2020版高考数学()：12.1 随机事件及其概率

专题十二概率
【真题典例】
12.1随机事件及其概率
挖命题
【考情探究】
分析解读 1.本节内容与日常生活联系密切,是高考应用题命题的来源之一,是常考内容.
2.主要考查等可能事件、互斥事件、对立事件、独立事件的概念、相互关系和概率公式.
3.预计2020年高考试题中,对等可能事件的概率问题的考查必不可少.
破考点
【考点集训】
考点随机事件及其概率
1.(2018浙江诸暨高三上学期期末,15)编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中,每个盒子放一个球,则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为.
答案
2.(2017浙江镇海中学模拟卷二,11)甲、乙两人进行围棋比赛,比赛采用5局3胜制(即先胜3局者获胜).
其中甲、乙两人在每场比赛中获胜的概率分别为和,记需要比赛的场次为ξ,则比赛3局结束的概率是;Eξ=.
答案;
炼技法
【方法集训】
方法1 随机事件及其概率的计算方法
1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,14)甲、乙、丙三个人依次参加摸奖活动,在一个不透明的摸奖箱中有六个同样大小、同样光滑的小球,每个小球标有一个编号,编号分别为1,2,3,4,5,6,活动规则是:每个人从这个摸奖箱中连续摸3次,每次摸出一个球,每次摸完后,记下小球上的编号再将其放回箱中,充分搅拌后再进行下一次的摸取,三次摸完后将三个编号相加,若三个编号的和为4的倍数,则能得到一个纪念品,则每个人获得纪念品的概率为.
答案
2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
(1)求所选3人都是男生的概率;
(2)求所选3人中恰有1名女生的概率;
(3)求所选3人中至少有1名女生的概率.
解析将4名男生和2名女生分别按1,2,3,4和5,6编号,从这6人中任选3人的基本事件有
123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456,共20个. (1)记“所选3人都是男生”为事件A,则事件A包含4个基本事件.
故P(A)==.
(2)记“所选3人中恰有1名女生”为事件B,则事件B包含12个基本事件.
故P(B)==.
(3)记“所选3人中至少有1名女生”为事件C,显然事件C与事件A是对立事件,故P(C)=1-P(A)=1-=. 方法2 互斥、对立事件的概率的计算方法
1.有红、蓝两个质地均匀的正方体骰子,红色骰子有两个面数字是8,四个面数字是2,蓝色骰子有三个面数字是7,三个面数字是1,甲、乙两人分别取红色和蓝色骰子随机投掷一次,所得点数较大者获胜,求甲获胜的概率.
解析甲获胜只有两种可能:①当甲掷点数为8时,概率为;②当甲掷点数为2,乙掷点数为1时,概率为×=.故甲获胜的概率为+=.
2.盒子里有大小相同、仅颜色不同的球共10个,其中红球5个,白球3个,蓝球2个.现从中任意取出一球确定颜色后再放回盒子里,最多取三次,若取到蓝球,则不再取球.求:
(1)最多取两次的概率;
(2)取了三次,恰好取到2个白球的概率.
解析(1)解法一:设取一次就取到蓝球为事件A,则P(A)==.
设取两次,第二次才取到蓝球为事件B,则P(B)=×=.
设最多取两次为事件C,则C=A∪B,且A、B是互斥事件,
则P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)= +=,
所以最多取两次的概率为.
解法二:设最多取两次为事件C,因最多取三次,所以事件C的对立事件为前两次都没有取到蓝球,从而
P()=×=,故P(C)=1-P()=1-=,
所以最多取两次的概率为.
(2)由题意知取了三次,恰好取到2个白球共有红白白、白红白、白白红、白白蓝四种取法,所以取了三次,恰好取到2个白球的概率为
P=×××3+××=.
过专题
【五年高考】
A组自主命题·浙江卷题组
考点随机事件及其概率
(2016浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(2),5分)设袋中共有8个球,其中3个白球、5个红球.从袋中随机取出3个球,求至少有1个白球的概率.
解析从袋中取出3个球,总的取法有=56种,
其中都是红球的取法有=10种.
因此,从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是1-=.
B组统一命题、省(区、市)卷题组
考点随机事件及其概率
1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()
A. B. C. D.
答案D
2.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.
答案
C组教师专用题组
考点随机事件及其概率
(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)
(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.
又P(AB)=P(B),故P(B|A)====.
因此所求概率为.(7分)
(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为
EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)
评析本题考查了随机事件的概率,同时考查了学生的应用意识及数据处理能力,属中档题.
【三年模拟】
一、选择题(每小题4分,共8分)
1.(2019届浙江高考模拟试卷(三),8)把5个不同的小球随机投入5个不同盒子中,则空盒个数不大于2的概率是()
A.B.C.D.
答案D
2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,5)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个黄球和3个蓝球,从袋中任取两球,两球颜色为一黄一蓝的概率等于()
A. B. C. D.
答案B
二、填空题(单空题4分,多空题6分,共22分)
3.(2018浙江镇海中学阶段性测试,15)某校一个班级组织学生报名参加模拟政协社团和摄影社团,已知报名的每位学生至少报一个社团,其中报名参加模拟政协社团的学生有2人,参加摄影社团的学生有5人,现从中选2人.设ξ为选出的学生中既报名参加模拟政协社团,又报名参加摄影社团的人数,且P(ξ>0)=,则该班报名参加社团的学生人数为.
答案 5
4.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,15)已知甲盒内有大小相同的1个红球和4个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球,则取出的4个球中恰有1个红球的概率
为;设ξ为取出的4个球中红球的个数,则随机变量ξ的数学期望Eξ=.
答案;
5.(2018浙江绍兴上虞二模(5月),14)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若甲同学物理、化学至少选一门,则甲的不同的选法种数为,乙、丙两名同学都不选物理的概率是.
答案25;
6.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,13)袋中装有大小相同质地均匀的5个球,其中3个黑球和2个白球.从袋中随机取出2 个球,记取出白球的个数为X,则P(X>0)=,E(X)=.
答案;。