成都树德中学(光华校区)九年级数学上册第四单元《圆》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）
A ．24π
B ．21π
C ．16.8π
D ．36π 2．如图，AB 是О的直径，,CB CD 是О的弦，且,CB CD CD =与AB 交于点
E ，连接OD ．若40,AOD ∠=︒则D ∠的度数是（ ）
A ．20
B ．35
C ．40
D ．55
3．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的点，则∠BPC 的度数是（ ）
A ．65°
B ．115°
C ．115°或65°
D ．130°或65° 4．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在的圆的圆心，20cm AB =，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且5cm CD =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A ．10cm
B ．12.5cm
C ．15cm
D ．17cm 5．已知正方形的边长a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则::R r a =（ ） A 22 B 2 C 2 D ．224 6．给出下列说法：①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③经过三个点一定可以画一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．正确的有（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，
:1:2CP PO =，则AB 的长为（ ）
A ．45
B ．215
C ．16
D ．8
8．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（ ）
A ．393+
B ．2103+
C ．353+
D ．53
9．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是（ ）
A ．12
B ．45
C ．1
D ．43
10．如图，四边形ABCD 内接于O ，若108B ∠=︒，则D ∠的大小为（ ）
A ．36°
B ．54°
C ．62°
D ．72°
11．下列说法中，正确的是（ ）
A ．三点确定一个圆
B ．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角
相等
C ．平分弦的直径垂直于弦
D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
12．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC 且∠BAC=45°，⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，DF 与⊙O 相切，OD 与BE 相交于点H ．下列结论错误的是（ ）
A ．BD=CD
B ．四边形DHEF 为矩形
C ．2AE DE
= D ．BC=2CE 二、填空题
13．如图，I 是ABC 的内心，AI 的延长线与ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 交于点E ，连接BI 、CI 、BD 、DC ．下列说法：①CAD DAB ∠=∠，
②AI BI CI ==，③1902
BIC BAC ∠=︒+
∠；④点D 是BIC △的外心；正确的有______．（填写正确说法的序号）
14．如图，AB 、AC 、BD 是O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果8AB =，5AC =，则BD 的长为_______．
15．如图，30ACB ∠=︒，点O 是CB 上的一点，且6OC =，则以4为半径的O 与直
线CA 的公共点的个数______．
16．如图，A 是半径为1的O 外一点，2OA =，AB 是O 的切线，点B 是切点，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为________．
17．如图，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，40CAD ∠=︒，则B E ∠+∠=_______°．
18．在ABC 中，90,3,4C AC BC ∠===，则ABC 的内切圆的周长为___________．
19．如图，已知点,,A B C 在O 上，若50ACB ∠=，则
AOB ∠=_____________________度．
20．在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB 与这个圆的位置关系分别是_________．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，E 是AB 上一点，30AEO DAC ∠=∠=︒，连接BD ．
（1）求证：OAE CDB △≌△；
（2）连接DE ，若DE AB ⊥，2OA =，求BC 的长．
22．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD （每一小格为一个单位长度），将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转90°后得到新的图形．
（1）请画出旋转后的图形，旋转后C 点对应点的坐标为______．
（2）请计算点C 在旋转过程中的路径长．
23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为()2,1-．
（1）画出将ABC 关于y 轴对称的111A B C △；
（2）画出ABC 绕点O 的逆时针旋转90°得到的图形222A B C △，并求出在此旋转过程中点A 运动到点2A 所经过路径的长．
24．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD 、CD ．
（2）⊙D的半径为（结果保留根号）；
（3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；
25．如图，长方形ABCD的长是a，宽是b，分别以A、C为圆心作扇形，用代数式表示阴影部分的周长L和面积S（结果中保留π）．
26．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC+AC=14，且BC>AC．
