【步步高】高考数学总复习 4.3两角和与差的正弦、余弦、正切配套文档 理 新人教a版

§4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切
1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β (T α－β)
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β (T α＋β)
2． 二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
.
3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变
形用等．如T α±β可变形为
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)
－1.
4． 函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b
a
)
或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝a
b
)．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． ( √ ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定． ( × )
(4)公式tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对
任意角α，β都成立．
( × ) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.
( √ ) (6)当α＋β＝π
4时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
( √ ) 2． (2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝
10
2
，则tan 2α等于
( )
A.4
3
B.34
C ．－34
D ．－43
答案 C
解析 ∵sin α＋2cos α＝
102
， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝5
2.
化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－3
4
.故选C.
3． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2
，则tan 2α等于
( )
A ．－34
B.34
C ．－43
D.43
答案 B
解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝1
2，解得tan α
＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝3
4
. 4． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋π
12的值为________． 答案
172
50
解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3
5
. ∴sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋π
12＝sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4
－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4
＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－2
2⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝
12225－7250＝17250
. 5． (2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1
2
，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －
10
5
解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13
， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝1010，cos θ＝－310
10. ∴sin θ＋cos θ＝－
10
5
.
题型一 三角函数式的化简与给角求值
例1 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ
2
)
2＋2cos θ
(0<θ<π)．
(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1
tan 5°
－tan 5°)．
思维启迪 (1)分母为根式，可以利用二倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约
分；
(2)切化弦、通分．
解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ
2>0.
因此2＋2cos θ＝
4cos 2θ2＝2cos θ2
.
又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ
2)
＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ
2)
＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ
2)
＝－2cos θ
2
cos θ.
故原式＝－2cos θ
2
cos θ
2cos
θ2
＝－cos θ.
(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°
cos 5°)
＝cos 10°
2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝
cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°
1
2
sin 10°
＝cos 10°
2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°
＝
cos 10°－2sin (30°－10°)
2sin 10°
＝cos 10°－2(12cos 10°－3
2
sin 10°)
2sin 10°
＝
3sin 10°2sin 10°＝3
2
.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特
征．
(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值．
(1)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C
2
＋3
tan A 2tan C
2的值为________．
(2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是
( )
A.12
B.3
2
C. 3
D. 2
答案 (1)3 (2)C
解析 (1)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，
A ＋C
2＝π
3，tan A ＋C 2
＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2
＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C
2＝ 3. (2)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°
＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°
sin 70°
＝
3cos 20°
cos 20°
＝ 3.
题型二 三角函数的给值求值、给值求角
例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19
，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2
3，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求2α－β的值．
思维启迪 (1)拆分角：α＋β2
＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫
α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦． (2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解 (1)∵0<β<π
2<α<π，
∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β
2<π，
∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝5
3， sin ⎝⎛⎭⎫α－β
2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，
∴cos
α＋β2
＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α
2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2
α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239
729
. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
tan (α－β)＋tan β
1－tan (α－β)tan β
＝12－171＋12×17
＝13>0，∴0<α<π2，
又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2
α
＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝3
4>0， ∴0<2α<π
2
，
∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β
1＋tan 2αtan β
＝34＋171－34×17＝1.
∵tan β＝－1
7
<0，
∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4
. 思维升华 (1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝(α－β2)－(α2
－β)；
(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π
2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π
2，选正弦较好．
(1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β
2
)等于( )
A.3
3
B ．－
3
3
C.539
D ．－
69
(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于
( )
A.5π
12
B.π3
C.π4
D.π6
答案 (1)C (2)C
解析 (1)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β
2)]
＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β
2)，
∵0<α<π2
，
则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，
则sin(π4－β2)＝63
.
故cos(α＋β2)＝cos[π4＋α－(π4－β
2)]
＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β
2)
＝13×33＋223×63＝539，故选C. (2)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.
又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010
. 又sin α＝
55，∴cos α＝255
， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
55×31010－255×(－1010)＝22
. ∴β＝π4
.
题型三 三角变换的简单应用
例3 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭
⎫x －3π
4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π
2，求证：[f (β)]2－2＝0.
思维启迪 (1)可将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式；
(2)据已知条件确定β，再代入f (x )求值． (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π
4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.
(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，
cos βcos α－sin βsin α＝－4
5，
两式相加得2cos βcos α＝0，
∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π
4
－2＝0.
思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子
间的联系，利用整体思想解题．
(1)函数f (x )＝3sin x ＋cos(π
3
＋x )的最大值为( )
A ．2 B. 3 C ．1
D.12
(2)函数f (x )＝sin(2x －π
4)－22sin 2x 的最小正周期是________．
答案 (1)C (2)π
解析 (1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π
3·sin x
＝12cos x ＋32sin x ＝sin(x ＋π
6)． ∴f (x )max ＝1. (2)f (x )＝22sin 2x －2
2
cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝
22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π
4
)－2， ∴T ＝2π2＝π.
高考中的三角变换问题
典例：(10分)(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ
2
－sin θ－1
2sin (θ＋π
4
)
＝________.
(2)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于
( )
A.3π
4 B.π4或3π
4
C.π4
D ．2k π＋π
4
(k ∈Z )
思维启迪 (1)注意和差公式的逆用及变形；
(2)可求α＋β的某一三角函数值，结合α＋β的范围求角． 答案 (1)3＋22 (2)C
解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ
1＋tan θ，
又tan 2θ＝2tan θ
1－tan 2θ＝－22，
即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝－
1
2
或tan θ＝ 2.
