =741234
T πππ=-=， 所以2T π
πω
==即=2ω，
所以2(21)3
k π
ϕπ⨯
+=+，02ϕπ≤<，所以=
3
πϕ，
所以()23f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，
（223x π⎛⎫
+≥ ⎪
⎝
⎭，
即sin 232
x π⎛⎫
+≥ ⎪
⎝
⎭， 所以
()22223
3
3
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 令0k =可得223
3
3
x π
π
π≤+
≤
，解得06x π≤≤，
令1k =可得
22223
3
3x π
π
πππ+≤+
≤
+，解得：7
6
x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06
x π
≤≤
或x π=，
即{}0,
6x ππ⎡⎤
∈⋃⎢⎥⎣⎦
【点睛】
关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3
x π
=
是下降零点，所以
2(21)3k π
ϕπ⨯
+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭
可得
()22223
33
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 23．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】
（1）本题可直接将56
x π
=
代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，然后根据0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】
（1）555sin 06
33f πππ⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
，
（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛
⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
， 当0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2,132x π⎛
⎫⎡⎤
+
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，函数()f x 的取值范围为[]1,2.
24．（1）T π=；对称中心为(,0),Z 26k k ππ-∈；（2 【分析】
（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简得1()sin(2)23
f x x π
=+求得最小正周期及对称中心；
（2）求得1sin(2)33
π
α+=，对角拆分2(2)33ππ
αα=+-利用两角和差的余弦公式得解.
【详解】
(1) 1cos2()sin()sin()2266x f x x x πππ+=++--
12cos()sin()266x x x ππ=+⨯--1sin(2)23x x π
=+-
1111(sin 2cos2(sin 2cos22222x x x x x =
+⋅-=⋅+
1sin(2)23
x π=+. 所以()f x 的最小正周期22
T π
π==. 由2,Z 3
x k k π
π+
=∈得,Z 26k x k ππ=
-∈，所以()f x 的对称中心为(,0),Z 26
k k ππ
-∈. (2) 由1()6f α=
得1sin(2)33
πα+=，因为(,)123ππα∈，所以2(,)32ππ
απ+∈，
所以cos(2)3πα+==，
所以cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 333333ππππππ
αααα=+-=+⋅++⋅
1123=+=
. 【点睛】
熟练运用二倍角公式、辅助角公式、两角和差的余弦公式及合理拆分角是解题关键，属于基础题.
25．（Ⅰ；（Ⅱ）最小正周期为π．3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈.
【分析】 （Ⅰ）根据1
sin 3
α=
以及α的范围，得到cos α，代入到()f α中，得到答案；
（Ⅱ）对()f x 进行整理化简，得到()π24f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间. 【详解】
（Ⅰ）解：因为π02α<<
.且1sin 3α=.所以cos 3
α==．
故()()1cos sin cos 2f αααα=+-
=
（Ⅱ）解：因为 ()2
1sin cos cos 2f x x x x =+-
1
1cos 21sin 2222
x x +=+-
11πsin 2cos 222224x x x ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭. 所以函数()f x 的最小正周期为π．
设π24
t x =+.由y t =的单调递增区间是ππ2π 2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈. 令
πππ2π22π242k x k -
++≤≤.解得
3ππ
ππ88
k x k -+≤≤.k Z ∈．
故函数()f x 的单调递增区间为3ππππ88k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，.k Z ∈．
【点睛】
本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于基础题.
26．（1
）(34
m
；（2
）(2
316m
⋅-. 【分析】
（1）设CAB CAP θ∠=∠=，求得222
PAD APD π
θθ∠=
-∠=，，得到且
tan 23tan θθ=，结合正切的二倍角公式，即可求解.
（2）设CAB CAP θ∠=∠=，则2APD θ∠=，且()tan 01θ∈，
，由()tan 2x x m θ+⨯=，求得x 得值，求得()tan 21tan m AD BC θθ==
+，1tan 4
PD m θ
-=
，设1tan t θ+=，得到()1
2t ∈，，利用三角形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】
（1）由题意，在ABC 中，可设CAB CAP θ∠=∠=， 则由角度关系可得222
PAD APD π
θθ∠=
-∠=，，
设BC y = ，且tan tan 23tan 3
y y
x x
θθθ
===，， 则有22tan tan 23tan 1tan θθθθ=
=-
，解得tan 3
θ=
，则有y x =，
所以23x x m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得(34
x m =. （2）设CAB CAP θ∠=∠=，则222
PAD APD π
θθ∠=-∠=，，且()tan 01θ∈，
， 则有()tan 2x x m θ+⨯=，解得()21tan m x θ=
+，即()
tan 21tan m AD BC θ
θ==+，
所以
()2tan 1tan 1tan tan 221tan 2tan 4AD PD m m θθθ
θθθ--==⋅=+， 则S △ADP =()2221tan 1tan tan tan 221tan 4161tan m m θθθθ
θθ
--⋅⋅=⋅++，
令()1tan 1
2t t θ+=∈，， 所以
S △ADP =()2
2222113223161616t t m m t t m t t t t ---⎡⎤-+-⎛⎫⋅=⋅=⋅-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(2
316
m ≤
⋅-，当
且仅当2
t t t
=
=，时取等号.
则ADP △面积的最大值为(2
316
m ⋅-.
【点睛】
对于三角函数模型的应用问题，解答的关键是建立符合条件的函数模型，结合示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学的三角恒等变换的公式及三角函数的性质求解.。