（1）求BC的长；
（2）在线段BC上求作一点Q，使得以点Q为圆心，QC为半径的⊙Q刚好与AB相切，请运用尺规作图找出符合条件的点Q，并求出⊙Q的半径．（不写作法，保留作图痕迹）
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
以直线AC为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】
=，
解：根据题意得：圆锥的底面周长6π
所以圆锥的侧面积165152
ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，
所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
2．B
解析：B
【分析】
连接BD ，得到∠DOB=140°，求出∠CDB ，∠ODB 即可；
【详解】
如图：连接BD ，
∵ ∠AOD=40°，
∴∠DOB=180°-40°=140°，
∴ ∠DCB=12
∠DOB=70°， ∵ CB=CD ，
∴ ∠CBD=∠CDB=55°，
∵DO=BO ，
∴∠ODB=∠OBD=20°，
∴∠CDO=∠CBO ，
∴∠CDO=∠CDB-∠ODB=35°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识； 3．C
解析：C
【分析】
根据切线的性质得到OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，求出∠BOC ，分点P 在优弧BC 上、点P 在劣弧BC 上两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：∵AB 、AC 是⊙O 的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA＝90°，∠OCA＝90°
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，如图，
当点P在优弧BPC上时，∠BPC＝1
2
∠BOC＝65°，
当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据题意，可以推出AD＝BD＝10，若设半径为r，则OD＝r﹣5，OA＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】
解：∵OC⊥AB，AB＝20，
∴AD＝DB＝10，
在Rt AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣5）2+102，
解得：r＝12.5，
∴这段弯路的半径为12.5，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OA的长度．
5．A
解析：A
【分析】
经过圆心O作正方形一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，
∠AOC=45°．OC是边心距r，OA即半径R，进而即可求解
【详解】
如图：作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形
在中心的直角三角形的角为360°÷4÷2=45°，
∴内切圆的半径为2a ，外接圆的半径为2a ， ∴::R r a
22
a ：2a ：a=2:1:2 故选A
【点睛】
本题主要考查正多边形的外接圆与内切圆的半径，掌握相关概念，作出图形，是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据对称轴是一条直线，即可判断①；根据外心的性质即可判断②；利用确定圆的条件即可判断③；根据弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，即可判断④；根据垂径定理的推论，即可判断⑤．
【详解】
∵圆是轴对称图形，直径所在直线是它的对称轴，∴①错误；
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴②正确；
∵经过不在同一直线上的三点确定一个圆，∴③错误；
∵平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，∴④错误；
∵垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，∴⑤正确；
综上，正确的是②⑤，共2个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂径定理及其推论，三角形的外接圆与外心等知识点的应用，正确把握相关定义是解题关键．
7．A
解析：A
【分析】
连接OA ，先根据⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2求出CO 及OP 的长，再根据勾股定理可求出AP 的长，进而得出结论．
【详解】
连接OA ，
∵⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2，
∴CO＝6，PO=4，
∵AB⊥CD，
∴AP=22
OA OP
- =22
64
-=25，
∴AB＝2AP＝22545
⨯=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为
d，则有等式
2
22
2
a
r d
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8．A
解析：A
【分析】
先推出∠DOE=2∠DAE=60°，连接OE，OD，OF，证明Rt△EFO≌Rt△DFO，得到
∠EOF=∠DOF=30°，根据EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，得出EF=23，推出点C在以EF为直径的半圆上，设EF中点为G，得出当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，求出OG，CG即可得出答案．
【详解】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠DAE是DE所对的圆周角，∠DOE是DE所对的圆心角，
∴∠DOE=2∠DAE=60°，
连接OE，OD，OF，
∵过点E，D作O的切线交于点F，∴∠FEO=∠FDO=90°，
∴在Rt△EFO和Rt△DFO中
EO DO FO FO
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△EFO≌Rt△DFO（HL），
∴∠EOF=∠DOF=30°，