∵π<2θ<2π，∴π
2
<θ<π.
∴tan θ＝－1
2
，故所求＝1＋
121－
12＝3＋2 2.
(2)由sin α＝
55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010
， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝2
2，
又0<α＋β<π，故α＋β＝π
4
.
温馨提醒 三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征，灵活应用公式；对于求角问题，
一定要结合角的范围求解.
方法与技巧 1． 巧用公式变形：
和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝
1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α
2
，1－cos α＝2sin 2α
2
.
2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中
tan φ＝b
a
)有a 2＋b 2≥|y |.
3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要
尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范
1． 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、
降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2． 在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝
2
2
所对应的角α＋β不是唯一的． 3． 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题
1． 若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝37
8
，则sin θ等于
( )
A.3
5
B.45
C.
7
4
D.34
答案 D
解析 由sin 2θ＝3
87和sin 2θ＋cos 2θ＝1得
(sin θ＋cos θ)2＝37
8＋1＝(3＋74)2，
又θ∈[π4，π
2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.
同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝3
4
.
2． 已知tan(α＋β)＝2
5
，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于
( )
A.13
18
B.13
22
C.3
22
D.16
答案 C
解析 因为α＋π4＋β－π
4＝α＋β，
所以α＋π
4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π
4 ＝
tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭
⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭
⎫β－π4＝3
22. 3． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于
( )
A. 2
B.
2＋3
2
C. 3
D ．22－1
答案 C
解析 4cos 50°－tan 40°＝
4sin 40°cos 40°－sin 40°
cos 40°
＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°
cos 40°
＝
3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°
cos 40°
＝ 3.
4． 若tan α＋
1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π
4
)的值为
( )
A ．－
2
10
B.2
10
C.3210
D.7210
答案 A
解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝10
3，
∴
1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝3
5
.
∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π
2，π)，
∴cos 2α＝－45
.
∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π
4
＝
22×(35－45)＝－210
. 5． 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于
( )
A.π3
B.2π
3
C.π6
D.π4
答案 A
解析 由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3，
又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π
3.
二、填空题
6． 若sin(π2＋θ)＝3
5
，则cos 2θ＝________.
答案 －725
解析 ∵sin(π2＋θ)＝cos θ＝3
5
，
∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×(35)2－1＝－7
25
.
7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．
答案 2
解析 由tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝tan 45°＝1可得
tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. 8.
3tan 12°－3
(4cos 212°－2)sin 12°＝________.
答案 －4 3
解析 原式＝3sin 12°
cos 12°
－3
2(2cos 212°－1)sin 12°
＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°
cos 12°
2cos 24°sin 12°
＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°
sin 24°cos 24°
＝
－23sin 48°
1
2
sin 48°＝－4 3.
三、解答题
9． 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π
2
)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的
值．
解 由cos β＝
55，β∈(0，π2
)， 得sin β＝25
5，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－13＋21＋23
＝1.
∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴π2<α＋β<3π2，
∴α＋β＝5π4
.
10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62
. (1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－3
5，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，
两边同时平方，得sin α＝1
2.
又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π
2
<β<π，
所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π
2.
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4
5.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－
32×45＋12×⎝⎛⎭⎫
－35＝－43＋310
. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)
1． 已知tan(α＋π4)＝12，且－π
2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π
4
)
等于
( )
A ．－255
B ．－3510
C ．－31010
D.255
答案 A
解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－1
3.
又－π2<α<0，所以sin α＝－10
10
.
故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)2
2(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.
2． 定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a b c
d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π
2，则β等于( ) A.π
12
B.π
6
C.π4
D.π3
答案 D
解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝33
14
，
又0<β<α<π2，∴0<α－β<π
2，
故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝13
14，
而cos α＝17，∴sin α＝43
7，
于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
437×1314－17×3314＝32
， 故β＝π
3
，选D.
3． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2
x ＋1sin 2x
的最小值为________． 答案
3
解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x
sin 2x ，
所以令k ＝2－cos 2x sin 2x
.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1
sin 2x 的最小值为 3.
方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x
2sin x cos x
＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋1
2tan x .
∵x ∈(0，π
2)，∴tan x >0.
∴32tan x ＋12tan x ≥232tan x ·1
2tan x
＝ 3. (当tan x ＝
33，即x ＝π
6
时取等号) 即函数的最小值为 3.
4． 已知tan(π＋α)＝－1
3，tan(α＋β)＝sin 2(π
2－α)＋4cos 2α
10cos 2α－sin 2α
.
(1)求tan(α＋β)的值； (2)求tan β的值．
解 (1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－1
3
.
∵tan(α＋β)＝sin 2(π
2
－α)＋4cos 2α
10cos 2α－sin 2α
＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α ＝2cos α(sin α＋2cos α)
2cos α(5cos α－sin α)
＝
sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋2
5－tan α
＝－13＋25－(－13
)
＝516.
(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α
1＋tan (α＋β)tan α
＝516＋131－516×13
＝3143.
5． 已知函数f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π
6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；
(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－6
5，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π ＝16
17，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝1
5
.
(2)由⎩⎨
⎧
f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65
，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617
得⎩⎨
⎧
2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋53π＋π6＝－65
，2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－56π＋π6＝1617，
整理得⎩⎨⎧
sin α＝35
，
cos β＝8
17
. ∵α，β∈⎣⎡⎦
⎤0，π
2， ∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝15
17
.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝4
5×
8
17－
3
5×
15
17＝－
13
85.。