又∵EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，∴EF=23，
又∵点F恰好是腰BC上的点，∠ECF=90°，∴点C在以EF为直径的半圆上，
∴设EF中点为G，则EG=FG=CG=1
2EF=
1
2
×23=3，
∴当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，
在Rt△OEG中，OE=6，EG=3，
∴OG=22
OE EG
+=39，
∴OC=OG+CG=39+3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，证明
Rt△EFO≌Rt△DFO是解题关键．
9．C
解析：C
【分析】
连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，根据切线的性质可知PC⊥y轴，故可得出四边形PDOC是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB的长，由垂径定理可得出AD的长，故可得出OD 的长，进而得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论．
【详解】
解：连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，
∵⊙P与y轴相切于点C（0，3），
∴PC⊥y轴，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PD=OC=3，
∵A（1，0），B（7，0），∴AB=7-1=6，
∴AD=1
2AB=
1
2
×6=3，
∴OD=AD+OA=3+1=4，
∴P（4，3），
∵直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，
∴3=4k-1，解得k=1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结论．
10．D
解析：D
【分析】
运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，
∴∠D＝180°−∠B＝180°−108°＝72°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理一一判断即可．
【详解】
解：A、任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意；
C、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．D
解析：D
A、利用直径所对的圆周角是直角，以及等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
B、根据中位线得出OD//AC，再根据矩形的判定即可得出结论
C、根据垂径定理得出BD DE
=，再根据等腰直角三角形的性质得出AE=BE，从而得出=，即可得出2
BD DE
AE DE
=
D、不能得出BC=2CE
【详解】
解：连接AD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=∠BEA =90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAE，
故A正确；
∵OA=OB
∴OD是三角形ABC的中位线
∴OD//AC
∴∠DHE =90°=∠BEF，
∵DF与⊙O相切，
∴∠ODF =90°
∴四边形DHEF为矩形
故B正确；
∵∠BEA =90°，∠BAC=45°，
∴AE=BE
∴AE BE
=
∵∠DHE =90°
∴OD⊥BE
∴BD DE
=
∴2
=
AE DE
故C正确；
不能得出BC=2CE
故选：D
本题考查了切线的性质、三线合一定理、三角形中位线定理、垂径定理；熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
二、填空题
13．①③④【分析】利用三角形内心的性质得到根据旋转的性质可对①进行判断；利用三角形内心的性质可对②进行判断；利用和三角形内角和定理得可对③判断；通过证明可得在证明可对④进行判断【详解】∵是的内心∴AD 平 解析：①③④
【分析】
利用三角形内心的性质得到BAD CAD ∠=∠，根据旋转的性质可对①进行判断；利用三角形内心的性质可对②进行判断；利用12IBC ABC ∠=
∠，12ICB ACB ∠=∠和三角形内角和定理得1902
BIC BAC ∠=︒+∠，可对③判断；通过证明BID DBI ∠=∠，可得BD DI =，在证明BD CD =，可对④进行判断．
【详解】
∵I 是ABC 的内心，
∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠，
∴CAD ∠绕点A 顺时针旋转一定的角度一定能和DAB ∠重合，
∴①正确；
∵I 是ABC 的内心，
∴点I 到三角形三边距离相等，
∴②错误；
∵BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠， ∴12
IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠， ∵()111801809022
BIC IBC ICB ABC ACB BAC ∠=︒-∠-∠=︒-
∠+∠=︒+∠ ∴③正确； ∵IBC IBA ∠=∠，BAI CAD CBD ∠=∠=∠，
∴BAI ABI IBC DBC ∠+∠=∠+∠，
∴BID DBI ∠=∠，
∴BD DI =，
∵CAD BAD ∠=∠，
∴BD CD =，
∴BD CD =，
∴BD CD DI ==，
∴点B 、I 、C 在以点D 为圆心，DB 为半径的圆上，即点D 是BIC △的外心，
∴④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，以及旋转的性质和三角形外心，熟练掌握三角形内切圆以及内心的性质是解答本题的关键．
14．【分析】由于ABACBD 是⊙O 的切线则AC=APBP=BD 求出BP 的长即可求出BD 的长【详解】解：∵ACAP 为⊙O 的切线∴AC=AP ∵BPBD 为⊙O 的切线∴BP=BD ∴BD=PB=AB-AP=8-5
解析：3
【分析】
由于AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，则AC=AP ，BP=BD ，求出BP 的长即可求出BD 的长．
【详解】
解：∵AC 、AP 为⊙O 的切线，
∴AC=AP ，
∵BP 、BD 为⊙O 的切线，
∴BP=BD ，
∴BD=PB=AB-AP=8-5=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 15．2个【分析】如图（见解析）先利用直角三角形的性质可得再根据直线与圆的位置关系即可得【详解】如图过O 作于点D ∵∴∴以4为半径的与直线CA 相交公共点的个数为2个故答案为：2个【点睛】本题考查了直角三角形 解析：2个
【分析】 如图（见解析），先利用直角三角形的性质可得132
OD OC =
=，再根据直线与圆的位置关系即可得．
【详解】
如图，过O 作OD OA ⊥于点D ，
∵30,6ACB OC ∠=︒=，
∴1342OD OC ==<， ∴以4为半径的O 与直线CA 相交，
∴公共点的个数为2个， 故答案为：2个．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．
16．【分析】连接OCOB 易证△OAB 为等边三角形由BC ∥OA 得S △OCB ＝S △ACB 把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积【详解】连接OCOB ∵是的切线∴OB ⊥AB 在Rt △OBA 中∵OB=1OA=2∴∠
解析：6π
【分析】
连接OC ，OB ，易证△OAB 为等边三角形，由BC ∥OA ，得S △OCB ＝S △ACB ，把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积．
【详解】
连接OC ，OB
∵AB 是
O 的切线
∴OB ⊥AB
在Rt △OBA 中
∵OB=1，OA=2
∴∠AOB=60°
又∵//BC OA
∴∠OBC=60°
∵OB=OC
∴△OAB 为等边三角形
又∵BC ∥OA ∴S △OCB ＝S △ACB
∴S 阴＝S 扇形OBC =2601360
π⨯⨯ =6π
故答案为：
6
π 【点睛】 本题考查扇形面积的求解，将不规则图形转化成规则的扇形是解题的关键．
17．220【分析】连接CE 根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD 然后求解即可【详解】
解析：220
【分析】
连接CE ，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD ，然后求解即可．
【详解】
连接CE ，
∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接五边形，
∴四边形ABCE 是⊙O 的内接四边形，
∴∠B ＋∠AEC ＝180°，
∵∠CED ＝∠CAD ＝40°，
∴∠B ＋∠AED ＝180°＋40°＝220°
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．
18．【分析】先根据勾股定理求出斜边AB 的长再根据直角三角形内切圆的半径公式求出半径再算出周长【详解】解：根据勾股定理内切圆半径内切圆周长故答案是：【点睛】本题考查三角形的内切圆解题的关键是掌握直角三角形 解析：2π
【分析】
先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据直角三角形内切圆的半径公式求出半径，再算出周长．
【详解】 解：根据勾股定理，225AB AC BC =
+=， 内切圆半径345122
AC BC AB +-+-===， 内切圆周长22r ππ==．
故答案是：2π．
【点睛】
本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径的求解方法． 19．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【详解】解：∵∠ACB 与∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角∠ACB=50°∴∠AOB=100°故答案是：100°
【点睛】本题考查的是圆周角定理熟知在同圆或等圆中
解析：100
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ACB 与∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，
∴∠AOB=100°．
故答案是：100°．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
20．相交【分析】根据勾股定理作于点则的长即为圆心到的距离利用等积法求出的长与半径比较大小再作判断【详解】解：如图作于点∵的两条直角边斜边即半径是直线与圆相交【点睛】此题考查的是勾股定理直线与圆的位置关系 解析：相交
【分析】
根据勾股定理，5AB =．作CD AB ⊥于点D ，则CD 的长即为圆心C 到AB 的距离．利用等积法求出CD 的长，与半径比较大小，再作判断．
【详解】
解： 如图， 作CD AB ⊥于点D ．
∵Rt ABC 的两条直角边3BC =，4AC =，
∴斜边5AB =． 1122
ABC S AC BC AB CD ∆=
=，即 512CD ，
2.4CD ．
半径是2.5 2.4>，
∴直线与圆C 相交 ．
【点睛】
此题考查的是勾股定理，直线与圆的位置关系，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）277
. 【分析】 (1)借助同圆中，同弧上的圆周角相等，利用AAS 证明全等；
(2) 过O 作OH AB ⊥，利用三角形全等，勾股定理，建立一元二次方程求解即可.
【详解】
解：（1）证明：∵AC 是
O 的直径， ∴90ADC ∠=︒．
∵30CAD ∠=︒，
∴2AC CD =．
∵2AC OA =，
∴OA CD =．
∵BC BC =，CD CD =，
∴EAO CDB ∠=∠，CAD CBD ∠=∠．
∵AEO DAC ∠=∠，
∴AEO CBD ∠=∠．
∴OAE CDB △≌△；
（2）解：连接DE ，过O 作OH AB ⊥于H ，
∴AH HB =．
∵AO OC =，
∴2BC OH =．
设OH x =，
∵30OEA CAD ∠=∠=︒，
∴3HE x =．
由（1）知OAE CDB △≌△，
∴AE DB =．
∵AD AD =，
∴60ABD ACD ∠=∠=︒．
∵DE AB ⊥，
∴30BDE ∠=︒．
∴2DB BE =，AE DB =．
∴2AE BE =．
设AH HB y ==，
则AE y =+，BE y =-．
∴()2y y =．
∴y =．
在Rt OAH 中，2OA =，AH =，OH x =，
222OH AH OA +=，
()2
222x +=．
解得1
7x =，27x =-（舍去）．
∴7
OH =．
∴27BC OH ==
． 【点睛】
本题考查了圆周角的性质，垂径定理，勾股定理，方程思想，熟练运用圆周角定理，作辅助线，构造垂径定理是解题的关键.
22．（1）图见解析，(2,3)-；（2）
52π． 【分析】
（1）先根据旋转的性质分别画出点,,B C D 旋转后的对应点,,B C D '''，再顺次连接点,,,A B C D '''可得旋转后的图形，然后根据旋转的性质可得四边形AB C D '''是矩形，,AD AD C D CD '''==，由此即可得；
（2）先利用矩形的性质、勾股定理求出AC 的长，再利用弧长公式即可得．
【详解】
（1）先根据旋转的性质分别画出点,,B C D 旋转后的对应点,,B C D '''，再顺次连接点,,,A B C D '''可得旋转后的图形，如图所示：
由题意得：(2,0),(5,0),(5,4),(2,4)A B C D ，
2,3,4OA AB CD BC AD ∴=====，
由旋转的性质得：4,3AD AD C D CD '''====，四边形AB C D '''是矩形， 2,OD AD OA C D AD '''''∴=-=⊥，
∴点C '的坐标为(2,3)C '-，
即旋转后C 点对应点的坐标为(2,3)-；
（2）由题意得：点C 在旋转过程中的路径长为CC '的长，如图所示：
四边形ABCD 是矩形，3,4AB BC ==，
∴对角线225AC AB +BC ，
由旋转的性质得：90CAC '∠=︒，
则CC '的长为90551802
ππ⨯=， 即点C 在旋转过程中的路径长为
52π． 【点睛】
本题考查了画旋转图形、旋转的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
23．（1）见解析；（2）图见解析，52
π
【分析】
（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；
（2）依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到△A 2B 2C 2，再根据弧长计算公式，即可得出旋转过程中点A 运动到点A 2所经过路径的长．
【详解】
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；
（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；
∵OA=22345+=，∠AOA 2=90°，
∴在此旋转过程中点A 运动到点A 2所经过路径的长为：
90551802
ππ⨯⨯=． 【点睛】
本题主要考查了利用轴对称变换以及旋转变换进行作图，勾股定理，以及弧长公式，熟练掌握旋转变换与轴对称变换的定义和性质是解题的关键． 24．（1）图见解析；（2）25；（3）
5 【分析】
（1）根据垂进定理，作出AB 、BC 的垂直平分线交点为圆心D ．
（2）根据正方形网格长度，运用勾股定理求出半径．
（3）根据圆锥特点，先求出ABC 的弧长，利用圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，便可解答．
【详解】 解：（1）
（2）⊙D 的半径AD 222425=+=
（3）根据图上信息，可知道AOD DFC ≅
ADO DCF ∴∠=∠
90ADC ∴∠=
ABC ∴ 的长度l=9025180
π⨯ =π 扇形ADC 围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度．
∴ 圆锥的底面圆半径== 【点睛】
本题考查了垂径定理，弧长公式得计算，属于基础题．
25．22L b a b π=+-；2
12S ab b π=-.
【分析】 由已知图知，阴影部分的周长是
()12πb 22
a b ⨯+-； 阴影部分的面积为，长方形的面积减去两个14
圆的面积(半圆的面积)． 【详解】 阴影部分的周长()122222
L b a b b a b ππ=⨯+-=+-； 阴影部分的面积221=1242
S ab b ab b ππ=-⨯
-. 【点睛】 此题考查的是列代数式，用到的知识点是半圆的周长和面积的计算方法．
26．（1）BC =8；（2）图见解析，⊙Q 的半径为3
【分析】
（1）由勾股定理列出方程求解即可；
（2）作∠BAC 的平分线交BC 于点Q ，则点Q 即为所求作的点；再运用面积法即可求出⊙Q 的半径．
【详解】
解：（1）∵∠C =90°，AB =10，BC +AC =14，
∴222AB AC BC =+,
设AC=x ，BC=14-x ，则有
222(14)10x x +-=
解得，16x =，28x =
∵BC >AC
∴BC=8；
（2）作∠BAC 的平分线交BC 于点Q ，则点Q 即为所求作的点，如图，
∵∠ACB=90°
∴QC ⊥AC
过Q 作QE ⊥AB ，垂足为点E ，
∴QC=QE
又ABC ACQ ABQ S S S ∆∆∆=+ ∴222AC BC AC QC AB QE =+ ∴68106QE QC ⨯=+ ∵QE=QC
∴QE=QC=3，
即圆的半径为3
【点睛】
考查了圆的综合题．涉及了勾股定理，一元二次方程的解法，切线的性质，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．。